导数的几何意义

导数的几何意义

一．复习：导数与导函数.

1. 函数f (x )在0x x =附近有定义，称0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆为函数)(x f 在0x x =处的导数，记作0()f x ' 或0

x x y ='，它是一个确定的数； 2. 当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即:

0()()()lim x f x x f x f x y x

∆→+∆-''==∆ 函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这是求函数在点

0x 处的导数的方法.

二．导数的几何意义：

1.曲线在某点处的切线的几何定义：1)与该点的位置有关；2)割线的极限位置即切线，如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线；3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

2.导数的几何意义： 0000()()()lim

x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ 三．1.导数与切线的关系：

1）设)(

0x f '=0，则曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线（ ） A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交

2）设函数f (x )在x ＝x 0处的导数不存在，则曲线y ＝f (x )( )．

A ．在点(x 0，f (x 0))处的切线不存在

B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线可能存在

C ．在点x 0处不连续

D ．在x ＝x 0处极限不存在

2.已知曲线、切点求切线方程：

3）设y ＝f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0

f (1)－f (1－2Δx )2Δx

＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为 .

4）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程 .

5）已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线方程 .

6）函数y ＝－1x

在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是 .

7）求抛物线2x y =过点⎪⎭⎫ ⎝⎛6,25的切线方程 .

3.已知曲线、切线（斜率）、求切点：

8）已知曲线()x f 在点()()1,1f M 处的切线方程是22

1+=x y ，则()()_________

11='+f f

9）若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p 的值为________．

10）在曲线2x y =上满足下列条件的切点：

（1）切线平行于直线54-=x y ；

（2）垂直于直线0562=+-y x ；

（3）与x 轴成 135的倾斜角；

（4）过点R （1，－3）与抛物线相切.

11）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，Q (2，－1)，且在点Q 处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．