第三章测度理论

第三章 测度理论
本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集的性质，最后研究了可测集的构造。

其目的在于为改造积分定义时对分割、求和所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。

§３.１ 外测度
本节仍设X 是一固定的非空集,)(X P 是X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, .X A ⊂ 若}{n A 是C 中的有限或无穷序列, 使得U k n n A A 1=⊂(或U ∞
=⊂1n n A A ), 则称}{n A 是A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以
写成可数并(只要令),(k n A A k n >= 则U U ∞
===11n n k n n A A ). 因此我们不妨只考虑由可
数个集构成的覆盖.
设µ是环R 上的测度. 对每个,X A ⊂ 令
}.}{:)(inf{)(1覆盖的是R A A A A n n n ∑∞
=∗
=µµ 若A 无R 覆盖, 则令.)(+∞=∗A µ 这样定义的∗µ是定义在)(X P 上的非负值集函数. 称∗µ为由µ导出的外测度.
定理1设µ是环R 上的测度. ∗µ为由µ导出的外测度. 则∗µ满足: ).i (.0)(=∅∗µ
).ii (单调性: 若≤∗⊂)(,A B A µ则).(B ∗µ
).iii (次可数可加性: 对X 中的任意一列集}{n A 成立
).()(1
1n n n n A A ∑∞=∗∞=∗
≤µµU (1) 证明 由于}{∅是空集∅的一个R 覆盖, 故.0)()(=∅≤∅∗µµ 因此.0)(=∅∗µ 设,B A ⊂ 则B 的每个R 覆盖也是A 的R 覆盖. 这蕴涵).()(B A ∗∗≤µµ 下面证明∗µ具有次可数可加性. 设}{n A 是X 的一列子集. 不妨设1,)(≥+∞<∗n A n µ(否则(1)显然成立). 现在任意给定0>ε. 由∗µ的定义, 对每个,1≥n 存在n A 的一个R 覆盖,}{1,≥k k n C 使得
.)()(1,n n k k n A C 2+
≤∑∞=∗εµµ (2)
由于}1,,{,≥k n C k n 是U ∞=1
n n A 的一个R 覆盖, 由(2)得到
.)()(()()(111,11εµεµµµ+=2+≤≤∑∑∑∑∞
=∗∞=∗
∞=∞=∞=∗n n n n n n k n k n n A A C A U 由于0>ε是任意的, 因此得到
.)()(11∑∞
=∗∞=∗
≤n n n n A A µµU 即∗µ具有次可数可加性. ■
可测集 由µ导出的外测度∗µ定义在X 的全体子集所成的集类上. 但∗µ的定义域太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个代数−σ. 将∗µ限制在这个代数−σ上, ∗µ满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个代数−σ一般要比µ的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域.
定义2 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. 又设.X E ⊂ 若对任意X A ⊂, 均有
).()()(c E A E A A ∩+∩=∗∗∗µµµ (3)
则称E 是∗µ-可测集. ∗µ-可测集的全体所成的集类记为.∗R
等式(3)称为Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度∗µ具有次可数可加性, 因此对任意X A ⊂成立
).
()())()(()(c c E A E A E A E A A ∩+∩≤∩∪∩=∗∗∗∗µµµµ 所以(3)式等价于
).()()(c E A E A A ∩+∩≥∗∗∗µµµ (4)
因此集E 是∗µ-可测的当且仅当对任意,X A ⊂ (4)式成立. 又由于当+∞=∗)(A µ时(4)总是成立的, 因此若对任意,X A ⊂ 当+∞<∗)(A µ时(4)式成立, 则E 是∗µ-可测的.
显然, 空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 又由∗µ 的单调性和(4)可以看出若,0)(=∗E µ 则E 是∗µ-可测集.
引理3 设n E E ,,1L 是互不相交的∗µ-可测集. 则对任意X A ⊂, 成立
).())((1
1i n i n i i E A E A ∩=∩∑=∗=∗
µµU (5) 证明 用数学归纳法. 当1=n 时(5)显然成立. 假定(5)对k n =时成立. 因为n E E ,,1L 是互不相交的. 所以
).
()(,
)(1111111
1U U U k i i c k k i i k k k i i E A E E A E A E E A =++=+++=∩=∩∩∩=∩∩
于是由1+k E 的∗µ-可测性和归纳法假设, 我们有
∩ ∩++ ∩ ∩= ∩++=∗++=∗+=∗
c k k i i k k i i k i i E E A E E A E A 11111111U U U µµµ .)(.)(1
1
11∑+=∗=∗
+∗∩= ∩+∩=k i i k i i k E A E A E A µµµU 因此当1+=k n 时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. ■
定理4 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. ∗R 是∗µ-可测集的全体所成的集类. 则有
).i (∗R 是σ-代数.
).ii (∗µ限制在是∗R 上是一个测度.
证明 ).i (先证明∗R 是一个代数. 由于空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 故∗R 非空. 由∗µ-可测集的定义立即可以看出若E 是可测−∗µ的, 则c E 也是∗µ-可测的, 因此∗R 对余运算封闭. 往证∗R 对有限并的封闭性. 设∈21,E E ∗R . 令21E E E ∪=.注意到)(211E E E E c ∩∪=, 利用21E E 和的可测性, 对任意,X A ⊂ 我们有
)])(())(([)()()]()([)()(2
121121211c c c c c c c E E A E E A E A E E A E E A E A E A E A ∩∩++
∩∩+∩=∩∩++
∩∩+∩≤∩+∩∗∗∗∗∗∗∗∗µµµµµµµµ ).()()(11A E A E A c ∗∗∗=∩+∩=µµµ
即E 满足卡氏条件(4)式. 这表明∈∪=21E E E ∗R . 因此∗R 是一个代数. 为证∗R 是一个σ-代数, 只需再证明∗R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第20题). 设⊂}{n E ∗
R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 令.1U ∞
==n n E E 由于∗R 是代
数, 故∈=U n
i i E 1
∗R , .1≥n 利用引理2.2.3, 对任意,X A ⊂ 我们有
).
()()()()(1111c n
i i c n i i c n i i n i i E A E A E A E A E A E A A ∩+∩=∩+ ∩≥
∩+ ∩=∗=∗∗=∗=∗=∗∗∑µµµµµµµU U U (6) (6)式对任意n 都成立. 在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性, 得到
).
()()()()(1c c i i E A E A E A E A A ∩+∩≥∩+∩≥∗∗∗∞
=∗∗∑µµµµµ
上式表明E 满足卡氏条件(4)式, 因此∈=∞=U 1n n E E ∗R . 这就证明了∗R 是一个σ-
代数.
).ii (为证∗µ是∗R 上的测度, 只需证明∗µ在∗R 上是可数可加
的. 设⊂}{n E ∗R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 由外测度的次可数可加性, 我们有.)()(11∑∞
=∗∞=∗
≤i i i i E E µµU 另一方面, 在(5)中令A=X 得到 ).()()(111U U ∞
=∗=∗=∗≤=∑i i n i i n i i E E E µµµ
上式中令,∞→n 得到
).()(11U ∞
=∗∞=∗≤∑i i i i E E µµ
因此
∑∞
=∗∞=∗
=11)()(i i i i E E µµU , 即∗µ在∗R 上是可数可加的. 所以∗µ是∗R 上的测度. ■
注1 从定理.4的证明可以看出, 定理4的结论)i (和)ii (并不依赖于环R 上的测度µ, 只用到了定理1中∗µ所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理1中的)i (,)ii (和)iii (的集函数∗µ为外测度. 然后和定义2一样定义∗µ可测集. 则定理4的结论对这样定义的一般的外测度∗µ仍成立.
我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区间及其子区间的长度，如
()()k n k k
b a f dx x f ∆=∑∫=→10lim ξλ
其中Δk ＝[x 1−k ,x k ]，λ＝max|Δk |需涉及[a,b]与[x 1−k ,x k ]的长度。

