中考数学基础几何变换

几何变换

（一）平移变换与图形

一、 例题精讲

【例1】如图1，在平面直角坐标系中，线段A 1B 1是由线段AB 平移得到的，已知A 点的坐标为(－2，3)，B 点的坐标为(－3，1)，若A 1的坐标为(3，4)，则B 1的坐标为( )． A.(1，3) B.(2，2) C.(3，1) D.(2，1) 【答案】选B ．

【评析】 平移是一种全等变换，要理解平移的性质，并能在平面直角坐标系中灵活运用，会用坐标表示平移．

（图1） （图2）

【例2】(1)点(0，1)向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x +1向下平移2个单位后的解析式是

(2)直线y =2x +1向右平移2个单位后的解析式是 ；

(3)如图2，已知点C 为直线y=x 上在第一象限内的一点，直线y=2x +1交x 轴于A 点，交y 轴于B 点.，将直线y=2x +1沿射线OC 方向平移3 2 个单位，求平移后的直线解析式． 解 (1)(0，-1)，y=2x -1；(2)y=2x -3；

(3)直线y=2x +1沿射线OC 方向平移3 2 个单位，即将直线y=2x +1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位．

∵ 原直线上取点(0，1)，(- 12 ，0) ， ∴平移后的对应点为(3，4)，(5

2 ，3)．

∴平移后的直线解析式为y=2x -2．

【评析】 本例主要考查直线经图象变换后得到的直线解析式，要求学生能灵活地用坐标表示图象变换，然后用待定系数法求直线解析式．

【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点E 在线段AB 上，CF ⊥CE ，CE ＝CF ，EF 交AC 于G ，连接AF ．

（1）填空：线段BE ，AF 的数量关系为_____________， 位置关系为_____________；

（2）若当AE BE ＝21时，求证：FG

EG

＝2；

F

A

B

E

G

C

（3）当AE BE ＝ 时，GF

EG

＝2．（直接填出结果，不要求写过程）．

【评析】

（1）BE ＝AF ，BE ⊥AF ． （2）作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥AF 于N ∵由题意得，ΔACF ≌ΔBCE (SAS)

∴AF ＝BE ∠CAF ＝∠CBE ＝45°

∴AE ＝2AF ∠CAF ＝∠CAB ∴AM ＝GM ＝GN ＝AN ∵2

1

===

∠ME GM AE AF AEF tan ∴ME=2AM=2GM ∵GM ∥AF ∴

2==AM

ME

FG EG (3) 当n ＝

2

2

时，GF EG ＝2

二、 当堂练习(20分钟)

1．在直角坐标系中，将点(3，6)向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于( )．

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

2．在平面直角坐标系中，A 点的坐标为(5，－3)，B 点的坐标为(－2，－4)，将线段AB 平移到A 1B 1的位置，且A 1的坐标为(1，4)，则B 1的坐标为( )． A .（6，11） B .( －6，3) C .(2，－11) D .( －4，7)

3．(1)点(0，3)先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的点的坐标是 ； (2)点(－1，1)先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的点的坐标是 ； (3)直线y =2x +3先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的直线解析为 ． 4．如图，已知点C 为第一象限内直线y=3

4 x 上的点，直线

y=2x +4交x 轴于B 点，交y 轴于A 点，将直线y=2x +4沿射线OC 方向平移5个单位，求平移后的直线解析式．

G

F E

C

A N

M

三.课外探究（30分钟）

1.点（1，3）向上平移2个单位，向左平移4个单位得到点的坐标为

2．如图，把图①中的△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A ’B ’C ’，如果图①中△ABC 上一点的坐标为(－2，－1)，那么这个点在图②中的对应点的坐标为( )． A.(－2，－3) B.(－3，－2) C.(1，1) D.(2，1)

（第3题图）

3．如图，矩形PMON 的边OM ，ON 分别在两坐标轴上，且P 点的坐标为(－2，3)，将矩形先向右平移4个单位得到矩形P 1M 1O 1N 1，再向下平移4个单位得到矩形P 2M 2O 2N 2 (1)请在坐标系中画出矩形P 1M 1O 1N 1和矩形P 2M 2O 2N 2； (2)求直线M 2N 2的解析式；

(3)求在整个平移过程中线段MN 扫过的面积．

4．已知直线y =x 3-+3与x 轴，y 轴交于A 1，B 1两点． 如图，将直线12

1

--

=x y 沿射线A 1B 1方向平移6个单位，求平移后的直线解析式．

5.（2016·武汉·中考）反比例函数x

y 4

=

（1≤x ≤4）的图象记为曲线C 1，将C 1向左平移2个单位长度，得曲线C 2，请在图中画出C 1和C 2，并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积．

【练习题参考答案】 【当堂练习】

1. C

2. B 3．(1)(3，－1)；（2) (2,－3)；(3)y =2x －7 4. y =2x －1 【课外探究】

1.（－3，5）

2.C

3.（1）略（2）723-=

x y （3）20 4.332

1

21-+-=x y 5. 6 （二）旋转变换与图形

一、 例题精讲

【例1】(2009武汉)如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2，3)，B (－6，0)， C (－1，0)．

(1)请直接写出点A 关于y 轴对称的点的坐标；

(2)将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标；

(3)请直接写出：以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．

解： (1)(2，3)； (2)(0，－6) ； (3)(－7，3)或(－5，－3)或(3，3)．

【评析】 本例主要考查图象变换中的平移变换和旋转变换，注意作图能力的培养，另外要注意结合图形求孤长或面积 【例2】(2008·武汉·5月调考)

(1)点(1，2)绕坐标原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是 (2)直线y=2x 绕坐标原点顺时针旋转90°得到的直线的解析式为 (3)求直线y =2x －2绕坐标原点顺时针旋转90°得到的直线解析式． 解：（1）（2，－1） （2）x y 21-= （3）12

1

--=x y 【例3】(2009．武汉．4月调考)

(1)如右图，△ABC 三点的坐标分别为A (1，4)，B (2，1)，C (1，1)，△ABC 关于直线BC 作轴对称变换得到△DBC ，则点D 的坐标为 .

(2) △ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到△EBF ，则点A 的对应点的坐标为

(3)在图中画出△DBC ，△EBF ，直接写出它们重叠部分的面积为

【答案】（1）（1，－2），（2）（－1，0），（3）2

3

O

x

y

A

C B