阿荣旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

阿荣旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合，，则（ ）
{2,1,0,1,2,3}A =--{|||3,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,0}--{1,0,1,2}-{2,1,0}--{1,,0,1}
-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
2． 已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A ．
B ．或36+
C ．36﹣
D ．或36﹣
3． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ）
A ．M=P
B ．P ⊊M
C ．M ⊊P
D ．M ∪P=R
4． 设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）
A ．[，2）
B ．[，2]
C ．[，1）
D ．[，1]
5． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）
B ．D ．上是减函数，那么b+c （
）
A ．有最大值
B ．有最大值﹣
C ．有最小值
D ．有最小值﹣
6． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ）
A ．7049
B ．7052
C ．14098
D ．14101
8． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞29． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，
=（2，4），
=（1，3），则
等于（
）
A ．（2，4）
B ．（3，5）
C ．（﹣3，﹣5）
D ．（﹣2，﹣4）
10．已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
11．已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．抛物线y 2=2x 的焦点到直线x ﹣y=0的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=
，则= ．
15．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数，若曲线在点处的切线经
()3
2f x x x =-()f x ()()
1,1f 过圆的圆心，则实数的值为__________．
()2
2:2C x y a +-=a 16．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称；③y=（
）﹣x 是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．　
17．已知，，那么
.
tan()3αβ+=tan(24
π
α+
=tan β=
18．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外
），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
三、解答题
19．已知函数x
x x f --
-=
713)(的定义域为集合A ，，{x |210}B x =<<{x |21}
C a x a =<<+（1）求，B A C R ⋂)(；
A B （2）若，求实数a 的取值范围.
B C B = 20．（本小题满分12分）
在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6≥0对一切实数x 恒成立.
（1）求cos C 的取值范围；
（2）当∠C 取最大值，且△ABC 的周长为6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC 的形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆，、分别为左、右顶点， 为其右焦点，是椭圆上异于、的C A B 2F P C A B 动点，且的最小值为-2.
PA PB
A （1）求椭圆的标准方程；
C （2）若过左焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
1F C M N 、22F M F N
A
22．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=，曲线C 的参数方程为
．
（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M 平行于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|•|MB|=，求点M 轨迹的直角坐标方程．　
23．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．
（1）求∠BDA 的大小（2）求BC 的长．
24．（本小题满分10分）已知圆过点，.
P )0,1(A )0,4(B （1）若圆还过点，求圆的方程； P )2,6( C P （2）若圆心的纵坐标为，求圆的方程.
P P
阿荣旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,0,1,2,3}x ∈--||3{3,2,1,0}y x =-∈---A B = {2,1,0}--2． 【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
或
．
故选D
3． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}；∴P ⊊M ．故选B ．　
4． 【答案】C
【解析】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），∴令x=n ，y=1，得f （n ）•f （1）=f （n+1），即
=
=f （1）=，
∴数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n =f （n ）=（）n ，
∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．
故选C ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．　
5．【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，
则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．
故选B．
6．【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，
设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，
垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：
则由EG为直角梯形的中位线知，
EG====5，
∴EH=EG﹣1=4，
则AB的中点到y轴的距离等于4．
故选D．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．
7．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
9．【答案】C
【解析】解：∵，
∴==（﹣3，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
10．【答案】B
【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．　
11．【答案】B
【解析】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，
再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．
故选B
【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．　
12．【答案】C
【解析】解：抛物线y 2=2x 的焦点F （，0），由点到直线的距离公式可知：F 到直线x ﹣
y=0的距离d=
=，
故答案选：C ．　
二、填空题
13．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1
≥【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,
2x π
∃∈
，sin 1
≥考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.14．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=
，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，
由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．
化简可得 5ab=3b 2，∴ =．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．　
15．【答案】2
-【解析】结合函数的解析式可得：，
()3
11211f =-⨯=-对函数求导可得：，故切线的斜率为，
()2
'32f x x =-()2
'13121k f ==⨯-=则切线方程为：，即，
()111y x +=⨯-2y x =-圆：的圆心为，则：.C ()2
22x y a +-=()0,a 022a =-=-16．【答案】　②④　
【解析】解：①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称，故正确；③y=（
）﹣x 是减函数，故错误；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0，故正确．故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．　
17．【答案】43
【解析】
试题分析：由得， 1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-1
tan 3
α=tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=
++．1
34313133-
=
=+⨯
考点：两角和与差的正切公式．18．【答案】　1　．
【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，可通过特殊点，取A （﹣1，t ），
则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ），由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得
﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】（1），；（2）或
{}210A B x =<<U (){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或71a ≤-。

