安徽省江南十校2019届高三第二次大联考理科数学

·江南十校2019届高三第二次大联考
数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.a R ∈，i 为虚数单位，若复数1z ai =+，2z z =，则2z =（）
A ．
2i B ．2-+或2--C ．2i 或2i -D ．22i +或22i -
{|ln(1)ln(1)}A x y x x ==+--，1
{|ln
}1
x B x y x +==-，则x A ∈是x B ∈的（） A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要
3.以下四个命题中，错误的命题是（）
A ．等比数列{}n
a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n
a 为递加数列
B ．“若11a
b
<，则0a b >>”的抗命题为真
C ．命题“x R ∀∈，均有2
0x
≥”的否认是：“0x R ∃∈，使得020x <”
D ．ABC ∆中，
角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件
{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈，且55S a =，8432S S =+，则n a 等于（）
A ．25n -
B ．39n -C.412n -D ．42n -
5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）
A ．12π，4
3π
B ．92
π，92
πC.9π，94
πD ．9π，
9
2
π(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，
直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则以下说法正确的
选项是（）
A ．4S >
B ．4S ≥ C.4S <D ．4S ≤
22)
41tan cos π
ααα
-=+，则tan()4πα+的值为（）
A ．12
-B ．2-C.12
D ．2
,x y 知足30
20230x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最大值为（）
A ．3
B ．4C.5D ．6
9.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，侧面PAB 为等边三角形，,E F 分别为,PA BC 的中点，给出以下结论：
①//BE 平面PFD ②//EF 平面PCD
③平面PAB 与平面PCD 交线为l ，则//CD l ④BE ⊥平面PAC 则以上结论正确的序号为（）
A ．①③
B ．②③C.①②③D ．①②
③④
x 知足12
log 1x >，则函数1
821
y x x =+
-的最大值为（） A ．-4B ．8C.4D ．0
11.如图，已知点P 为等边三角形ABC 的外接圆上一点，点Q
是该三角形内切圆上一点，若1
1
AP x AB y AC =+，2
2
AQ x AB y AC =+，则1
2
1
2
|(2)(2)|x x y y -+-的最大值为（）
A ．53
B ．2C.73
D ．83
R 上函数()f x ：知足15
(()2)22
x x f f x -+=，'()f x 为函数()f x 的导函数，且'()y f x =无零点，则11
(())f x x dx -+⎰
的值为（）
A ．0
B ．2C.52
D ．72
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸
上）
{}n a 知足：2
528102
a a a --=，等比数列{}n
b 的前n 项和为n S ，知足
12n n n S S b +=+，且75b a =，则27log (8)S -的值为．
,a b 知足：||1b =，|2|2a b +=，|3|14a b -=，则向量a 在b 方向上的
投影为．
xOy 中，(4,0)A ，3
(0,)2
B ，若点P 知足1OP =，PA 的中点为M ，则BM 的最大值为．
[,)x e ∀∈+∞，
知足3
2ln 0m
x
x x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(cos )22
x x
a =，(1,1)
b =-，[0,2]x π∈.
（1）若//a b ，求x 的值；
（2）若()f x a b =•，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值.
2()(21)ln f x ax a x x =+--.
（1）当12
a =时，求函数()f x 的极值；
（2）议论函数()f x 的单一性.
n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，23a =，对*n N ∀∈，1n >，都有1121n n n S S S n +-+=++成立.
（1）求n
a ；
（2）若1
2n
n
b
a =
，求数列{}n
b 的前n 项和n
T .
20.如图，已知四边形ABCD 中，对角线6BD =，23
BAD π∠=，BCD ∆为
等边三角形.
（1）求ABD ∆面积的最大值；
（2）当ABD ∆的面积最大时，将四边形ABCD 沿BD 折起成直二面角A BD C --，在CD 上能否存在点M 使直线AM 与平面ABD 所成的角α知足：70cos 10
α=，若不存在，说明原因；若存在，指出点M
的地点.
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，B 为其短轴的一个端点，2
1
,F F 分别为其左右两个焦点，已知三角
形1
2
BF F 2，且12
1cos 3
F BF ∠=.（1）求椭圆C 的方程； （2）若动直线2
2
:(0,)3
l y kx m m k
=+≠≠与椭圆C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，M 为线段PQ 的中点，且22
12
3x x +=，求||||OM PQ 的最大值. 2()[(1)1],x f x x a x e x R =+-+∈.
（1）议论函数()f x 的单一性；
（2）若函数,(,0)
()()1,[0,1]
x e a x g x f x x ⎧-∈-∞=⎨-∈⎩，在其定义域(,1]-∞上有且只有
两个零点，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CAAAD6-10:ABDCD11、12：CB
1.C 【分析】由已知得：2
121a
a +=⇒=或-1，故212z i z i =±⇒=±，
应选C. 2.A 【分析】依题意：(1,)A =+∞，(,1)(1,)B =-∞-+∞，A B ⊂，应选
A.
