高考数学(文)一轮复习课件：3.7 正弦定理和余弦定理(广东专版)

例 探 究
∴sin Bsin C＝14，
课 时 知
· 提
因此 sin B＝sin C＝12.
能 训
知 能
又 B、C∈(0，π2)，故 B＝C.
练
所以△ABC 是等腰的钝角三角形．,
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例
化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
课
探
时
究 ·
又 A＋B＋C＝π.
知 能
提
训
知 能
所以 sin C＝2sin A，因此ssiinn CA＝2.
练
菜单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
(2)由ssiinn CA＝2 得 c＝2a.
自
高
主
考
落 实 ·
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝14，b＝2，
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自
高
主 落
(2012·河源质检)△ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所 考
体
实
验
·
·
固 基 础
对边长分别为 a，b，c，cos A＝1123.
明 考 情
(1)求A→B·A→C；
验 ·
固
基 为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a.
明 考
础
情
(1)求ba；
(2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B.
典
例
课
探
时
究 ·
【思路点拨】 (1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；
知 能
提
训
知 (2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B，进而求出角B.
体 验 ·
固
明
基 础
得 4＝a2＋4a2－4a2×14.解得 a＝1.从而 c＝2.
考 情
典
又因为 cos B＝14，且 0＜B＜π，
例
课
探 究 ·
所以 sin B＝
15 4.
时 知 能
提
训
知
练
能
因此 S＝12acsin B＝12×1×2×
415＝
15 4.
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
情
为钝角．
典
例
课
探
时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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自
主
1．(教材改编题)已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别
高 考
落
体
实 ·
为 a，b，c.若 a＝c＝ 6＋ 2，且∠A＝75°，则 b＝( )
验 ·
固 基
A．2
B．4＋2 3
明 考
础
C．4－2 3
D. 6－ 2
情
C 2.
验 · 明
基 础
(1)求 sin C 的值；
考 情
(2)若 a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边 c 的值．
【错解】 (1)由已知得 sin C＋sin C2＝1－cos C，
典 例 探
∴sin
【解析】 在△ABC中，易知∠B＝30°，
典
例 探
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4.∴b＝2.
课 时
究
知
· 提
【答案】 A
能 训
知
练
能
菜单
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2． 在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，
自 主
则 cos B＝( )
高 考
落
体
实
· 固
6 A. 3
典
例 探
(2)若 c－b＝1，求 a 的值．
课 时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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【解】 (1)在△ABC 中，cos A＝1123，
自
高
主 落 实
∴A 为锐角，且 sin A＝153，
考 体 验
·
固 基
∴S△ABC＝12bcsin A＝12bc·153＝30，
· 明 考
础
情
∴bc＝156.
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|·cos A＝bccos A＝156×1132＝144.
典
例 探
(2)由余弦定理得
课 时
究 ·
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)
知 能
提
训
知 能
＝1＋2×156×113＝25.
练
∴a＝5.
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
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易错辨析之八 解三角形忽视隐含条件致误
自 主
(2011·江西高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
高 考
落
体
实 · 固
c，已知 sin C＋cos C＝1－sin
课 时 知 能 训 练
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若将例题中的条件改为“△ABC 中，b，c 是角 B、C 的对
自 主 落 实 ·
边，且 cos2A2＝b2＋cc”．试判定△ABC 的形状． 【解】 法一 ∵cos2A2＝1＋c2os A 且 cos2A2＝b＋ 2cc，
高 考 体 验 ·
固 基 础
自
【尝试解答】 (1)由正弦定理，设sina A＝sinb B＝sinc C＝k，
高
主
考
落 实 ·
则2c－b a＝2ksinkCsi－n Bksin
A＝2sin
C－sin sin B
A，
体 验 ·
固
明
基 础
所以cos
A－2cos cos B
C＝2sin
C－sin sin B
A，
考 情
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自
高
主
考
落
体
实
验
·
·
固
明
基
考
础
情
典
例
课
探
时
究
知
·
2.三角形常用面积公式
能
提 知 能
((12))SS＝ ＝1212aa·bhsai(nhCa 表＝示12a边csian上B 的高＝)；12bcsin A
能 训
练
能
由余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc，整理得 a2＋b2＝c2，
故△ABC 为直角三角形．,
菜单
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自
高
主 落
(2011·山东高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，
考 体
实
· 固 基
b，c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a.
