2022版新教材数学必修第二册人教A版课件-6.3.4-平面向量数乘运算的坐标表示

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在 北京 700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中 轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题 1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【解析】设P(x，y)，则O→P ＝(x，y)， 因为O→B ＝(4，4)，且O→P 与O→B 共线， 所以4x ＝y4 ，即x＝y. 又A→P ＝(x－4，y)，A→C ＝(－2，6)，且A→P 与A→C 共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0， 解得x＝y＝3， 所以P点的坐标为(3，3).
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？ ②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线 CD吗？
【解析】①因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，A→C ＝(1－(－1)，5－(－1)) ＝(2，6)， 所以 2×4－2×6≠0，所以A→B 与A→C 不共线， 所以 A，B，C 不共线， ②因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， C→D ＝(2－1，7－5)＝(1，2). 又 2×2－4×1＝0，所以A→B ∥C→D .
【备选例题】 已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分 A→B 的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由 A→P ＝λ P→B 及定比分点坐标公式得：(x，y)＝
21＋＋3λλ，11－ ＋λλ ， 又因为P点在直线l上，
1－λ
2＋3λ
所以 1＋λ
＝4×1＋λ
基础类型二 向量共线坐标表示的 简单应用(数学运算)
【典例】1.下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 () A．a＝(1，2)，b＝(－2，－4) B．a＝(3，4)，b＝(4，3) C．a＝(2，－1)，b＝(－2，1) D．a＝(3，5)，b＝(6，10)
【解析】选B.对于A，因为1×(－4)－2×(－2)＝0，所以不可以作为表示它们所在 平面内所有向量的基底；对于B，因为3×3－4×4＝－7≠0，所以可以作为表示它 们所在平面内所有向量的基底；对于C，因为2×1－(－1)×(－2)＝0，所以不可以 作为表示它们所在平面内所有向量的基底；对于D，因为3×10－5×6＝0，所以不 可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．
1．已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b成立吗？ 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则xx12 ＝yy12 成立吗？ 3．已知A(0，2)，B(4，4)，则线段AB的中点坐标为(2，3)吗？ 4．已知A(1，－3)，B(9，1)，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可以是(7，0) 吗？ 提示：1.成立 2.不一定 3.是的4.可以
A．12
B．2
C．－21
D．－2
【解析】选C.由a＝(1，1)，b＝(－1，0)，得：λa＋μb＝λ(1，1)＋μ(－1，0)＝(λ
－μ，λ)，a－2b＝(1，1)－2(－1，0)＝(3，1)， 因为λa＋μb与a－2b共线，所以λ－μ－3λ＝0，即－2λ＝μ.则μλ ＝－12 .
2．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1).向量m＝a－2b，n＝21 a＋b. (1)求向量m，n的坐标； (2)判断向量m与n是否平行，并说明理由．
－5，
所以λ＝－41 .
【知识拓展】线段定比分点的坐标公式 (1)线段定比分点的定义 如图所示，设点 P(x，y)是直线 P1P2 上不同于 P2 的点，且满足 P1P ＝λ PP2 ，λ 叫 做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比，P 点叫做有向线段 P1P2 的以 λ 为定比的定比分 点．
【解析】因为a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4).
ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－31 .
这时ka＋b＝ －130，34
，且a－3b与－
1 3
a＋b的对应坐标异号，故当k＝－
1 3
又A→C ＝(2，6)，A→B ＝(2，4)， 所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线， 所以AB与CD不重合，所以AB∥CD. 点拨：题①中，关键是判断 A→B 与 A→C 不共线；题②中，关键是判断 A→B ∥C→D ，且A，B，C不共线．
三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相 同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
能力形成•合作探究
基础类型一 向量数乘的坐标运算(数学运算)
1．设向量 a＝－1，2 ，b＝1，－1 ，c＝3，－2 ，用{a，b}作基底可将 c 表示为 c＝pa＋qb，则实数 p，q 的值为( )
A.p＝4，q＝1
B．p＝1，q＝4
C.p＝0，q＝4
D．p＝1，q＝－4
【解析】选B.由题得(3，－2)＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(q－p，2p－q)，
所以
q p 3, 2p q 2,
解得p＝1，q＝4.
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分
别为( )
A.－2，1
B．1，－2
C.2，－1
D．－1，2
【解析】选D.因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1
1．向量共线的判定方法
2．利用向量共线求参数值的方法
微提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0 都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
1．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)，λa＋μb与a－2b共线，则μλ ＝(
)
时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
本例3的条件下，若λa＋ub与a＋b共线，试确定λ与u的关系． 【解析】因为a＝(1，2)，b＝(－3，2)， 所以a＋b＝(1，2)＋(－3，2)＝(－2，4)， λa＋ub＝λ(1，2)＋u(－3，2)＝(λ－3u，2λ＋2u). 又因为(λa＋ub)∥(a＋b)， 所以(－2)×(2λ＋2u)－4(λ－3u)＝0.所以λ＝u.
