江西省六所重点中学2011届高三联考数学试题1 精品

江西省重点中学六校2011届高三第二次联考
数学试题（理）2011.2.26
命题人：任弼时中学 陈明 审题人：任弼时中学 刘家勇
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1、复数5
(2)12i i i
+-等于（ ）
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
2、以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的图的方程为（ ） A ．x 2+y 2+2x=0 B ．x 2+y 2+x=0 C ． x 2+y 2-2x=0 D ． x 2+y 2-x=0
3、对于函数f(x)= sin cos x x ，下列选项中正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2π B ．f （x ）的最大值为1
C ．f （x ）的图像关于原点对称
D ．f （x ）在（4π 2
π
）上是增加的
4、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地在空间中，若两个正四面体的棱长比1:2，则它们的体积比为（ ） A.1:4 B.1:8 C.1:16 D.1:32
5、幂函数()n f x x =1
(1,2,3,,1)2
n =-，具有如下性质：22(1)(1)2[(1)(1)1]f f f f +-=+--
则函数()f x （ ）
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
6、某台小型晚会由6个不同的节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序编排方案共有（ ）
A ．54种
B ．48种
C ．42种
D ．36种
7、若多项式（1+x ）n
=a 0+a 1x+a 2x 2+…a n x n 满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =80，则a 3=( ) A ．5 B.10 C.15 D.20
8、设{a n }
是公比q =S n 是{a n }的前n 项和记21
17n n
n n s s T a +-=
，设Tn 0
是数列{T n }的最大项，则n 0等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9、函数2
1()ln 12
f x x x =-
+ A ．在区间（0，1）（1，2）均有零点
B ．在区间（0，1）有零点，在（1，2）无零点
C ．在区间（0，1）（1，2）均无零点
D ．在区间（0，1）内无零点，在（1，2）内有零点
10、设0＜b ＜1+a ，其关于X 的不等式（x-b ）2＞（ax ）2的解集中整数恰有3个，
则2a+b 的取值范围为（ ） A ．（2，10） B ．（-2，6） C ．（0，6） D ．（10，16） 二、填空题（本大题共5小分，每小题5分，共25分）
11、已知函数y=2log 2x x ⎧⎨-⎩
x 的值，求其对应的函数值y
的程序框图：①处应填写
②处应填写
12、如图所示某多面体的三视图，则这个多面体的最长的一条棱长为。

13、2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度150的欢礼台上某一
列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排的斜
面距离为米，则旗杆的高度为
米。

14、函数()M f x
的定义域为R ，且定义如下：1()0M f x ⎧=⎨⎩ M 为非空
数集，且M ），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足A ∩B=∅，
则函数()
1
()()()1
A B A B f x f x f x f x +=
++ 的值域为 .
15、考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的A 题评分。

A ．（不等式选做题）已知实数a ，b ，c 依次成公差不为零的等差数列给出下列不等式：
①12b a c b
-+≥- ②333444
a b b c c a a b c ++≥++
③2b ac ≥ ④b a c b -≤- 其中成立的序号是
B ．（坐标系与参数方程选做题）已知圆
C 的参数方程为1cos sin x y α
α=+⎧⎨=⎩（α为
参数），以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。

16、（本小题满分12分），如图，点A 在x 轴的正半轴上，直线AB 的倾斜角为3
π
，
OB =2，设∠AOB=θ,θ3(,)24
ππ∈. (1)用θ表示点B 的坐标及OA . (2)若tan θ
=-4
3
，求∙的值。

17、（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨） 进行统计，最近50天的统计结果如图所示， （1）计算这50天的日平均销售量
（2）若以频率作为概率，且每天销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，x 表示该种商品 两天销售利润的和（单位:千元）求x 的分布列和数学期望。