练
能
菜单
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【尝试解答】 (1)由正弦定理，得 asin B＝bsin A，
自
又 asin Asin B＋bcos2A＝ 2a，
高
主
落 实
∴bsin2A＋bcos2A＝ 2a，即 b＝ 2a，因此ba＝ 2.
考 体 验
·
·
固
(2)由 c2＝b2＋ 3a2 及余弦定理，
明
典
例
课
探
易知 A＞B 是 cos A＜cos B 的充要条件．
时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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自
高
主 落
2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？
考 体
实
验
·
·
固
【提示】 应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A
明
基
考
础
为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A
22 B. 3
C．－
6 3
D．－2 3 2
验 · 明
基
考
础
【解析】
由正弦定理，得
sin
B＝b·sain
A＝
3 3.
情
典 例
∵a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cos B＝
1－sin2B＝
6 3.
课
探
时
究
【答案】 A
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
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自
3．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， 高
验
·
·
固
【解】 在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
明
基
础
由余弦定理，cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2
考 情
典
＝1020＋ ×1306－ ×6196＝－12，
例 探
∴∠ADC＝120°，因此∠ADB＝60°.
课 时
究 ·
在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
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自
高
主
考
落
体
实
验
·
·
固 基
第七节 正弦定理和余弦定理
明 考
础
情
典
例
课
探
时
究
知
·
能
提
训
知
练
能
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
自
主 1．正弦定理和余弦定理
典 例 探 究 · 提 知 能
菜单
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高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
如图3－7－1所示，在△ABC中，已
自 主
知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝
高 考
落 实
14，DC＝6，求AB的长．
体
图3－7－1
知 能
提 知 能
由正弦定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
训 练
∴AB＝AD·ssiinn∠BADB＝1s0isnin456°0°＝5 6.
菜单
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自
高
主
考
落
体
实 ·
(2012·广州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的 验
·
固
明
基 础
对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
基
考
础
得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝1＋2c 3a，(*)
情
又由(1)知，b＝ 2a，∴b2＝2a2，
典 例 探
因此 c2＝(2＋
3)a2，c＝
2＋
3a＝
3＋1 a.
2
课 时
究 · 提
代入(*)式，得 cos B＝ 22，
知 能 训
知 能
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.,
练
菜单
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考
落 实 ·
∴bc＝－2bc cos A，cos A＝－12.
体 验 ·
固 基 础
又 0＜A＜π，∴A＝23π.
(2)由(1)知 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
明 考 情
∴sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C.
典
又 sin B＋sin C＝1，且 sin A＝ 23，
验 · 明 考
础
(1)求ssiinn CA的值；
情
典
(2)若 cos B＝14，b＝2，求△ABC 的面积 S.
例
课
探
【思路点拨】 (1)由正弦定理，将题设条件化为角的关系，
时
究
知
·
能
提 知 能
借助三角变换求ssiinn CA的值；(2)借助余弦定理求 a，c，进而得△ABC
训 练
的面积 S.
菜单
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情
即 49＝25＋BC2＋5BC，解得 BC＝3.
典
例 探 究
故
S△ABC＝12AB·BCsin
120°＝12×5×3×
23＝154
3 .
课 时 知
·
能
提
训
知
能
【答案】
15 3 4
练
菜单
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自
高
主
考
落
体
实 ·
(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别
∴1＋c2os A＝b2＋cc，即 cos A＝bc.
明 考 情
由正弦定理，得 cos A＝ssiinn CB，
∴cos Asin C＝sin(A＋C)，整理得 sin Acos C＝0.
典 例 探
∵sin A≠0，∴cos C＝0，∴C＝π2.
课 时
究
故△ABC 为直角三角形．
知
· 提 知
法二 同法一得 cos A＝bc.
例
课
探
时
究
∴sin Acos A＋cos2B＝1.
知
·
能
提 知
【答案】 D
训 练
能
菜单
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4．(2011·课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则
自
高
主 落
△ABC的面积为________．
考 体
实
验
· 固
【解析】 由余弦定理知
· 明
基
考
础
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°，
.
训 练
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自
高
主 落
1．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”
考 体
实
验
· 固
是“cos A＜cos B”的什么条件？