【周考试卷】高二数学(理科)周考试卷(一)及答案(2-16)

高二数学（理科）周考试卷（一）2-16
班级： 座号： 姓名： 成绩：
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数
2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切
球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2＝( )
A.18
B.19
C.164
D.127
3.已知点B A M ，，，
)01(是椭圆14
22
=+y x 上的动点，且0=•，则•的取值范围是.
A.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡132， B. []91， C.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡932， D.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡336， 4.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )
A.12
B.32
C.35
D.45
5. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上，O 为坐标原点，若20AF BF +=u u u r u u u r
，则OAB ∆的面积为
A ．8
B ．4
C ．2
D ．6.已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y 若对
于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，则实数c 的取值范围是
(A)4≥c (B) 3≥c (C) 2≥c (D) 1≥c
二、填空题（每小题5分，共20分） 13.观察下列等式
12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照
此
规
律
，
第
n
个
等
式
可
为
___________________________________________．
14. 已知数列{}n a 满足：*12211,2,()n n n a a a a a n N ++===-∈，函数3()tan f x ax b x =+，若4()9f a =，则12017()()f a f a +的值是 .
15.已知双曲线），，：00(122
22>>=-b a b
y
a x C 以C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆
被C 截得劣弧长为
a 3
2π
，则双曲线C 的离心率为 . 16.已知奇函数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞U 为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x <
；②()1
12
f =；③()()22f x f x =,则不等式
()224f x x x <的解集为 .
三、解答题（每题12分，共24分，应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，3PA =，
4AD =
，AC =60ADC ∠=o ，E
为线段PC 上一点，且PE PC λ=u u u v u u u v
．
（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；
（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面PAD ，直线AE 与平面
PBC
λ的值．
E
D
C
B
A
P
18．（本小题满分12
分）已知点P 是直线2y x =+与椭圆2
22:1(1)x
y a a
Γ+=>的一个公
共点，12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知,A B 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任
意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点(0,),(0,)M m N n ，试判断mn 是否为定值，并说明理由．
13．(本小题满分12分)已知函数(1)
()ln 1
a x f x x a R x -=-
∈+，． (Ⅰ)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2
ln ln n
m n m n m +<
--．
16．解：（Ⅰ）在
ADC ∆中， 4AD =，AC =60ADC ∠=o ，
由正弦定理得：1sin sin =∠=
∠AC
ADC
AD ACD ，090ACD ∴∠=即AC DC ⊥．… 3分
ΘPA ⊥平面ABCD ， ∴DC PA ⊥． ………………………… 4分
又AC PA A =I
， ∴CD PAC ⊥面．………………………… 5分
ΘAE PAC ⊂面，∴CD AE ⊥． ………………………… 6分
（Ⅱ）ΘPA ⊥平面ABCD ， ∴PA AB ⊥,PA AD ⊥．∴BAD ∠即为二面角B PA D --的
平面角. Θ平面PAB ⊥平面PAD ， 090BAD ∴∠=．………………………… 7分 以A 为原点，以,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则)3,0,0(),0,3,3(),0,0,3(),0,0,0(P C B A ，)0,3,0(),3,0,3(=-=BC PB ． 8分
设
),,(000z y x E ，由λ=即000(,,3)3x y z λ
-=-，），
得
000,3,33x y z λλ==-，∴,3,33)AE .λλ=-uu u v
(9)
分
设平面PBC 的一个法向量(,,),x y z =n 则,PB BC ⊥⊥uu v uu u v
n n ，
∴0,0,
PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu v uu u
v n n
即3030z y -==⎪⎩，，令3=x
，得.=n ………… 10分
设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则
sin AE AE
θ⋅=⋅uu u r
uu u r n n ……11分
∴13λ=或
11
21
．…………… 12分
17． 解法一：（Ⅰ）将2y x =+代入椭圆方程2221x
y a
+=，
得2222(1)430a x a x a +++=， ………………1分
Q 直线2y x =+与椭圆有公共点，
∴422164(1)30a a a ∆=-+⨯≥，得23a ≥
，a ∴≥ ………………3分
又由椭圆定义知122PF PF a +=， 故
当a =时，
12
PF PF +取得最小值，此时椭圆C 的方程为
2
213
x y +=.………………4分
（Ⅱ）设111100(,),(,),(,)A x y B x y Q x y -，且(0,),(0,)M m N n ，
Q QA QM k k =，010010y y y m x x x --∴=-，即001001
()x y y y m x x --=-，
0m y ∴=-
00101()x y y x x --=0110
01
x y x y x x --． ………………6分
同理可得n =
0110
01
x y x y x x ++． ………………8分
2222
01100110011022
010101
x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=-+-， ………………10分 又220013x y +=，22
1113x y +=，2
20013x y ∴=-，221113x y =-，
2
22
2
012201012222
0101(1)(1)
331x x x x x x mn x x x x ----∴===--
则mn 为定值1． ………………12分 解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称点1F '， 连结12F F '交直线于点P 时，12
PF PF +取得最小值，
此时满足1
212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． (1)
分
设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐标为
()2,2c --+，
∴122F F a '=
2a =， ………………3分
又221
c a =-，解得23a =，此时椭圆
C
的方程为
2
213
x y +=． ………………4分
（Ⅱ）同解法一．
18解: （Ⅰ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222
(1)2(22)1
.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++
由题意知'(2)0f =，代入得94
a =，经检验，符合题意。

从而切线斜率'1(1)8
k f ==-，切点为()1,0， 切线方程为810x y +-=
（Ⅱ）22
(22)1
().(1)
x a x f x x x +-+'=+
因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数，所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立
.
22(22)10(0,).
1
(0,),(22)10,22.
11(),(0,).() 2.
1
,1,() 2.
x a x x x a x a x x g x x x g x x x x x x g x x +-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值 22 2. 2.a a -≤≤所以所以
所以a 的取值范围是(,2].-∞
（Ⅲ）要证2ln ln n
m n m n m +<
--，只需证21
ln 1+<-n m n
m n m ， 即证2(
1)ln .1m m n m n
n ->+只需证2(1)
ln 0.1m m n m n n
-->+
2(1)()ln .1
x h x x x -=-
+设由（Ⅱ）知()(1,)h x +∞在上是单调增函数，又1m
n >，
所以()(1)0m h h n >=，即2(
1)
ln 01m
m n m n n
-->+成立
所以 ln ln 2
m n m n
m n -+<
-。