沪教版 九年级(下)学期 同步讲义 第1讲 相似三角形(学生版)

一、比和比例
一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为a
b ）；
如果::
a b c d
=（或a c
b d
=），那么就说a、b、c、d成比例．
二、比例的性质
（1）基本性质：
如果a c
b d
=，那么ad bc
=；
如果a c
b d
=，那么
b d
a c
=，
a b
c d
=，
c d
a b
=．
（2）合比性质：
如果a c
b d
=，那么
a b c d
b d
++
=；
如果a c
b d
=，那么
a b c d
b d
--
=．
（3）等比性质：
如果a c
k
b d
==，那么
a c a c
k
b d b d
+
===
+
．
相似三角形知识结构
模块一：比例线段
知识精讲
2 / 17
三、比例线段的概念
对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c
b d
=）
，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割
如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，51
0.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．
五、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．
如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AE
DB EC =
．
六、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，
如果DE // BC ，那么DE AD AE
BC AB AC ==
． 七、三角形的重心
定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．
性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
九、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
A
P
B
l
A
B C
D
E
A
B C
D
E A
B
C D
E l
l A
B
C
D E
A B
C
D
E
如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AE
DB EC
=
，那么l //BC ．
十、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么
DF EG
FB GC
=
．
十一、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．
【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定
能得到DE // AC 的条件是（ ）
A ．BE BC BD BA =
B ．CE AD BE BD =
C ．B
D DE
BA AC
=
D ．
BC CE
AB AD
=
【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B
两地的实际距离是______km ． 例题解析
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
B
C D E F
G
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B
C
D
E F
G A
【例3】 （2015学年·普陀区二模·第5题）如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下
列结论正确的是（ ） A ．BC : EF = 1 : 1 B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3
【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ．
【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交
对角线BD 于点G ．
求证：CG 是EG 与FG 的比例中项．
【例6】 （2014学年·长宁区二模·第16题）已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点
（AP > PB ），则AP =______．
【例7】 已知2
3
a c e
b d f ===，18a
c e =--，0b
d f ++≠，求b d f ++的值．
【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为
F
E
D
A
B C
M
A
F
B
E
C
D A
B
C
D
E
F
M
A
B C D
E F
A B
C
D
E
F
G
______．
【例9】 （2015学年·浦东新区二模·第15题）如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，
AD = 2，EF = 5，那么BC =______．
【例10】 （2015学年·普陀区二模·第17题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、
BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．
【例11】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第23题）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，点
E 、
F 分别在BC 、AB 上，且DE // AB ，DEF A ∠=∠． （1）求证：BE = AF ；
（2）设BD 与EF 交于点M ，联结AE ，交BD 于点N ，求证：BN MD BD ND =．
【例12】 （2013学年·宝山区、嘉定区二模·第23题）如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，
90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；
（1）联结BE ，求证BE = EF ．
（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长．
6/ 17
一、 相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与
ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；
1
2
AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．
A B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
D
A
B
C
E
知识精讲
模块二：相似三角形
8 / 17
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
B C A 1
B 1
C 1
三、 相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
常见模型如下：
四、 相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111
AB AC
A B AC =
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
五、 相似三角形判定定理 3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111
AB BC CA
A B B C C A ==
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
六、 直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111
AB BC
A B B C =
， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．
七、 相似三角形性质定理
相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
10 / 17
A
B C
D
A B C D E
F
A
B
C
D
E F
A
B C
D
E
【例13】 （2014学年·普陀区二模·第6题）在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形
的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC ∆相似的三角形所在的网格图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例14】 （2013学年·普陀区二模·第11题）已知ABC ∆∽DEF ∆，且相似比为3 : 4，
2ABC S ∆=cm 2，则DEF S ∆=______ cm 2．
【例15】 如图，已知点D 是ABC ∆中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线
交边AC 于点E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ） A ．BAC ∆∽BDA ∆ B ．BFA ∆∽BEC ∆ C ．BDF ∆∽BEC ∆
D ．BDF ∆∽BA
E ∆
【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=． 求
AC
AB
的值．
【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．
