北师大版八年级数学上册教案《二次根式》教学设计

《二次根式》（第1课时）
◆教材分析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。

它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。

再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。

◆教学目标
【知识与能力目标】
了解二次根式的概念。

【过程与方法目标】
通过经历二次根式概念的发生过程，理解二次根式的含意。

【情感态度价值观目标】
培养学生观察、类比、讨论、合作的思想。

◆教学重难点
◆
【教学重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。

【教学难点】
利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。

学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。

本节课设计了六个教学环节：
第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念
问题1 ：5，11，2.7，12149
，))((b c b c -+（其中b=24,c=25）
，上述式
子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。

一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

a 叫做被开方数．强调条件：0≥a 。

问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题。

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础。

第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，
b
a
b
a =
． 具体过程如下：
（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；
◆课前准备 ◆
◆教学过程
2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；
9
4＝ ，
9
4
＝ ； 25
16＝ ，
25
16
＝ ． （2）用计算器计算：
76⨯＝ ，76⨯＝ ；
7
6＝ ，
7
6
＝ 。

问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出b a b a •=
⋅（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0， b ＞0）。

说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略。

第三环节：知识巩固
例1：化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）
9
5。

观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论。

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。

一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2：化简：（1）45；（2）27；（3）
3
1；（4）
98；（5）16
125。

答案：（1）5353595945=⨯=⨯=⨯=；
（2）3333393927=⨯=⨯=⨯=
；
（3）
3
1=
3
3
3
331=
••； （4）
3
2
23223243
2
498
98=⨯=⨯=⨯==；
（5）4
5
5455452545
2516125
16125=⨯=⨯=⨯==。

问题：
（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断
7
14
是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号。

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面。

从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简。

第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：
1、下列平方根中, 已经简化的是（ ） A 、
B 、
C 、
D 、 2。

判断下列各式是否成立。

你认为成立的请在（ ）内打对号 ，不成立的打错号 。

① （ ） ； ② ( ) ③
（ ）； ④( ) 你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？ 第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式：b a b a ⋅=
⋅（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）． （2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结。

3
1
2022121222233+
=333388+=44441515+
=55
552424
+=◆教学反思
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系。

根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算。

因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求。

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用。

《二次根式》（第2课时）
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实
数》第7节内容。

本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础。

【知识与能力目标】
能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值范围。

【过程与方法目标】
通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】
通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。

【教学重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例
验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。

【教学难点】
确定二次根式中字母的取值范围。

学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。

本节课设计了六个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓
◆教材分析
◆教学目标
◆教学重难点 ◆
◆课前准备 ◆
◆教学过程
面积8
面积2
展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究
1、在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ⋅=
⋅（a
≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）。

2。

提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326⨯；（2）2
36⨯；（3）52。

解： （1）略 （2）
236⨯＝
2
36⨯＝
2
3
6⨯＝9＝3 （3）
5
2＝＝
52＝5
552⨯⨯=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数。

第三环节：巩固练习
例4 计算：
（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2
)15(+；（4）)313)(313(-+；
（5）3)3112(⨯-
；（6）2
18
8+。

解：（1）3322⨯=32⨯⨯
32⨯=66；
（2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；
（3）2)15(+＝152)5(2
++＝5＋52＋1＝6＋52；
（4）)313)(313(-+＝2
23)13(-＝4； （5）3)3112(⨯-
51613633
1312=-=-=⨯-⨯=； （6）
2188+532942
1828=+=+=+=。

意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。

本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。

例5 计算：
（1；（2）515-
；（3）
解：（1＝； （2）515-
＝2555-＝25
5
5-＝555-＝554；
（3）==== 课堂练习1：
1.化简：（1）18；（2）2
5；（3）7533-；（4）21
12-。

（5）6)334(⨯+ 第四环节：知识拓展
﹡课堂练习2：
化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；
（4）
325092-+； （5）5145203--； （6）3
2
23+。