【解析】(1)由a＝(1，3)，b＝(－2，1)， 得m＝a－2b＝(1，3)－(－4，2)＝(5，1)， n＝12 a＋b＝12，32 ＋(－2，1)＝－32，52 ； (2)m＝(5，1)，n＝－32，52 ， 因为5×25 －1×－32 ＝14≠0，所以向量m与n不平行．
综合类型 向量共线坐标表示的 综合应用(逻辑推理)
【加固训练】 已知O为坐标原点，O→A ＝(1，1)，O→B ＝(3，－1)，O→C ＝(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系． (2)若A→C ＝2A→B ，求点C的坐标．
【解析】(1)因为已知O→A ＝(1，1)，O→B ＝(3，－1)， O→C ＝(a，b)， 若A，B，C三点共线，则A→B ∥A→C ， 即A→C ＝λ·A→B ，即(a－1，b－1)＝λ (2，－2)， 所以a－1＝2λ，b－1＝－2λ，即a＋b＝2. (2)若A→C ＝2A→B ，(a－1，b－1)＝2(2，－2)， 所以a＝5，b＝－3，所以点C的坐标为(5，－3).
2．(2021·重庆高一检测)已知向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，若(2a－b)∥a，则x
＝( )
A．－2 B．2 C．12
D．－21
【解析】选B.根据题意，向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，则2a－b＝(3，x＋1)，
若(2a－b)∥a，
则有2(x＋1)＝3x，解可得x＝2.
3．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它 们是同向还是反向？
【问题 2】两向量是否共线又如何判断呢？ 【问题 3】学习了向量的坐标表示后，向量共线的充要条件如何用坐标表示？
1．平面向量数乘运算的坐标表示
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号表 示
若 a＝x，y ，则 λa＝λx，λy
文字表 示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
_相__应__坐___标__
2.平面向量共线的坐标表示
A．(7，0)
B．(－7，2)
C.(－1，3)
D．(7，3)
【解析】选 D.a＝(1，1)，b＝(－2，0)，
所以 3a－2b＝3(1，1)－2(－2，0)＝(7，3).
2．下列各对向量中，共线的是( ) A.a＝(2，3)，b＝(3，－2) B.a＝(2，3)，b＝(4，－6) C.a＝( 2 ，－1)，b＝(1， 2 ) D.a＝(1， 2 )，b＝( 2 ，2) 【解析】选 D.A，B，C 中各对向量都不共线，D 中 b＝ 2 a，两个向量共线．
求点的坐标 【典例】如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，O→C ＝14 O→A ， O→D ＝12 O→B ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】因为O→C ＝14 O→A ＝41 (0，5)＝0，54 ， 所以C0，54 . 因为O→D ＝12 O→B ＝12 (4，3)＝2，32 ，所以D2，32 . 设M(x，y)，则A→M ＝(x，y－5)， A→D ＝2－0，32－5 ＝2，－72 . 因为A→M ∥A→D ，所以－72 x－2(y－5)＝0，
若a＝ x1，y1 ，b＝ x2，y2 ，且x2y2≠0，则向量a，b共线时，它们的坐标之
间的关系如何用比例形式表示？ 提示：可以表示为xx12 ＝yy12 .
3．中点坐标公式 已知点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若 P 是线段 P1P2 的中点，则点 P 的坐标为 __x_1_2_x__2 _, _y1__2_y_2__．
根据条件不妨设A(1，0)，则B－12，
3
2
，C23，
3
2
，
则由O→C ＝xO→A ＋yO→B 得32， 23 ＝x(1，0)＋
y－12，
23
，所以
x
1 2
y
3 2
,
解得x＝2，y＝1，
3y 2
3, 2
所以x＋y＝3.
向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用； (2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解 题； (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．
对教材第32页例8，想一想：本题条件下，若点P(x，y)在直线AB上，其坐标 x，y应满足什么关系？ 提示：A→B ＝2，4 ， A→P ＝x，y －－1，－1 ＝x＋1，y＋1 由A→B ∥A→P ，可得 2y＋1 －4x＋1 ＝0， 整理得，2x－y＋1＝0.
1．已知 a＝(1，1)，b＝(－2，0)，则 3a－2b＝( )
＋3λ2)，所以
21＋1 2322
3, 4,
解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．如图，已知|O→A |＝|O→B |＝1，O→C ＝ 3 ，O→C ⊥O→B ，∠AOC＝30°，若 O→C ＝xO→A ＋yO→B ，则x＋y＝( )
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.建立如图所示的平面直角坐标系，
即7x＋4y＝20.① 又C→M ＝x，y－45 ，C→B ＝4，74 ， 因为C→M ∥C→B ，所以74 x－4y－54 ＝0， 即7x－16y＝－20 ②，联立①②解得x＝172 ，y＝2， 故点M的坐标为172，2 .
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
【加固训练】 如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
条件 结论
a＝x1，y1 ，b＝x2，y2 ，其中 b≠0
向量 a，b(b≠0)共线的充要条件是_x_1_y_2_－__x_2_y_1_＝__0_
向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可 以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何 中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应 用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．