初一奥数 第八讲 有理数综合
初中奥数有理数的运算
第1讲有理数的运算有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到：1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。
2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法的分配律也成立。
3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。
如（-3）-7=（-3）+（-7）。
在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）71。
7第2讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．（一）括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．1计算：46.02562)158175.18(47)1(（2）411)54()1()21(12)1()2(219983分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．（二）．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．5 计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．6 计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．7 计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．9 计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算．（三）．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．13 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。
初一奥数有理数的必考概念(上)
模块一：知识巩固模块二：重点题与易错题模块三：竞赛题与压轴题模块四：总结与拓展模块一：知识巩固正数、负数、0无理数：无限不循环小数有理数：整数和分数统称为有理数1．除了无限不循环小数以外其他所有的数。
2．能够表示成分数mn(0n ，m 、n均为整数且互质)形式的数数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数。
注意：求一个数或式子的相反数，只要在数和式子的前面加负号。
倒数：乘积为1的两个数。
负倒数：乘积为-1的两个数。
绝对值：点到原点距离。
注意：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
模块二：重点题与易错题【例1】某公车原先有22人，经过4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：( +4，-8)，(-5，+6)，(-3，+2 )，(+1，-7)，则①“+4”、“-5”分别表示什么意义？②这4个站点总共新上了多少人？③经过4个站点后，车上还有多少人？【例2】-a 的相反数为5，b 的倒数是c ，c 的负倒数是2，d 在数轴的左边且与原点的距离为3，求32()a b d c ---的值。
【例3】已知a ，b 互为相反数，x 的绝对值为2，c 、d 互为倒数，试求2()x a b cd x ++++19971998()()a b cd ++- 的值。
【例4】若有x ，y 满足22002(1)1210x x y -+-+=，则22x y +的值为多少？【例5】 式子212x ++的最小值是 ，这时x ＝ 。
【例6】已知()225-60x y y +++=，则22315y xy x x -++=【例7】如果35.19139.8=，那么3519=( )A ．139800000B ．13980000C ．1398000D ．139800模块三：竞赛题与压轴题【例8】 已知：199919991999199819981998a ⨯-=-⨯+200020002000199919991999b ⨯-=-⨯+200120012001200020002000c ⨯-=-⨯+则abc 等于__________【例9】计算：7131925601+++++【例10】计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例11】已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小。
初一数学有理数知识总结及练习
初一数学有理数知识总结及练习一、 知识点回顾1．相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。
（向东——向西） 例2：温度是零上10℃和零下5℃。
（零上——零下） 例3：收入500元和支出237元。
（收入——支出） 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。
（升高——下降） 例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。
（买进——卖出） 例6：你看过电视或听过广播中的天气预报吗？记录温度计所示的气温25ºC ，10ºC ，零下10ºC ，零下30ºC 。
为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。
2．正数和负数定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。
注意：零既不是正数，也不是负数。
巩固练习：①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。
