三个重要不等式及应用

n(n + 1) = (n + 1)a n +1 + d 2
（2）
n n(n + 1) an +1 − a1 ⋅ s = (n + 1)an +1 + 2 n n +1 = (3an +1 − a1 ) 2 由柯西不等式 S = n + 1 (3an +1 − a1 ) 2 n +1 2 ≤ [ 3 2 + ( − 1) 2 ]( a n +1 + a 12 ) 2 n +1 ≤ 10 M 2 a n +1 a1 2 2 = 当且仅当 a1 + a n+1 = M , 都满足时 ，上式等号成立 3 −1
= ( S1 + a )( S2 + b )
2 k 2 k
= S1S2 + S1bk2 + S2 ak2 + ak2bk2
≥ S32 + 2 ak2bk2 S1S2 + (ak bk )2
≥ S32 + 2ak bk S3 + (ak bk )2 = (S3 + ak bk )2
= ( ∑ a b + a b )2 i i k k
证明：先证左端 设乱序和为 Ｓ，要Ｓ最大
a L 我们证明必须 an 配bn ，n −1 配bn−1， ，a 1 配 b1
设an 配 bi ( in < n ) ，配某个 ak ( k < n )， bn
n
则有 anbi + bn ak ≤ ak bi + anbn
n n
这是因为 anbn + ak bi − ak bn − anbi = ( an − ak ) ( bn − bi ) ≥ 0
从而不等式 k
n −1 k −1
≥ n 成立
n 故 a1n −1 + a 2 −1 + ...... + a kn −1 ≥ kn ，当 k = n 且
a1 = a 2 = ...... = a n 时不等式成立.
例2 α , β , γ 是一给定三角形的三个内角，求证：
csc
2
α
2
+ csc
2
β
2
+ csc
2
γ
2
≥ 12
证明：由均值不等式，有
csc
2 α
2
+ csc 2
β
2
+ csc
2 γ
2
≥ 3(csc
α
2
⋅ csc
β
⋅ csc ) 2 2
γ
2 3
其中等号当且仅当α = β = γ 时成立 再由均值不等式及琴生不等式有：
(sin
α
2
. sin
β
. sin ) ≤ 2 2
γ
1 3
sin
α
2
这N个正数，应用 An ≥ G n
得 1 + 1 + ...... + 1
a1 a2 n
an
≥n
1 >0 a1 a 2 ......a n
所以
n
a1 a 2 ......a n ≥
n 1 1 1 + + ...... + a1 a 2 an
所以 G n ≥ H n 成立，故 An ≥ G n ≥ H n 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等 其它方法证明。 1 ≤ k ≤ n, a i ∈ R +，满足 例1 设 k, n为正整数 ，且 a1 + a 2 + ...... + a k = a1 a 2 ......a k
由以上证明结论(乱 ≤ 同)
a 可得 ，1 ( −bn ) + a2 ( −bn−1 ) + L + an ( −b1 ) ≥ a1 −bi1 + a2 −bi2 + L + an −bin
( )
( )
( )
于是有 a1bn + a2bn −1 + L + anb1 ≤ a1bi1 + a2bi2 + L + anbin 当且仅当a1 = a2 = L = an 或 b1 = b2 = L = bn 时， 等号成立． 证毕 ． 例1（1935年匈牙利奥林匹克）假设 b1 , b2 ,L , bn 是正数
n n n
a L a1 同理可证an −1 必配 bn −1 ，n−2 必配bn − 2 ， ，必配b1
所以 a1bi + a2bi + L + anbi ≤ a1b1 + a2b2 + L + anbn
1 2 n
再证右端
又 a1 ≤ a2 ≤ L ≤ an , −bn ≤ −bn −1 ≤ L ≤ −b1
由琴生不等式，得：
1 (log a1 + log a2 + ...... + log an ) a a a n ≤ log
n a1 + a2 +......an n a
a1 + a 2 + ......a n 即 a1 a 2 ......a n ≤ n
所以 An ≥ G n 对于
1 1 1 , ,......, a1 a 2 an
i =1
k −1
= ( ∑ ai bi )2
i =1
k
当且仅当 bi = kai (i = 1, 2....n) 时等号成立 综上述，对 ∀n ∈ N , ∀ai , bi ∈ R.i = 1, 2...n均有∑ a ∑ b ≥ ( ∑ ai bi )2 例1 设 a1 , a2 ...an 都是正数，且 a1 + a2 + ... + an = 1 证明 由柯西不等式有 n n 1 2 1 2 [ ∑ 1 ⋅ (ak + )] ≤ n ∑ (ak + ) k =1 k =1 ak ak n n n 又 [ ∑ 1 ⋅ (a + 1 )]2 = ( ∑ a + ∑ 1 ) 2 k k k =1 k =1 k =1 a ak k
三个重要不等式及应用
目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯 西不等式及其应用 重点：三个不等式的应用 难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式 设有两组数 a 1 , a 2 , L , a n ; b 1 , b 2 , L , b n，满足 a ≤ a ≤ L ≤ a ,b ≤ b ≤ L ≤ b ，
n n a1n −1 + a 2 −1 + ...... + a k −1 ≥ k (a1 a 2 ......a k )
从而不等式
−1 k k −1 ≥ n n −1
= ka
n −1 k
成立
≥ k ⋅k
n −1 k −1
k −1
(k − 1)n + ( n − k ) ⋅ 1 k ≥ n n −1 由均值不等式，得： = n −1
当 ak = bk = k ， = 1, 2,L n ) 时，等号成立. (k 即 1+ 1 + 1 +L + 1 2 3 n 2.均值不等式 设 a1 , a 2 ,......, a n 是正实数，则
n a1 + a 2 + ...... + a n n ≥ a1 a 2 ......a n ≥ 1 1 1 n + + ...... + a1 a2
+ sin 3
β
2
+ sin
γ
α
2 ≤ sin 2
+
β
2 3
+
γ
2 = sin α + β + γ = 1 6 2
因此， csc
2
α
2
+ csc
2
β
2
+ csc
2
γ
2
≥ 3(sin
α
2
. sin
β
. sin ) 2 2
γ
−
2 3
1 −2 ≥ 3.( ) = 12 2
其中等号当且仅当α = β = γ 时成立 3.柯西不等式
1 2 n 1 2 n
则有
a1b1 + a2b2 + L + an bn
（顺序和）
≥ a1bi1 + a2bi2 + L + anbin （乱序和）
≥ a1bn + a2bn −1 + L + an b1
（逆序和）
其中 i1 , i2 ,L , in 是1, 2,L, n 的一个排列，当且仅当 a1 = a2 = L = an或 b1 = b2 = L = bn 时等号成立
b1
b2
bn
即
an a1 a 2 + +L + ≥n b1 b2 bn
在不等式证明中，柯西不等式与排序不等式往往相结合， 证题时可能一题多解，也可能同时应用以上两个不等式.
