临安市於潜第一初级中学2019届九年级5月质量检测数学试题

2．如果点P（a，b）在第四象限，那么点Q（－a，b－4）所在的象限是（▲ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
3．如果单项式13
a
x y
+
-与2
1
2
b
x y是同类项，那么a、b的值分别为（▲ ）
A.1
a=，3
b= B.1
a=，2
b= C.2
a=，3
b= D.2
a=，2
b=
4．某商场一天中售出李宁运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，
那么这
A.25，24.5
B.24.5，25
C.26，25
D.25，25
5．下列四个命题中真命题是（▲ ）
A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
B.对角线垂直且相等的四边形是菱形；
C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
D.四边都相等的四边形是正方形．
6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡比为
4
1:
3
i=的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（▲ ）
A.5m
B.6m
C.7m
D. 8m
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，
2），点A在第二象限．直线5
2
1
+
-
=x
y与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x 轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（▲ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
8．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）
、C（2，﹣3）、D（2，0
）．若点P在x轴上，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（▲ ）
A.1个
B.2个
C.3 个
D.4个
9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积
第6题图
第9题图
A
分别为S1、S2，则S1 + S2的值为（▲ ）
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
10．如图，是由矩形和半圆组成的一个封闭图形，其中AB=8，AD=DE=FC
=2，点P由D点出发沿DE→半圆→FC运动，到达C点停止运动.设AP的长为x, △ABP的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（▲ ）
A B C
D
二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11．在实数范围内分解因式：3
1
2
x x
-=▲ ．
12．关于x的方程2
230
x x m
+-=有实数根，那么实数m的取值范围是▲ ．
13.如图，点A在反比例函数
k
y
x
=（x>0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD 至点C，使AD=DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连结BC交y轴于点E．若△ABC的面积为4，则k的值为▲ ．
14．如图在平面直角坐标系中A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2）．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是▲ ．
15．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，点D的坐标是（5，0）,∠BDO=15°，将△BDE 旋转到△ABC
的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为▲ .
16.如图，已知直线l：y=，过点A1(1,0)作x轴的垂线交直线l于点B1，在线段A1B1右侧作等边三角形A1B1C1，过点C1作x轴的垂线交x轴于A2，交直线l于点B2，在线段A2B2右侧作等边三角形A2B2C2，按此作法继续下去则B2的坐标为_ ▲__；B n 的坐标为_▲__.（n 为正整数)
三. 全面答一答 (本题有7个小题, 共66分) 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤.
17．（本题6分） 已知2
340x x +-=，求代数式222
21211x x x x
x x x x ⎛⎫--÷ ⎪--+-⎝⎭
的值.
18．（本题8分）2019年某市中考体育考试采用考生自主选项的办法，在每类选项中选择一个项目，共计3个项目．其中男生考试项目为：第一类选项为三分钟跳绳或1000米跑；第二类选项为50米跑或立定跳远；第三类选项为投掷实心球或引体向上．
（1）小明随机选择考试项目，请你用适当的方法列出所有可能的结果，并求他选择的考试项目中有“引体向上”的概率； （2）现小明和小亮都随机选择考试项目，请直接写出他们选择的三类项目完全相同的概率． 19．（本题8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边
BC 、AC 分别交于D 、E 两点， DF ⊥AC 于F ． （1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若3
cos 5
C =，CF =9，求AE 的长．
20．（本题10分）对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P '的坐标为（b a k
+
，ka b +）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P '为点P 的“k 属派生点”．
例如：P （1，4）的“2属派生点”为P '（1+
4
2
，214⨯+），即P '（3，6）．
(1)①点P （-1，-2）的“2属派生点”P '的坐标为____________；
②若点P 的“k 属派生点” P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标_________； （2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且△OPP '为等腰直角三角形，求k 的值．
21.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y ax c =+与x 轴交于点A （-2,0）和点B ，与y 轴交于点C （
0,AC 上有一动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 移动，线段AB 上有另一个动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，两动点同时出发，设运动时间为t 秒. （1）求该抛物线的解析式；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOC
第16题图
第13题图 第14题图 第15题图
第19题图 第20题图
相似?如果存在，请求出对应的t 的值;如果不存在，请说明理由.
22．(本题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE △，且点G 在矩形ABCD 内部，再延长BG 交DC 于点F .
（1）求证： A 、G 、D 三点在以点E 为圆心，EA 的长为半径的圆上； （2
）若AD =
，求
DC
DF
的值； （3）若DC k DF =，求
AD
AB
的值．
23. （本题12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，P 是射线AB 上的一个动点，以点P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AC 的另一个交点为D ，直线PD 交直线BC 于点E ．
（1）若点D 是AC 的中点，则⊙P 的半径为 ； （2）若AP =2，求CE 的长；
（3））当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，求⊙P 的半径；
（4）设线段BE 的中点为Q ，射线PQ 与⊙P 相交于点I ，点P 在运动的过程中，能否使点D 、C 、 I 、P 构成一个平行四边形？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。