比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨 ；②下面说法正确的是（ ）A ．正数都带有“+”号B ．不带“+”号的数都是负数C ．小学数学中学过的数都可以看作是正数D ．0既不是正数也不是负数 3．有理数定义：1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
分类：从两个角度按照不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类 ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注：①“0”也是自然数。
有理数的综合复习、提高 初一数学
【基础知识】一、有理数的加法运算法则：（1）同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号相加，绝对值相等时值为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数和0相加，仍得这个数。
二、有理数的减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
字母表示：a-b=a+(-b) 三、有理数的乘法法则：法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 法则2：任何数与零相乘，都得零.法则3：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。
注意：多个不为0的数相乘，先确定结果的符号，再算出结果的绝对值。
任何数乘以—1得它的相反数。
法则4：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
四、有理数的除法法则：（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数1(0)a b a b b÷=≠（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！五、有理数的加减乘除混合运算：先乘除后加减，有括号的先算括号，同级运算从左到右。
练习一：一、填空题：（每小题2分，共20分） 1.32-的相反数是____________，53-的倒数是____________. 2. 绝对值等于2.5的数是_______________.3. 比较大小：3______5-，0_______2-，32-_______43-.4. 计算：2132+-=_______，3×)6(-=_________. 5.3)2(--的底数是_________，结果是_________.6. 计算：)7(71)1(-⨯÷-=____________. 7. 如果一个家庭把本月的收入记作“+”，而把本月的支出记作“－”，那么这个家庭本月工资收入4200元，奖金400元，生活费用1300元，买彩票500元，中奖一注20000元，报个人所得税4000元，本月这个家庭的收支情况可依次简记为____________________________________________________. 8. 45.0-与8+的和减去+1.7的差是_________.9. 仔细观察下列各数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明理由. 0，2，4，_______，________，理由：____________________________. 10、计算： ()=-32 ， ()=-101 ， =-23 二、选择题：11、下面给出的四条数轴中画得正确的是（ ）1-011- A B C D12、如果向东走50米记作+50米，那么－50米表示（ ）A 、向西走50米B 、向南走50米C 、向北走50米D 、向东走50米 13、下列说法正确的是（ ） A. 正数和负数统称有理数 B. 正整和负整数统称为整数 C. 小数3.14不是分数D. 整数和分数统称为有理数14、若22)2() (-=，那么（ ）中应填的数是（ ）A. 2-B. 3C. 4D. +2或2-15、 若一个数的绝对值的相反数是5-，则这个数是（ ） A. 5B. 5-C. ±5D. 0或516、 数轴上表示31-的点与表示21-的点的距离是（ ） A. 61-B. 65C. 61D. 2117、 一个有理数的平方与它本身的和等于0，那么这个有理数是（ ） A. 0和1B. 0和1-C. 0D. 118、 计算20062005)1()1(-+-的值等于（ ） A. 2B. 2-C. 0D. 119、 下列等式成立的是（ ） A. 33±=±B. )2(2--=-C. 222)2(±=±D. 312312=--20、下列对“0”的描述中说法正确的是（ ） A 、是最小的正数 B 、它的相反数是它本身 C 、它的倒数是它本身 D 、是最大的负数 三、解答题：（共50分）21、计算：（前4小题，每题3分，后4小题每题4分，共28分）(1) )21(41---(2) )2.2()32()05.1()54()31()75.1(++-+++++-++(3) )30()4.03221(-⨯+- (4) )100(21)1.0(-⨯÷-(5) 233)2(-- (6) 2)3121(36-⨯(7) )4()81()2(163-⨯---÷ (8) 101－102+103－104+…+199－20022．（4分）某部队新兵入伍时，对新兵进行“引体向上”测试，以50次为标准，超过50次用正数表示，不足50次用负数表示，第二小队的10名新兵的成绩如下表：求第二小队的平均成绩.23．（6分）把下列各数表示的点画在数轴上。
七年级数学 有理数综合复习 知识精讲
答：它在距出发点西边5米的地方．
评析：本题是一道有理数乘法与数轴知识综合运用的应用题，可以利用数轴的直观性使问题变得简单．
例5.有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（）
②几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.
