人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题提优专项训练

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题提优专项训练

一、平面向量多选题

1．已知a ，b 是平面上夹角为

23

π

的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）

A ．||1a

b += B ．||3a b -=

C ．||3<c

D ．a b +，c 的夹角是钝角

【答案】ABC 【分析】

在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23

AOB π

∠=

，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(

)

2

222+2||+cos

13

a b a b

a b a b π

+=

+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23

AOB π

∠=

，则2

222+c 3

2os

3AB O OA O A O B B π

-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，

c OC =的最大值为13

+

32

2

2+A b B O MC a M +=

=

+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．

【点睛】

思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出

OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．

2．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域

内的向量是（ ）

A ．2OA O

B + B ．1123OA OB +

C ．

31

43

OA OB + D ．

3145

OA OB + 【答案】AC 【分析】

利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：

OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案.

【详解】

由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得

OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.

可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，

点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；

PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，

则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；

同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，

对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为

11

123

+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确；

对于C ，因为311314312

+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520

+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得

OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.

3．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥

B ．|2|5a b +=

C ．向量a 在向量b

D ．向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭

【答案】ABD 【分析】

多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】

(2,1),(3,1)a b ==-

对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；

对于B:

222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；

对于C: 向量a 在向量b 上的投影是

||(3)a b b ⋅==-，故C 错误；

对于D: 向量a 的单位向量是⎝⎭

，故D 正确．

故选：ABD ． 【点睛】

多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且

AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）