第21题图
第23题图
备用图
第21题图
19．（本题8分） 解：（1）连接,OD AD .
∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=. 又∵AB AC =， ∴D 为BC 的中点. 又∵O 为AB 的中点， ∴OD //AC .
∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD .
又∵OD 为⊙O 的半径，
∴DF 为⊙O 的切线．………………………………………………………………4分 （2）∵DF ⊥AC ，9CF =,
∴cos CF
C C
D =. ∴3
915cos 5
CF CD C ==÷=.…………………3分
∵90ADB ∠=， ∴90ADC ∠=.
∴cos CD
C AC =. ∴3
1525cos 5
CD AC C ==÷=.
连接BE .
∵AB 是⊙O 的直径，
∴90AEB ∠=. 又∵DF ⊥AC ， ∴DF //BE .
∴1CF CD
EF BD
==. ∴9EF CF ==.
∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……………………………………8分
20．（本题10分）
解：（1）①（-2，-4）; ……………………………………………………………3分
②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .………3分 （2）±1； ………………………………………………………………………4分
21. （本题10分）（1）把(2,0)A -，C （
0,2y ax c =+，得
0=4a
解得：a =
∴该抛物线的解析式为：2
2
y x =-
+4分
（2）在2
y x =+ 令y=0，则122 , 2x x =-= ∴B （2,0） ∴AB=4
∴AP=t ， AQ=4-2t
在Rt △AOC 中，AO=2，OC= ∴AC=4 ∴1
cos 2
AO CAO AC ∠== 若∠APQ=90°
则cos cos CAO PAQ ∠=∠
∴
12AP AQ = ∴1242t t
=- ∴1t =………………………………7分
若∠AQP=90°
则cos cos CAO PAQ ∠=∠
∴
12AQ AP =
∴1422t
t -= ∴8
5
t =………………………………10分
综上，当1t =或8
5
t =时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似。

22．(本小题满分12分) (1)证明：∵E 是AD 的中点
∴AE=DE
∵ABE △沿BE 折叠后得到GBE △ ∴AE=EG …………1分 ∴AE=DE= EG …………2分
∴三点A 、G 、D 在以点E 为圆心，EA 的长为半径的圆上…………2分 （2）连接EF ，
则90EGF D ∠=∠=°，EG AE ED EF EF ===，．
Rt Rt EGF EDF ∴△≌△
C
F
GF DF ∴=
设AB a =，DF b =，
则有BC =
，CF DC DF a b =-=-，
由对称性有BG AB a ==,
BF BG GF a b ∴=+=+．
在Rt BCF △中，22
2
BC CF BF +=，
即222
)()()a b a b +-=+，
34a b ∴=，
∴
43a b = ∴43
DC a DF b == …………6分
∴∠ABC =∠DEC ，
DE
AB
CE BC =
． ∴PB =PE ．………………………………………………………………………………3分
Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =4，BC =3，∴AB =5．
∵AP =2，∴PB=PE =3，DE =1 …………………………………………………4分 ∴
1
5
3=CE ，CE =35．…………………………………………………………………5分
(3) 如图1，设BE 的中点为Q ，连接PQ ，AP =x ∵PB =PE ，∴PQ ⊥BE ，又∵∠ACB =90°，∴PQ ∥AC ，
∴
PQ PB BQ AC AB BC ==，∴5453
PQ x BQ -==
， ∴445PQ x =-，3
35
BQ x =-． …………………………………………………6分
当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，43
4355
x x x -=+- ．……………………7分
解得56
x =，即AP 的长为5
6． ……………………………………………………8分
（4）如果点P 在线段AB 上，点E 在线段BC 延长线上时（如图1），由（2）知，△ABC ∽
△DEC ，∴DE AB DC AC =,∴x
255
4-=
DC ，DC =54（5-2x ）,当DC =PI 时，点D 、C 、 I 、P 构成一个平行四边形，由DC =PI 得，54（5-2x ）= x ，x =13
20
．………………………9分
如果点P 在线段AB 上，点E 在线段BC 上时（如图2），DC =5
4
（2x -5）, 当DC =PI 时，
点D 、C 、 I 、P 构成一个平行四边形，由DC =PI 得，54（2x -5）= x ，x =203，∵20
3
＞5，
与点P 在线段AB 上矛盾，∴x =20
3
舍去． …………………………………10分
如果点P 在线段AB 的延长线上（如图3），点E 在线段BC 的延长线上时， DC =5
4
（2x
-5）, 当DC =PI 时，点D 、C 、 I 、P 构成一个平行四边形，由DC =PI 得，5
4
（2x -5）= x ，
x =203
．……………………………………………………………………………………11分
综上，AP=1320或AP=20
3
． ……………………………………………………………12分。