2.基本运算（1）运算的法则：任何运算都是按照一定规则进行的．在将非负数扩大到有理数后，有理数计算规则的制定应当使原来的运算律仍然适用，应当使新的规则用到原来的非负数上时，与原来计算规则运算的结果相同．
运算法则必须对所有可能的运算情况进行说明，同时，因为一个有理数由符号和绝对值两部分组成，因此，运算法则还应从符号和绝对值的确定两个方面来说明．
解：（1）－9÷3＋（－）×12＋32＝－3＋×12－×12＋9＝－3＋6－8＋9＝4
（2）×（－9）＋×（－18）＋＝×（－9－18＋1）＝×（－26）＝－14
（3）－69×8＝－（70－）×8＝－（70×8－×8）＝－559
评析：在进行有理数的计算时，切记要灵活．在拿到题目之前先要看看题目的特点，选择恰当的运算性质，尤其是分配律的正向和反向应用．正确应用运算律会起到事半功倍的效果．
4.能运用有理数及其运算解决简单的实际问题．
二、知识要点：1.基本概念（1）有理数：从数的正负性来分，有理数可以分为：正数、负数和零；从一个数是否为整数来分，可以分为：整数和分数．如果将上述两个标准结合起来分类，有理数则可以分为：正整数、正分数、负整数、负分数和零．
（2）数轴：数轴是我们认识数、研究数的一个重要手段，它建立了数和直线上的点的对应关系，为研究数与形的问题拓展了新的思路，即可以借助图形的帮助来研究数的有关问题．①数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向．②任何一个有理数在数轴上都有唯一的一个点和它对应．
第八讲 有理数的混合运算2021年新七年级数学暑假课程(浙教版)(解析版)
第八讲 有理数的混合运算2.6有理数的混合运算【学习目标】1. 掌握有理数的混合运算；2. 知道有理数混合运算的顺序；3. 灵活运用有理数的运算顺序，掌握一些巧算的技巧。
【基础知识】一、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用．【考点剖析】例1．下列各式计算正确的是（ ）A ．826(82)6--⨯=--⨯B ．434322()3434÷⨯=÷⨯ C ．20012002(1)(1)11-+-=-+ D ．-（-22）=-4【答案】C 【解析】原式各项根据有理数的运算法则计算得到结果，即可作出判断． A 、82681220--⨯=--=-，错误，不符合题意； B 、433392234448÷⨯=⨯⨯=，错误，不符合题意； C 、20012002(1)(1)110-+-=-+=，正确，符合题意； D 、-（-22）=4，错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．例2．计算()()12510-÷-⨯的结果是（ ） A ．1 100B ．25C ．1D ．125【答案】D 【解析】根据有理数的乘除法法则即可得． 原式()112510⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭=，21510=⨯， 125=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键．例3．下列计算正确的是( )A ．(－4)×12÷12⎛⎫ ⎪⎝⎭×2＝－2÷(－1)＝2 B ．－32＋(7－10)2－4×(－2)2＝9＋9－16＝2 C ．(－6.25)×(－4)－120÷(－15)＝25－8＝17D ．0－(－3)2÷3×(－2)3＝0－9÷3×(－2)3＝0－3×(－8)＝24 【答案】D 【解析】根据有理数的运算法则即可求解． 【详解】 A ．原式＝4×12×2×2＝8，故错误； B ．原式＝－9＋9－4×4＝－16，故错误； C ．原式＝6.25×4＋120÷15＝25＋8＝33，故错误； D ．原式＝0－9÷3×(－2)3＝0－3×(－8)＝24正确， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．例4．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则式子()()321100a b cd +-的值是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．无法确定【答案】C 【解析】由相反数和倒数的定义，得到0a b +=，1cd =，再把数据代入计算，即可得到答案． 解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数， ∴0a b +=，1cd =， ∴()()321100a b cd +-=2011001- =1-； 故选：C ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，相反数的定义，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确得到0a b +=，1cd =．例5．如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【答案】C 【解析】分x 为偶数与奇数两种情况，根据题中的程序框图计算即可得到结果． 【详解】解：若x 为偶数，根据程序框图得：20×4+13=80+13=93＜100；22×4+13=88+13=101＞100；若x 为奇数，根据程序框图得：19×5=95＜100； 21×5=105＞100，则输入的最小正整数x 是21， 故选：C ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解本题的关键．例6．22223333m n ⨯⨯⨯+++个个＝（ ）A ．n 2m 3B ．23m nC ．23m nD ．32mn 【答案】B 【解析】分子部分利用乘方运算，分母部分利用乘法运算即可 【详解】解：22223333m n ⨯⨯⨯+++个个＝23m n ，故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和乘法运算，掌握运算的法则是关键.例7．计算112123123412542334445555555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++---+++++⋯++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值（ ） A ．54 B ．27C ．272D ．0【答案】C 【解析】根据有理数的加减混合运算先算括号内的，进而即可求解．解：原式＝﹣12+1﹣32+2﹣52+3﹣72+…+27 ＝27×12＝272． 故选：C ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是寻找规律．例8．