解：（1）2828264264128=⨯=⨯=⨯=
；
（2）1030103010900109009000=⨯=⨯=⨯=；
（3）48122+
＝34322316342316342⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯
383434=+=；
（4）32509
2
-+ ＝
23
4242532216225322162259
2=-+=⨯-⨯+=
⨯-⨯+； （5）5
145203-- ＝
551455535625
55954325559543=--=-⨯-⨯⨯=-
⨯-⨯； （6）
66536269
64696463223=+=+=+=+。

本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方
法。

同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用。

为今后的学习打下基础。

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用。

◆教学反思
《二次根式》（第3课时）
二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容。

本节内容分为3个课时，本课时是第3课时。

继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算。

二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。

若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了。

经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。

【知识与能力目标】
1、进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。

2、了解根号内含有字母的二次根式的化简。

【过程与方法目标】
利用二次根式的化简解决简单的数学问题。

通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。

【情感态度价值观目标】
在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法。

【教学重点】
继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算。

【教学难点】
根号内含字母的二次根式的化简。

学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。

◆教材分析
◆教学目标
◆教学重难点
◆
◆课前准备 ◆
◆教学过程
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置。

第一环节：复习引入
内容：
（1）最简二次根式的概念；
（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求
23。

你是怎样解决的？
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识巩固
1.巩固提升
例4 计算：
（1）3223-；（2）81818+-；（3）3)6
124(÷-。

解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3
121(-＝661； （2）81818+
-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； （3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 36
1324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 26
11。

说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见。

2.交流
收集第（3）小题有多少种解决方法。

让学生说说想法。

3.反思
以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？
4.练习
化简：
（1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2118(⨯-。

解：（1）10152-＝10101015552⨯⨯-⨯⨯＝101011051-＝1010
1； （2）31312+
-＝3331334⨯⨯+-⨯＝331332+-＝334； （3）8)2
118(⨯-＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯ ＝821818⨯-
⨯＝4144-＝212-＝10。

第三环节：问题解决
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
的面积，你有哪些方法，与同伴交流。

1.交流
让学生充分发表意见。

2.答案
（1）直接求法。

过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE
都是某一个小直角三角形的斜边。

根据勾股定理可求得
AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是
23)225(2
1⨯+＝18。

（2）间接求法。

将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是112
12421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-
⨯＝18。

第四环节：知识提升
1.知识探索
问题：2a （0>a ）等于多少？
根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）。

2.知识运用
例5 化简：
（1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3）
a
b b a （0>a ，0>b ）。

解：（1）3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5；
（2）3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(； （3）a b b a ＝2
a a
b b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1。

3.课堂练习
1.当0>a ，0>b 时化简：
（1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a
⨯-)1(； （4）b a a b ab a 155
102÷⋅。

解：（1）)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝a
b ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；
（2）324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2；
（3）ab b a
⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2 ＝a b b -；
（4）b a a b ab a 155102÷⋅＝b
a a
b ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝a b a 32310⋅ ＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a
ab b a ⋅⋅＝ab a b a ⋅⋅2310
＝ab ab 310。

2. 求代数式ab b a ⨯-)1(的值，其中3=a ，2=b 。

解：由题知0>a ，0>b 。

ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a
⨯-⨯1＝2ab b - ＝a b b -。

当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-。

第五环节：课堂小结
（1）二次根式的化简：
二次根式的化简一定要化成最简二次根式。

（2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式。

第六环节：课后作业
习题 2.11 1， 3
补充作业：
化简：（1）)263)(232(+-； （2）)4838
14122(23+-； （3）)0,0()2(≥≥⋅+-y x xy y
x x y xy ； （4）)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ；
（5）)0(4
322763232≥+-a a ab a b ab a 。

答案：（1）64216-；（2）6648-；（3）x y xy +-2；（4）ab ab ab b a -+22；
（5）a ab 32
5。

◆教学反思
本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式。

同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用。

本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式。

这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度。