【例18】 （2015学年·静安区二模·第5题）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ） A ．1 : 2
B ．1 : 3
C ．1 : 4
D ．2 : 3
例题解析
图1
A
B C D
M G
A B C D
E
F
A B
C
D
E
F
【例19】 （2014学年·杨浦区二模·第13题）如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于
点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．
【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边
形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．
【例21】 （2013学年·奉贤区二模·第23题）已知：如图，点E 是四边形ABCD 的对角线
BD 上一点，且BAC BDC DAE ∠=∠=∠． （1）求证：ABE ∆∽ACD ∆； （2）求证：BC AD DE AC =．
【例22】 （2015学年·浦东新区二模·第23题）如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，
点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值．
E
D
C
B
A
12 / 17
A
B
C
D E
F
G
H
A
D
E F
【例23】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第23题）如图，BD 是平行四边形ABCD 的对
角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．
求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项．
【例24】 （2015学年·松江区二模·第23题）如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，
CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E . （1）求证：CAD ECB ∠=∠；
（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．
【例25】 （2014学年·闵行区二模·第23题）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，
AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ．
（1）求证：DE = DC ；
（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠．
【例26】 （2013学年·静安区二模·第23题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、
E 分别是边AC 、AB 的中点，D
F ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点
G ．
C
B A
D E
F
A B
C
D
E
F
A
B
C
D E
F
G
A
B
C
P
Q
（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．
【例27】 （2015学年·闸北区二模·第23题）如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，
AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点． （1）求证：四边形AECD 为平行四边形；
（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．
求证：AEC ∆∽ADF ∆；
（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值．
【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交
于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．
14 / 17
A
B
C
D
E F
O
P A
B
C
M
N
【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______．
【习题2】 （2014学年·浦东新区二模·第6题）如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点
M 是ABC ∆的重心，那么AMN ABC
S
S ∆∆的值为（ ）
A ．23
B ．13
C ．14
D ．49
【习题3】 （2013学年·虹口区二模·第16题）如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且
DC = 5，AB = 8，则EF =______．
【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交
于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．
【习题5】 （2013学年·杨浦区二模·第23题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．
（1）求证：CD DF BC BE =；
（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．
随堂检测
A
B
C D
E
F
A
B
C
D
F E
A
B
C
D
E
F
【习题6】 （2013学年·黄浦区二模·第23题）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC
上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF . （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；
（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF .
【习题7】 （2015学年·崇明县二模·第23题）已知正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
CAB ∠的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，作BH AF ⊥，垂足为H ，BH 的延长
线分别交AC 、CD 于点G 、P ． （1）求证：AE = BG ；
（2）求证：GO AG CG AO =．
A
B
C
D
P G O
F H
E
16 / 17
A
B
C D
E
F
P A
B
C
D
E F
A
B
C
D
E F
O
【作业1】 （2013学年·长宁区二模·第4题）若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、
C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B = 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ） A ．9 : 4
B ．4 : 9
C ．2 : 3
D ．3 : 2
【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂
足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．
【作业3】 （2013学年·金山区二模·第23题）已知：如图，线段AB // CD ，AC CD ⊥，AC 、
BD 相交于点P ，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点． （1）求证：AE // CF ；
（2）如果AE 和DC 的延长线相交于点Q ，M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点， 求证：MN = CE ．
【作业4】 （2015学年·普陀区二模·第23题）如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对
角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ．
（1）求证：四边形ABFD 是菱形；
（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =．
课后作业
A
B C
D
E
F
H
【作业5】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第23题）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，
点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ．
（1）求证：CDF DAE ∠=∠；
（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．
【作业6】 （2013学年·浦东新区二模·第23题）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是
边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥,分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；
（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠．
E
D
C
G F
A
B。