利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为32102222a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为3210021202125⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可. 【详解】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为32101202102120⨯+⨯+⨯=+⨯，表示该生为10班学生.B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为3210021212062⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为6班学生.C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为3210120202129⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为9班学生.D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为3210021212127⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为7班学生. 故选B. 【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键.【过关检测】一、单选题1．下列各式计算正确的是（ ） A ．826(82)6--⨯=--⨯ B ．434322()3434÷⨯=÷⨯ C ．20012002(1)(1)11-+-=-+ D ．-（-22）=-4【答案】C 【解析】原式各项根据有理数的运算法则计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A 、82681220--⨯=--=-，错误，不符合题意；B 、433392234448÷⨯=⨯⨯=，错误，不符合题意； C 、20012002(1)(1)110-+-=-+=，正确，符合题意； D 、-（-22）=4，错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．下列运算错误的是()A ．22--=B ．()()636.410810800⨯÷⨯=C ．20152016(1)12--=-D ．1163632⎛⎫-÷-=⎪⎝⎭【解析】逐项计算后判断即可. 【详解】A 、22--=-，故A 错误；B 、()()6336.4108100.810800⨯÷⨯=⨯=，故正确；C 、20152016(1)1112--=--=-，故正确；D 、11166()6636326⎛⎫-÷-=-÷-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确故选：A. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算规则是关键. 3．下列计算结果中，正确的是( ). A ．()()2-9-3=1÷ B ．()29－÷(－23)＝－9 C ．()()32231-÷=－－ D ．()()62238-÷=-－－ 【答案】B 【解析】根据有理数混合运算法则，对每个选项进行计算，选出正确的选项即可. 【详解】解：()()2-9-3=-1÷， 故选项A 错误；()29－÷(－23)＝81÷()99=－－，选项B 正确； ()()()32823899-÷=--÷=－－，故选项C 错误； ()()6264236499--÷-=-÷=-，故选项D 错误；故选：B.本题考查有理数的混合运算，有理数的混合运算顺序，先乘方，再乘除，后加减. . 4．下列运算正确的有（ ）①()15150--=；②11111122344⎛⎫÷-+= ⎪⎝⎭； ③2112439⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ④()30.10.0001-=-；⑤22433-=- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A 【解析】根据有理数加减乘除运算法则，和乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】()151530--=-，故①错误；11111511211223412121255⎛⎫÷-+=÷=⨯= ⎪⎝⎭，故②错误； 2217492339⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故③错误； ()30.10.001-=-，故④错误；22433-=-，故⑤正确； 故选A ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，乘方的运算，关键是熟练掌握有理数的运算法则．5．一件商品原售价为2000元，销售时先提价10%；再降价10%，现在的售价与原售价相比（ ） A ．提高20元 B ．减少20元C ．提高10元D ．售价一样【答案】B 【解析】根据题意可列式现在的售价为()()2000110110⨯+%⨯-%，即可求解． 【详解】解：根据题意可得现在的售价为()()20001101101980⨯+%⨯-%=（元），所以现在的售价与原售价相比减少20元， 故选：B ． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键． 6．下列运算正确的是（ ） A ．()22-2-21÷=B ．311-2-8327⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1352535-÷⨯=- D ．133( 3.25)6 3.2532.544⨯--⨯=-【答案】D 【解析】根据有理数的乘方运算可判断A 、B ，根据有理数的乘除运算可判断C ，利用乘法的运算律进行计算即可判断D ． 【详解】A 、()22-2-2441÷=-÷=-，该选项错误；B 、33343191217-2-332727⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该选项错误； C 、1335539355-÷⨯=-⨯⨯=-，该选项错误； D 、13132713273(3.25)6 3.25 3.25 3.25 3.25()32.5444444⨯--⨯=-⨯-⨯=-⨯+=，该选正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．注意：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．7．对于任意有理数a 和b ，规定22a b ab ab a *=++．如21313213116*=⨯+⨯⨯+=．则(4)2-*的值为（ ） A ．36 B ．36-C ．8-D ．4-【答案】B【解析】根据给的定义式，代入计算即可． 