922
a ≤≤
【解析】
试题分析：（1）由题可知：，所以，因此集合，画数轴表示出集合A ，
30
70
x x -≥⎧⎨
->⎩37x ≤<{}37A x x =≤<集合B ，观察图形可求，，观察数轴，可以求出，则
{}210A B x =<<U {}
37R C A x x x =<≥或；（2）由可得：，分类讨论，当时，
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7B C B =U C B ⊆B φ=，解得：，当时，若，则应满足，即，所以，21a a ≥+1a ≤-B φ≠C B ⊆21
2
2110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩922a ≤≤因此满足的实数的取值范围是：或。

B C B =U a 1a ≤-9
22
a ≤≤试题解析：（1）：由得：
3070x x -≥⎧⎨->⎩
37
x ≤<A={x|3x<7}
≤， B A C R
⋂)(=
A B {x |2x 10}=<<{x|2<x<3x<10}
≤或7（2）当B=时，φ21,a -1
a a ≥+≤当时，，B φ≠21
22110
a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
922a ≤≤
即或 。

-1a ≤922
a ≤≤
考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

20．【答案】【
解
析
】
21．【答案】（1）；（2）.22
142
x y +=22[2,7)F M F N ∈- A 【解析】
试
题解析：（1）根据题意知，即，
c a =221
2
c a =∴，则，222
12a b a -=22
2a b =设，(,)P x y ∵，
(,)(,)PA PB a x y a x y =-----
A A ，
222
2
2
2
2
2
21()222a x x a y x a x a =-+=-+-=-∵，∴当时，，a x a -≤≤0x =2
min ()22
a PA PB =-=- A ∴，则.
24a =2
2b =∴椭圆的方程为.C 22
142
x y +=
1111]
设，，则，，11(,)M x y 22(,)N x y 12x x +=2122
4(1)
12k x x k -=+
∵，，211()F M x y =- 222()F N x y =-
∴2
22121212)2(F M F N x x x x k x x =+++++ A
2221212(1))22
k x x x x k =+++++
2
2
2
224(1)(1)1)2212k k k k k -=+-++A .2
9
712k
=-+∵，∴.2
121k +≥2
10112k
<≤+∴.2
9
7[2,7)12k -∈-+综上知，.
22[2,7)F M F N ∈-
A 考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.22．【答案】
【解析】解：（1）直线l 的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l ：y=x ；
曲线C 的参数方程为．消去参数θ，
可得曲线
…
（2）设点M （x 0，y 0）及过点M 的直线为
由直线l 1与曲线C 相交可得：
，即：
，
x 2+2y 2=6表示一椭圆…
取y=x+m 代入得：3x 2+4mx+2m 2﹣2=0
由△≥0得
故点M 的轨迹是椭圆x 2+2y 2=6夹在平行直线
之间的两段弧…
【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．　
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=
…
∴∠BDA=60°…（2）∵AD ⊥CD ，∴∠BDC=30°…
在△ABC 中，由正弦定理得
，…
∴． …
24．【答案】（1）；（2）.04752
2
=++-+y x y x 4
25)2()2
5(2
2=-+-y x 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程，将02
2
=++++F Ey Dx y x 三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为，圆心与圆上任一点连线2
5
段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆的方程是，则由已知得
P 02
2
=++++F Ey Dx y x ，解得．⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++026)2(60
04040001222
222F E D F D F D ⎪⎩⎪⎨⎧==-=4
75F E D 故圆的方程为.
P 04752
2=++-+y x y x
（2）由圆的对称性可知，圆心的横坐标为，故圆心，P 25
241=+)2,2
5(P 故圆的半径，
P 25)20()251(||2
2=-+-==AP r 故圆的标准方程为.
P 4
25)2(25(2
2=-+-y x 考点：圆的方程。