例2（第20届IMO试题） 设 a1 , a2 ,L, an 是 n 个互不相等的 自然数，证明：
a 1 1 1 a a3 1 + + + L + ≤ a1 + 2 + 2 + L + n 2 3 n 22 3 n2
n 2 n 2 i
证毕.
n
(∑ ai bi ) ≤ ( ∑ a )( ∑ bi2 )，当且仅当 设 ai , bi ∈ R (i = 1, 2....n) ，则
i =1 i =1 i =1
bi = kai (i = 1, 2....n)时等号成立
证明 （数学归纳法） （1）当 ai (i = 1, 2...n)或bi (i = 1, 2....n) 全为零时，命题显 然成立. (2)当数组 a1 , a2 ,...an ; b1 , b2 ...bn不全为零时， 采用数学 归纳法.
2 a12 + an +1 ≤ M 例2 给定正数n与正数M，对于满足条件
的等差数列 {an } 试求 S = an +1 + an + 2 + ... + a2 n +1的最大值 解 设等差数列 {an }的公差为d，则
Q a n +1 = a1 + nd （1）
∴ S = a n +1 + a n +1 + d + ... + a n +1 + nd = (n + 1)a n +1 + (1 + 2 + ... + n)d
1) 当n=1时 a12 b12 = a12b12 不等式成立 2）设当 n =k −1时，不等式成立.令
S1 = ∑ a , S2 = ∑ b , S3 = ∑ ai bi 则有 S1S2 ≥ S32
i =1 2 i i =1 2 i i =1 k −1 k −1 k −1
3） 那么当n=k时
i =1 2 2 ∑ a ⋅ ∑ b = ( ∑ a + a )( ∑ bi + bk ) 2 i 2 i =1 k k k −1 i =1 2 i 2 k k −1 i =1
n n a 求证： 1n −1 + a 2 −1 + ...... + a k −1 ≥ kn ，并确立等号成立的条件?
证明：令 a = a1 + a 2 + ...... + a k = a1 a 2 ......a k 由均值不等式，得：
a ≥ ka , 即a ≥ k
1 k k k −1 n −1 k
an a2 ≤ a1 + 2 + L + 2 2 n
an
即 An ≥ G n ≥ H n ，等号当且仅当 a1 = a 2 = ...... = a n 时成立
证明 Q a i ∈ R + (i = 1,2,......, n)
∴ 设 f ( x) = log ax (a > 1)，则 f (x)为 (0,+∞ ) 内的上凸函数
a1 , a2 ,L , an 的某个排列，证明：
an a1 a2 + +L + ≥ n b1 b2 bn
证明 不妨设 b1 ≤ b2 ≤ L ≤ bn ，则 1 ≥ 1 ≥ L ≥ 1 由排序不等式(乱序 ≥ 逆序)得，
1 1 1 ⋅ a1 + ⋅ a2 + L + ⋅ an b1 b2 bn 1 1 1 ≥ ⋅ b1 + ⋅ b2 + L + ⋅ bn b1 b2 bn =n
− xi xi 1 − xi
i =1
≥
i =1
∑ xi
n −1
n
i =1
=∑
1
1 − xi n 1 =∑ i =1 1 − x i
所以由（1）知 d = an +1 − a1 代入（2）得
由此得 a = 3 M , a = − M 时，S = 10 (n + 1) M n +1 1 max
10 10
2
例3 设 x1 , x 2 ,......, x n（n ≥ 2）都是正数，且
x1 + x 2 + ...... +n x n = 1
i =1 2 i i =1 2 i i =1 n n n
1 2 1 2 1 2 (n 2 + 1)2 求证 ：a1 + ) + (a2 + ) + ... + (an + ) ≥ ( a1 a2 an n
1 2 = (1 + ∑ ak ∑ ) k =1 k =1 a k
n n
≥ (1 + n 2 )2 n 1 2 1 2 2 ∴ ∑ (ak + ) ≥ (1 + n ) k =1 ak n
证明
设b1 , b2 ,L , bn 是a1 , a2 ,L , an 的一个排序，且b1 < b2 < L < bn 又
1 1 <L< 2 <1 2 n 2
由逆序和＜乱序和得，
bn an b2 a2 b1 ⋅1 + 2 + L + 2 < a1 + 2 + L + 2 2 n 2 n 又因为 b1 ≥ 1, b2 ≥ 2,L, bn ≥ n bn 1 1 1 b2 所以 1 + + + L + ≤ b1 + 2 + L + 2 2 3 n 2 n