【详解】()()()()242422424=16164=36-*=-⨯+⨯-⨯+-----，故选：B ． 【点睛】本题考查定义新运算，熟练掌握有理数的混合运算是关键． 8．计算11111 (133557793739)+++++⨯⨯⨯⨯⨯的结果是（ ） A ．1739 B ．1939C ．3739D ．3839【答案】B 【解析】 根据1111()(2)22n n n n =⨯-++ 计算即可．【详解】 解：∵111111111111111335577937392335573739⎛⎫++++⋯+=-+-+-+⋯+- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭1113819123923939⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭， 故选择B ． 【点睛】本考查了有理数的计算，掌握公式1111()(2)22n n n n =⨯-++是关键．9．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为-1，则输出y 的值为（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】把－1代入程序中计算，判断结果比0小，将结果代入程序中计算，直到使其结果大于0，再输出即可． 【详解】把－1代入程序中，得：()2-12-420⨯=-<， 把－2代入程序中，得：()2-22-440⨯=>， 则最后输出结果为：4. 故选：D 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键. 10．计算333333(1229)(2330)++++++-333333(2329)(1230)++++++的结果是（ ）A ．2020B ．20200C ．2700D ．27000【答案】D 【解析】观察题干发现存在共同的部分33229++，不妨令其为a ，将复杂的原式简单化，再进行计算.【详解】 解：令33229a =++，原式=()()()33130301a a a a ++-++=23323303030a a a a a a +⋅++--⋅- =330=27000，故选：D.【点睛】本题主要考查有理数混合运算，解题关键是利用换元法将原式化简.11．小华用甲、乙两个容积相同的试管做实验，甲管原来装满纯酒精，乙管是空的，第1次实验：把甲管中的酒精倒一半到乙管中，用水把甲管装满；第2次实验：用甲管中的液体把乙管装满；第3次实验：用乙管中的液体把甲管装满；第4次实验：用甲管中的液体把乙管装满．则做完4次实验后，甲管中的纯酒精是原来的()A．14B．58C．516D．1116【答案】C【解析】【解析】列表表示出每次操作后甲、乙两个试管中的酒精含量即可得答案.【详解】由题意可得如下表格：故选C.【点睛】本题考查了浓度问题，解答起来比较繁琐，应认真分析，明确每次从一个试管倒入另一个试管的纯酒精都是这个试管中纯酒精的一半是解题的关键.12．计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字0-9和字母A F共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表．例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯=（ ） A ．6E B ．72C ．5FD ．0B【答案】A 【解析】先算出十进制下的结果，再由十六进制下转换的规则转换即可得答案． 【详解】 ∵A=10，B=11，∴A×B=110=6×16+14=6E ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了“十六进制”与“十进制”数之间的换算关系，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．二、填空题 13．计算：－2÷4×12＝__________． 【答案】14- 【解析】根据有理数的乘除运算法则解答即可； 【详解】11112422424-÷⨯=-⨯⨯=-； 故答案是：14-． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，准确计算是解题的关键． 14．计算：2(12)(3)4(2)-÷-+÷-=____．【解析】根据有理数的混合运算的运算顺序，先算乘方与除法，再算加减，即可得出结果． 【详解】解：2(12)(3)4(2)-÷-+÷-44(4)=+÷- 41=-3=．故答案为：3． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的相关运算法则是准确计算的关键． 15．当n 为正整数时，221(1)(1)n n +-+-=_________． 【答案】0 【解析】利用-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1进而化简得出即可． 【详解】解：（-1）2n +1+（-1）2n =-1+1=0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算，利用-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1得出是解题关键． 16．某商品进价为100元，按进价提高50%后标价，实际销售时给顾客打了八折，卖出这件商品的利润是_________． 【答案】20元 【解析】根据利润=售价-成本价，要先求售价，再求利润． 【详解】解：实际售价为：（1+50%）×100×80%=120（元）， 利润为120-100=20元． 故答案为：20元．此题考查有理混合运算的应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．17．已知x 、y 互为相反数，a ，b 互为倒数，c 的绝对值等于2，则()202020202x y --ab c 2+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．【答案】3 【解析】由x 、y 互为相反数，a 、b 互为倒数，c 的绝对值等于2，得出x+y ＝0、ab ＝1，c ＝±2，代入计算即可． 【详解】解：∵x 、y 互为相反数，a 、b 互为倒数，c 的绝对值是2， ∴x+y ＝0，ab ＝1，c ＝±2，24c =，∴()()20202020202020202014014322x y ab c +⎛⎫⎛⎫--+=--+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：3． 【点睛】本题考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键．18．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，第4次倒出的水量是14升的15，…按照这种倒水的方法，倒了n 次后容器内剩余的水量是______． 