函数的单调性-人教版

函数的单调性-人教版
函数的单调性
必修一 1.3 函数的基本性质
一、【教学目标】
建立增减函数的概念.观察一些函数图像的升降,形成增减函数的直观认识,再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律,由此得出增减函数的定义,掌握用定义证明单调性的基本方法与步骤.
函数的单调性的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言,理解增减函数单调区间概念的过程,在这个过程中,让学生通过自主探索活动,体验数学概念的形成过程,使学生学习数学思考的基本方法,培养学生的思维能力.
二、【教学重难点】
重点:形成增减函数的形式化定义.
难点:形成增减函数的概念的过程中,如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达;用定义证明函数的单调性.
三、【学情分析与教学基本流程】
学生刚进入高中不久,对高中的学习还没有很好的进入状态,应适当结合初中的学习方式,结合前面的学习内容,做出下面的流程
1.从直观具体图像引入→
2.直观认识增减函数→
3.定量分析增减函
数→4.给出增减函数定义→5.有图像说出单调区间→6.里用定义证明单调性→7.例题讲解互动→8.归纳总结
四、【教学过程】
（1）情景设计
由图像你能说出函数图像有什么特点？
[设计意图：启发学生由图像获得函数性质的直观认识，从而引入新课。

]
1：同学们，在前面的学习中，我们学习了函数以及函数的表示，知道函数有三种表示方式，那么谁可以告诉我是哪三种呢？（解析法、列表法、图像法）今天我们就函数图像，继续来学习函数的相关知识。

2：下面大家看一下老师在黑板上画一个函数y=sin x图象，大家依次从左往右观察函数图象是怎么变化的?(从左往右观
察函数图象有时上升,有时下降) 这节课，我们就函
数图象的这一上升与下降来学习函数的基本性质。

（板书）
（2）直观认识
1：同学们再来看老师做一个函数y=x图象，再用刚
才的方式，从左往右观察函数图象是如何变化的（从
左往右观察函数图象是上升的）。

[设计意图：让学生体会函数的图象是上升的]
2：大家再看老师做一个函数2x
y 图象，再用刚才
的方法观察函数图象?(函数图象在y轴左侧是下降
的，在轴y右侧是上升的)
[设计意图：让学生体会同一函数在不同区间上的变
化差异]
3：大家看看这两个函数图象变化，有什么区别呢？（函数y=x图象
2）当21x x <,都有f (x 1)>f (x 2)，我们说函数f (x )在区间D 上是减函数。

注：讨论函数是增减函数是在区间上说的，且取的两个自变量是任意的。

6：我们在做两个增减函数的图象来看看：
7：我们知道了函数是增减函数的定义，现在我们在来学
习两个概念：函数的单调性和单调区间。

如果函数f (x )在区间D 上是增函数（或减函数），那么我们
就说函数f (x )在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做单调区间。

大家想想，为什么强调严格呢？要是函数f (x )在区间上既有增的部分，又有减的部分，我们还能说既有严格的单调性么？不能，所以我们说函数f (x )在某个区间上具有严格的单调性，则它在区间上只能是增函数或者减函数的其一。

（5）练习与应用
例1．图是定义在区间上的函数，根据图象说明
函数的单调区间，以及在每一区间上，它是增函
数还是减函数？
[意图：让学生知道区间端点的可取可无，知道函数在一个点的时候没有单调性]
例2.物理学中的玻意耳定律V
k p =（k 为正常数）告诉我们，对于一定气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大。

试用函数的单调性证明之。

分析：只要证其在（0, +∞）上是减函数即可证出。

一、图象法。

从公式可以看出它是一个反比例函数，其中k>0，知其图象在一三象限，又体积是正数，知图象在第一象限，且图象下降，所以是减函数。

二、定义证明。

设21,V V 是区间（0, +∞）上任意的两个
实数，且1V <2V ，有
P(1V )=1V k ,p(2V )=2V K ,则P(1V )-p(2V )=1V k -2V K =2
112V V V V k -, ∵⎪⎩⎪⎨⎧>>->00,02
112V V V V k , ∴2112V V V V k ->0，即P(1V )-p(2V )>0, P(1V )>p(2V ). 所以，函数V
k p =，V ∈（0, +∞）是减函数。

也就是说当其体积V 减小时，压强p 将增大。

（6）课堂小结
增减函数的定义，单数的单调性与单调区间；
增减数数的判断，可以有函数图象，可以由定义；
用定义证明增减函数的步骤。

（7）课后作业
五、【板书设计】
函数的基本性质---单调性
证件函数定义 例题。