因更多的函数往往只定义在一个R n 中的一般集合上，
研究f 在E 上的积分，必然涉及一般集合E 及其子集的“长度”或“体积”。

再说， 即使是定义在区间上的函数，如果作分划是将函数值接近的分在一起，就必然遇到求不太规则集合的“长度”或“体积”问题。

然而，到目前为止，我们只有开集的“长度”或“体积”概念。

因此，需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为一般的集合上去，这就产生了Lebesgue 测度理论。

定义３.１.１ 对任意集合E，称m *
E＝inf｛|G|｜G 开，且G ⊇E｝为E 的Lebesgue 外测度。

此定义的基本思想是：对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为外测度(此事实将在定理３.１.１的4)和推论３.２.３中得到严格论证)，对于不规则的集合E，试图用盖住E 的开集G 的“体积”取而代之。

然而盖住E 的开集G 多种多样，其体积也大小不一，但不应比E 的“体积”小。

取哪一个最好呢？ 当然是最小者较为合理。

由于对无限个数而言，最小值不一定可达，于是取下确界最安全。

定理３.１.１ 任意集合的外测度均满足：
1)非负性 m *
E≥0 2)单调性 若A ⊃B，则m *A≥m *
B 3)次可加性 m *U ∞=1i E i ≤∑∞=1i m *
E i 4)若d(A,B)＞0，则m *(A∪B)＝m *A＋m *
B 5)区间I 的外测度满足 m *
I＝|I|
证明:1)非负性、2)单调性显然。

3)证次可加性，对任意ε＞0及i 存在开集G i ⊃E i ，|G i |≤m *E i ＋i 2
ε， 而显然U ∞=1i G i
⊃U ∞=1i E i ， m *U ∞=1i E i ≤∑∞=1i |G i |≤∑∞=1i m *
E i ＋ε，由ε的任意性。

知结论成立。

4)只须证当d(A,B)＞0时，m *A＋m *B≤m *(A∪B)。

事实上，ョ开集G ⊃(A∪B)满足|G|≤m *(A∪B)＋ε，由推论２.３.３知：ョ开集U 1，U 2满足U 1∩U 2＝ф，且A ⊂U 1，B ⊂U 2，令G 1＝G∩U 1，G 2＝G∩U 2，则G 1∩G 2＝ф。

又因为m *A＋m *B≤|G 1|＋|G 2|≤|G|≤m *(A∪B)＋ε，由ε的任意性知：
m *A＋m *B≤m *(A∪B)
5)证 m *I＝|I|
无论I 是开区间、闭区间，任意开集G ⊃I，定有|I|≤|G|，故|I|≤m *I。

另
一方面，对任意ε＞0存在开区间G＝I ε⊃I，
满足|I ε|≤|I|＋ε，故m *I≤|I|，从而m *I＝|I|。