【答案】11n + 【解析】根据题意易知倒出水的规律，第n 次倒出的水为()11+n n ，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】 根据题意可知， 第一次倒出：112⨯，第二次倒出：123⨯， 第三次倒出：134⨯，第n 次倒出：，()11+n n()11112231n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ 11111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+1n n =+． ∴倒了n 次后容器内剩余的水量()1111111223111n n n n n ⎛⎫=-++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪⨯⨯⨯+++⎝⎭． 故答案为：11n +． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律，如第n 次倒出的水为()11+n n ．19．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______．【答案】294 【解析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果． 【详解】解：2×53+1×52+3×51+4×50=294，故答案为：294． 【点睛】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提． 20．定义两种新运算，观察下列式子：（1）4x y x y Θ=+，例如，134137Θ=⨯+=； 3(1)43(1)11Θ-=⨯+-= ； （2）[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]2.22=；[]3.244-=-；根据以上规则，计算1191()(2)24⎡⎤⎡⎤Θ-+-Θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦_______．【答案】-1 【解析】分别根据（1）的新定义4x y x y Θ=+计算出两个中括号里的值，再根据（2）的新定义[]x 表示不超过x 的最大整数去中括号，即求得最终结果． 【详解】解：根据（1）的新定义4x y x y Θ=+，11()2Θ-=1741+=22⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，19(2)4-Θ=()19134244⨯-+=-， 根据（2）的新定义[]x 表示不超过x 的最大整数，[]7=3.5=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]13 3.2544⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦， ∴1191()(2)24⎡⎤⎡⎤Θ-+-Θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3+（-4）=-1．故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则，根据新定义列出式子并求值是解决本题的关键．21．设2222222212233420192020 (12233420192020)A ++++=++++⨯⨯⨯⨯，则A 的整数部分为_________． 【答案】4038 【解析】将原式拆开，同分母分数结合相加，即可得到结果． 【详解】解：2222222212233420192020 (12233420192020)A ++++=++++⨯⨯⨯⨯ =3420192020 (21324320202019)1223++++++++ =4201820202019...122332019201920202132⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2019222 (22020)+++++（2019个2相加） =201940382020∴A 的整数部分为4038． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．已知a 、b 、c 是有理数，且0a b c ++=，0abc <则||||||b c a c a ba b c +++++的值是______． 【答案】1- 【解析】由a+b+c=0和abc 为负数可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数；然后把a+b+c=0变形，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵0a b c ++=，0abc <∴a ，b ，c 中只能有一个负数，另两个为正数， 不妨设0a <，0b >，0c >， ∵0a b c ++=∴a b c +=-，b c a +=-，a c b +=-， ∴原式||||||a b c a b c ---=++ 111=--1=-．故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算．根据题意得到这三个数中只能有一个负数成为解答本题的关键．三、解答题 23．计算：（1）3+50÷22×(-15)－1； （2）[135×(1-49)]2÷[(1-16)×(-25)]3． 【答案】（1）12-；（2）643-．【解析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；（2）先计算乘方，再计算乘除，有括号的要先计算括号里的； 【详解】解：（1）原式=3+50÷4×(-15)－1 =3+50×14×(-15)-1=3-50×14×15-1=3-52-1=-12（2）原式=[85×59]2÷[56×(-25)]3=(89)2÷(-13)3=6481×(-27)=-643．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．24．(1)(－2)4÷2 -2 3⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋512×1-6⎛⎫⎪⎝⎭－0.25；(2)14⎛⎫⎪⎝⎭2÷12⎛⎫⎪⎝⎭4×(－1)6－313112834⎛⎫+-⎪⎝⎭×48；(3)|45＋23×(－12)÷6－(－3)2|＋|24＋(－3)2|×(－5)．