3.A 【分析】A 错，B,C,D 为真，应选A.
4.A 【分析】由已知条件得：1
3a
=-，2d =，故25n a n =-，应选
A.
5.D 【分析】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为9π，体积为92
π，
应选D. 6.A 【分析】由已知2
21a b +<，四条直线围成的四边形面积
22
4442S ab
a b =
≥>+，应选A.
7.B 【分析】由22sin()
41tan tan 3cos π
αααα
-=+⇒=，故31tan()2413πα++==--，
应选B.
8.D 【分析】画出可行域如图，此中(3,0)A ，(1,2)B ，(1,2)C --，
故当3,0x y ==时，max
6z =，应选D.
9.C 【分析】取PD 中点M ，
易知//BE FM ，//EF CM ，故①②正确，//CD AB 得//CD 平面PAB ，故//CD l ，③正确，④明显不正确，应选C.
10.D 【分析】由1
2
log
1x >，1
012102x x <<
⇒-<-<，11184(21)4(4(12))4440212112y x x x x x x =+=-++=--++≤-+=---，当且仅当1
4
x =
上式取等号.应选D.
11.C 【分析】如图，取BC 中点M ，AM 交外接圆于P ，交内切圆于Q ，此时P 为外接圆劣弧BC 的中点，1
1
x y +获得最大；Q 为内切圆劣弧DE 的中点，2
2
x y +获得最小，记1
1
x y +的最大值为λ，2
2
x y +的最小值为μ，而43AP AM λ==，13
AQ AM μ==，故1
2
121122
|(2)(2)||2()()|x x y
y x y x y -+-=+-+的最大值为417
22333
λμ-=⨯-=，应选C.
12.B 【分析】'()y f x =无零点，故函数()f x 为单一函数，由15(()2)2
2x
x
f f x -+=知1
()22
x
x
f x -+为常数，设1()22x
x
f x t -+=，
则可得：1()2
2x
x f x t =-
+且5()2f t =152122t t t t ⇒-+=⇒=，故1()212x x
f x =-+，11111(())(21)2x x f x x dx x dx --+=-++⎰⎰11111(2)122x x x dx dx --=-++=⎰⎰（注意：122
x x x -+为奇函数），应选B.二、填空题
13.-4【分析】由2
5
28102
a
a a --=2
5
54a a ⇒=54a ⇒=，故74b =，而由12n n n S S b +=+，得12n n b b +=，故761,,,b b b 成等比数列，公比为
1
2
，
77
471(1)282112
b S --
=
=--，27
log (8)4S -=-，故答案为-4.
14.1
2-【分析】由已知240a a b +=，265a a b -=12
a b ⇒=-，又||1b =，
故向量a 在b 方向上的投影为12||
a b b =-，故答案为12-.
15.3【分析】由(4,0)A ，3(0,)2
B ，1OP =，则P 点轨迹为2
21x
y +=，
设(,)M x y ，则2
2(24,2)(24)
(2)1P x y x y -⇒-+=221
(2)4
x y ⇒-+=
，M 的轨迹为圆(2,0)D ，半径为
1
2，故BM 的最大值为151||3222
BD +=+=，故答案为3.
16.(,2]e -∞【分析】（1）
0m ≤，明显成立；（2）0m >时，由
3
2ln 0m x
x x me -≥2
2ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )m
x
x m x e
e x
⇒≥，由()x f x xe =在[,)e +∞为增2ln m
x x ⇒≥2ln m x x ⇒≤在[,)e +∞恒成立，由()2ln g x x x =在[,)e +∞为增，
min ()2g x e =，02m e <≤，综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞.三、解答题
17.解：（1）由//a b ，(cos 3)2
2
x x
a =，(1,1)
b =-，
可得cos 32
2
x x -=
3tan 2x ⇒=
由[0,2]x π∈，[0,]2
x π∈，故552
6
3
x x ππ=⇒=；
（2）
()cos 2
2x x f x a b ==-
2cos()23
x π
=+， 由[0,2]x π∈4[,]2
3
33
x πππ⇒+∈，
得1cos()[1,]2
3
2
x π+∈-.
当233
x ππ+=，即0x =时，max
()
1f x =； 当2
3
x π
π
+=，即43
x π=时，min
()
2f x =-.
18.（1）当12
a =时，2
1()ln (0)2
f x x
x x =->
1(1)(1)
'()x x f x x x x
+-⇒=-
=故当(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数， ∴1x =时，1
()
(1)2
f x f ==
极小值
，无极大值； （2）由2
()(21)ln (0)f x ax a x x x =+-->，
可得：
22(21)1(1)(21)
'()ax a x x ax f x x x
+--+-==
①当0a ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞为减函数； ②当0a >时，1(0,
)2x a ∈时，'()0f x <，故()f x 在1
(0,)2a
为减函数；1
(
,)2x a
∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在1
(,)2a
+∞为增函数.