18、（本小题满分12分）
如图，P 、O 分别是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1上、
下底面的中心，E 是AB 的中点，1
（1）求证：A 1E ∥平面PBC ；
(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
19、（本小题满分12分）
设数列{a n }的前n 项积为T n 且T n =1-a n ；数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =1-b n
(1)求证数列{
1
n
T }成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若T n (nb n +n-2)≤kn 对任意正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围. 20、（本小题满分13分）
已知f(x)=x 2+ax+a(a ≤2,x ∈R),g(x)= x e -, h(x)=f(x)·g(x).
(1)当a=1时，求h （x ）的单调区间；
(2)求g(x)在点（0，1）处的切线与直线x=1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积；
(3)是否存在实数a,使h(x)的极大值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 21、（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，直线l ：与椭圆C 交于A 、B 两点，AB =2，∠AOB=2
π
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若M 、N 是椭圆C 上的两点，满足∙，试求MN 的最小值.
江西省六所重点中学2011届高三联考(理科)
数 学 答 题 卡 座位号
一、选择题（10×5=50分）
二、填空题（5×5=25分）
11、 12、 13、 14、 15、A B 三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分）
江西省六所重点中学2011届高三联考
（理科数学）参考答案
一、选择题
1-5、DCCBB 6-10、CBBAA 二、填空题
11、①x ＜2 ②2log x
y = 12
、、30 14、｛1｝
15、A ①③④ B （1,1），（1，-1）
三、16、解（1）点B 的坐标为(2cos ,2sin )θθ …………2分 在△AOB ，∠B=
34πθ-，由正弦定理可得|OA|=
3sin()4
π
θ-……6分
(2) 3sin()cos 4
OA OB π
θθ=-
因为43tam θ=- 3(,)24ππθ∈ ∴3(,
)24ππθ∈ 3
cos 5
θ=- …………… 8分
又333sin()sin cos cos sin 44410
πππθθθθ-=-=
所以312
()10525
OA OB ⋅=-=- …………………… 12分
17、解：（1）月平均销售量为
10 1.525215
1.5550
+⨯+⨯=（吨）………………2分
（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率P=0.5，设5天中该商品
有y 天的销售量为1.5吨，由y ～B （5，0.5），
所以p （y=2）= 2
2350.5(10.5)C ⋅-=0.3125 …………………… 5分
②X 的可能取值为4,5,6,7,8 ……………………6分 P （x=4）=0.22=0.04 P （X ）=5）=2×0.2×0.5=0.2 P （x=6）=0.52+2×0.2×0.3=0.37
P （x=7）=2×0.5×0.3=0.3 P=（x=8）=0.32=0.09
10分
EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=0.2（千元） ………12分
18、解（1）过p 作MN ∥B 1C 1 分别高A 1B 1，D 1C 1于M ，N ，则M ，N 分别为A 1B 1，D 1C 1
的中点，四边形BCNM 为平行四边形，又E ，M 分别为AB ，A 1B 1中点，
所以A 1E ∥MB ，
PBC ，所以A 1
E ∥平面PBC ……………… 6分
（2）过A 作AF ⊥MB 于F ，连PF
因为BC ⊥面ABB 1A 1，面ABB 1A 1，所以AF ⊥BC ，所以AF ⊥面PBC
∠APF 就是直线AP 所成的角 ……………… 8分
设AA 1=a 则，AF=
3a ， s i n ∠APF=
3
12分 19、解（1）由T n =1-a n 得1
1n
n n T T T -=-
（n ≥2） T n ·T n-1=T n-1-T n ,所以
1
11
1n n T T --= 又T 1=1-a 1=a 1，112a =
112T =，所以数列｛1
n
T ｝是以2为首项，1为公差的等差数列 ………4分 （2）
1
n
T =2+（n-1）·1=n+1，11n T n =+，11n n n a T n =-=+ …………6分
（3）因为S n =1-b n ，S 1=1-b 1=b 1 所以b 1=
1
2
n ≥2时，b n =s n -s n -1=b n-1-b n ，2b n =b n -1
所以｛bn ｝是以12为首项，1
2
为公比的等比数列
∴ b n =b 1(12)n-1=(12
)n
…………7分
∵T n (nb n +n-2)≤kn 对N ∈N +恒成立
∴T n (b n +
2n n -)≤k 对N ∈N +恒成立，即
112
()12(1)
n n K n n n -⋅+≤++恒成立 …………8分
记11()()12n f n n =
+，则111(1)()22
n f n n ++=⋅+，显然f(n)＞f(n+1) ∴n ∈N +时 f(n)单调递减…………9分
证2()(1)
n g n n n -=
+，则4(1)()(1)(2)n
g n g n n n n -+-=++
∴1≤n ＜4时，g(n)递增；g(4)=g(5)；当n ≥5时，g(n)递减 …………10分
设L(n)=f(n)+g(n)，则L(1)＜L(2)＜L(3), L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6) ＞…
∴L(3)最大，且L(3)= 1196 K 的取值范围为[11
96，+∞) …………12分
20、解(1)当a=1，h （x ）=（x 2+x+1）e -x
， （x ）h （x ）=e -x （-x 2+x ）
当h （x ）＞0时，0＜x ＜1，当h （x ）＜0时，x ＞1或x ＜0 ∴h （x ）的增区间是（0，1）减区间是（-∞，0）、（1，+∞）………3分 （2）切线的斜率k=g 1(0)=e -x |x=0=-1 ∴切线方程为y=-x+1
所求封闭图形面积为
12100111[(1)]()22x
x S e x dx e x x e --=⎰--+=-+-=
- …………6分 （3）h （x ）=（2x+a ）e -x -e -x （x 2
+ax+a ） =e -x [-x 2+（2-a ）x] 令h （x ）=0，得x=0或x=2-a
设h(a)=(4-a)e a-2，h 1(a)=(3-a)a-2＞0 ∴h(a)在(-∞，2)
是增加的
∴h(a)≤h(2)=2＜3，即(4-a)e a-2≠3
∴不存在实数a ，使h （x ）的极大值是3 …………13分
21、解：（1）设A （x 1y 1） B （x 2y 2） 由＜AOB=2
π
得12120x x y y +=
而11)x y -
22)x y -代入上式得4y
1y 2-3(y 1+y 2)+3=0 …2分 而
|AB|=2121221
y y y ⇒-=⇒-= 不妨设y 2＞
y 1，则y 2=y 1+1
由①②解得1201y y =⎧⎨=⎩或1212
32
y y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以1
)2
A 3()2
B 或A B （0，1） 若1
()22A 3()22B -代入椭圆方程22221x y a b +=（a ＞b ＞0）无解
若A B （0，1）则椭圆方程为2
213x y += ……………… 7分
（2）∵M ，N 是椭圆2
213
x y +=上的点，且OM ⊥ON
故可得1122(cos ,sin ),(sin ,cos )M N γθγθγθγθ- ………………8分
于是22
21
cos (sin )13θγθ+= 2
222sin (cos )13
θ
γθ+= 从而
2
2
121
1
43
γγ+
= 222
12MN γγ=+ …………… 10分 又22
2
212
1
2
22221221
11
()()24γγγγγγγγ++=++≥
从而|MN|2≥3即|MN||MN|…………… 14分。