【答案】（1）1312；（2）3；（3）233215-【解析】(1)根据有理数的混合运算法则即可求解；(2)根据有理数的混合运算法则即可求解；(3)根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：(1)原式＝16÷8 3⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋112×16⎛⎫⎪⎝⎭－14＝16÷649－112×16－14＝16×964－1112－14＝94－1112－14＝13 12；(2)原式＝116×16×1－11411484848834⎛⎫⨯+⨯-⨯⎪⎝⎭＝1－(66＋64－132) ＝1－(－2)＝3；(3)原式＝44953--＋|24＋9|×(－5)＝14315－165＝－2332 15．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．25．老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：(－2)3÷222-3-+23⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦×1 6.下面是小丽的解答过程：＝(－8)÷49+29⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦×16第一步＝(－8)÷(4＋2)×16第二步＝(－8)÷6×16第三步＝(－8)÷1 第四步＝－8 第五步(1)小丽的解答过程共存在___处错误，分别是____；(2)请你写出正确的解答过程．【答案】（1）2，第一步和第四步；（2）2 3【解析】（1）根据有理数的混合运算法则即可判断；（2）根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：（1）小丽的解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步故答案为：2，第一步和第四步；(2)原式＝(－8)÷4-9+2 9⎛⎫ ⎪⎝⎭×1 6＝(－8)÷(－4＋2)×1 6＝(－8)÷(－2)×1 6＝4×1 6＝23．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则．26．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，试求：x2-(a+b+cd)x+(a+b)2014+(-cd)2015的值．【答案】19或29．【解析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是5，可以求得a+b、cd和x的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】∵a，b互为相反数，∴ a+b=0，∴(a+b)2014=0.∵c，d互为倒数，∴cd=1，∴-cd=-1，(-cd)2015=(-1)2015=-1．∵|x|=5，∴x=5或x=-5，∴x2=25．当x=5时，x2-(a+b+cd)x+(a+b)2014+(-cd)2015=25-(0+1)×5+0+(-1)=25-5+0-1=19；当x=-5时，x2-(a+b+cd)x+(a+b)2014+(-cd)2015=25-(0+1)×(-5)+0+(-1)=25+5+0-1=29．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）【答案】（1）5.5千克；（2）超过8千克；（3）1422元.【解析】（1）根据最大数25+2.5减最小数25+（-3），可得答案；（2）根据有理数的加法-3×1+（-2）×4+（-1.5）×2+0×3+1×2+2.5×8，计算结果可得答案；（3）根据有理数的加法，可得总重量，根据单价乘以数量，可得答案．【详解】解：（1）最重的一筐比最轻的一筐多重2.5-（-3）=2.5+3=5.5（千克），答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重5.5千克；（2）-3×1+（-2）×4+（-1.5）×2+0×3+1×2+2.5×8=8（千克），答：20筐白菜总计超过8千克；（3）(25×20+8)×2.8=508×2.8≈1422（元），答：白菜每千克售价2.8元，则出售这20筐白菜可卖1422元．【点睛】本题考查了正数和负数在生活中的实际应用，熟练掌握有理数的加减法运算是解题关键．28．现在杭州网购非常方便，小明妈妈也计划第一次用叮咚买菜购买一些菜，以下是她选购的菜品和优惠方式：（1）小明妈妈购买上述物品需要多少钱？（2）在妈妈付款前小明发现还有两种红包可以领取：首先是第一次使用的用户可以领取20元新人红包，店铺还有两种专享红包：满59元可以用20元；满99元可以使用28元），那么小明可以帮妈妈省多少钱？【答案】（1）87元；（2）40元【解析】（1）根据表格中物品的价格和对应折扣列式计算；（2）根据（1）中结果判断可以使用的专享红包，再算上新人红包可得结果．【详解】解：（1）由表可知：400.8300.8270.5200.550.55⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=87元，∴妈妈购买上述物品需要87元；（2）∵87＞59，∴可以用20元红包，又因为妈妈是第一次在叮咚买菜上买菜，∴还可以使用20元新人红包，∴一共可以用40元红包，∴小明可以帮妈妈省40元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂表示，列出算式计算． 29．观察下列两个等式：32321+=⨯-，5544133+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“理想有理数对”，记为(),a b ，如：数对()3,2、54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭都是“理想有理数对”. （1）数对()2,1-、35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中是“理想有理数对”的是______；（2）若(),3a 是“理想有理数对”，求a 的值；（3）若(),m n 是“理想有理数对”，则(),m n --______“理想有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； （4）请再写出一对符合条件的“理想有理数对”.（不能与题目中已有的数对重复）.【答案】（1）35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）=2a ；（3）不是；（4）76,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据“理想有理数对”的定义，计算判断;（2）根据“理想有理数对”的定义列方程求解；（3）先由(),m n 是“理想有理数对”得出关系式，再判断(),m n --是否满足“理想有理数对”的定义； （4）根据（3）中得出的m 与n 的关系式，取m=6，可得到n 的值.