19.（1）由1
1a =，23a =，1121n n n S S S n +-+=++，
可得：3
4111a ++=，
∴3
6a
=，
当3n ≥时，112121
211
n n n n n n S S S n S S S n +---+=++⎧⎨+=+-+⎩1121n n n a a a +-⇒+=+，
即1
1()()1(3)n n n n a a a a n +----=≥，而3221()()1a a a a ---=.
故(1)
2
n n n a
+=
； （2）由已知11112(1)1
n
n b
a n n n n =
==-++， 由列项相消法得：1111
n
n T
n n =-
=++. 20.（1）在ABD ∆中，记AB m =，AD n =， 则由余弦定理：2
2363m
n mn mn =++≥12mn ⇒≤，
（当且仅当23m n ==时，上式取等号） 此时，123sin 33234
ABD
S
mn mn π∆=
=≤， ABD ∆的面积的最大值为33.
（2）由（1）知，23AB AD ==，6BD =，
设存在M ，在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，
连结OA ，易知3OA =
作ME BD ⊥于E ，
由平面ABD ⊥平面BCD ME ⇒⊥平面ABD . 故AM 在平面ABD 上的投影为AE .
AM 与平面ABD 所成的角为MAE α∠=，
由cos α
=tan ME AE α⇒==.
设DM α=
，得2ME =
，AE = 故2280a a +-=2a ⇒=.
故存在M ，且2DM =，知足题意.
（2）另解：由（1
）AB AD ==6BD =， 设存在M ，则在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，连结,OA OC ，
易求OA =
认为O 坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴成立空间直角坐标系，
平面ABD 的法向量为(1,0,0)n =，
设DM a =
，得ME =
，得,3,0)2a M -，
又
A 3(,3,22
a AM ⇒=-. 由sin |cos
,|AM n α=
<>
=
==22802a a a ⇒+-=⇒=. 故存在M ，且2DM =，知足题意.
21.（1）由22122241cos 23a c F BF a -∠==2213
c a ⇒=223a c ⇒=，222b c =，
121cos 3
F BF ∠
=12sin 3F BF ⇒∠=， 联合122122223F BF S a ∆==23a ⇒=， 22b ⇒=，
故椭圆C 的方程为2
2132
x y +=； 另解：依题意：12122F BF S
cb bc ∆=⨯== 212121cos 2cos 123
F BF F BF ∠∠=-=2223b a ⇒=， 解得：23a =，22b =，
故椭圆C 的方程为22132
x y +=； （2）联立22236y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩222(32)6360k x kmx m ⇒+++-=.
2224(32)0k m ⇒∆=+->2232k m ⇒+>.
且122632
km x x k -+=+，21223632m x x k -=+； 依题意，2
2123x x +=21212()23x x x x ⇒+-=
22222(6)6(2)3(32)32
km m k k --⇒-=++化简得：22322k m +=（∵232k ≠）； 设00(,)M x y ，由22112222236236
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2222012121212022()3()3x y y x x y y k x x y -⇒-=--⇒==-- 又00y kx m =+ 解得：31(,)2k M m m
-222229431||42k m OM m m +-⇒==，
22212||(1)||PQ k x x =+-2222
222
24(32)2(21)(1)(32)k m m k k m +-+=+=+22221125||||(3)(2)4OM PQ m m ⇒=-+≤ 5||||2OM PQ ≤. 当且仅当
22
1132m m -=+，即m =时，||||OM PQ 的最大值为52. 22.（1）由2()[(1)1]x f x x a x e =+-+，x R ∈，
得：'()(1)()x f x x x a e =++，
①当1a =时，'()0f x ≥，()f x 在(,)-∞+∞为增函数； ②当1a <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)a -+∞为增函数，在(1,)a --为减函数；
③当1a >时，()f x 在(,)a -∞-和(1,)-+∞为增函数，在(,1)a --为减函数；
（2）关于()g x 当(,0)x ∈-∞时，()x g x e a =-， 故当0a ≤时，()g x 在(,0)-∞内无零点， 当01a <<时，()g x 在(,0)-∞内有一个零点， 当1a ≥时，()g x 在(,0)-∞内无零点，
关于()g x 当[0,1]x ∈时，2()[(1)1]1x g x x a x e =+-+- 由（1）当1a ≤-时，()g x 在[0,1]为减函数， 而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点. 此时，()g x 在其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点， 当111a e
-<<-时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数，
而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-<得()g x 在[0,1]有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点， 当110a e
-≤≤时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数， 而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-≥得()g x 在[0,1]有两个零点. 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当01a <<时，()g x 在[0,1]为增函数，
而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当1a ≥时，()g x 在[0,1]为增函数，
而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内无零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点， 综上可得：当()g x 在其定义域内有且只有两个零点时，a 的取值范围为1[1,1)e
-.。