【详解】解：（1）因为21211-+≠-⨯-，所以()2,1-不是“理想有理数对”， 因为335=5122+⨯-，所以35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是“理想有理数对”. （2）因为(),3a 是“理想有理数对”，所以331+=-a a ，解得=2a（3）因为(),m n 是“理想有理数对”，所以1m n mn +=-因为()()()-+-=-+m n m n ，()()11---=-m n mn所以()()()()1-+-≠---m n m n ，所以(),m n --不是“理想有理数对”（4）由（3）中(),m n 是“理想有理数对”，满足1m n mn +=-取m=6，则661+=-n n ，解得75=n 所以76,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是“理想有理数对”.【点睛】本题考查新型定义计算，读懂题意，列出正确的关系式是解题的关键.30．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】（1）12；（2）②③；（3）213⎛⎫- ⎪⎝⎭，37；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）314- 【解析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）3122222=÷÷=； （2）当a ≠0时，a 2=a ÷a =1，因此①正确； 对于任何正整数n ，当n 为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=-，当n 为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；故答案为：②③；（3）4(3)-=(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-=111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5111111777777⎛⎫=÷÷÷÷ ⎪⎝⎭=177777⨯⨯⨯⨯=37； （4）由题意可得：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =()()()23112344÷-⨯-+-⨯ =()12714⨯-- =314- 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．。
七年级奥数：有理数的计算
七年级奥数：有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则x —(1+m +n +ab )x +(m +n )x+(—ab )的值等于_________．(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．例2 把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )．(A )6次 (B )7次 (C )8次 (D )9次 (江苏省竞赛题)解题思路 探索对折的规律，运用估算求解．例3 计算： (1) 1111..12123123100+++⋯+++++++⋯⋯+ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2) 23419987777.7++++⋯+(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3) 22222221949195019511952199719981999-+-+⋯+-+(北京市竞赛题)解题思路 对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联3220012002想到平方差公式．例4 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0、、b 的形式，求的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论．例5 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到2．(全国初中数学竞赛题)解题思路 要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可．能力训练 A 级1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，-6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：(杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1)111135577919971999+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ (2) 43421(0.25)(8)2(2)(6)3⎛⎫⎡⎤-⨯--+-÷-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=ab20001999b a+30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+2297100-+4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，直主最后减去余下的，最后的答数是_________． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如果对于任意非零有理数a 、b 定义运算△如下:a ba b ab-=，则 5(43)=____ 6.如果有理数c 、b 、c 满足关系式0a b c <<<那么代数式23bc acab c-的值（ ). （A ）必为正数 （C ）可正可负 （B ）必为负数 （D ）可能为0（第十六届江苏省竞赛题） 7．199797199898,,,199898199999----这四个数由小到大的排列顺序是（)・ 199797199898(A) 199898199999199819979897 (B) 199919989998979819971998 (C) 989919981999981998971997 (D) 991999981998-<-<-<--<-<-<--<-<-<--<-<-<-(重庆市竞赛题)8.若a 与（一b ）互为相反数，则221898991997a b ab+= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1997 9.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是（)・(A) 2 (B) 1 （C ） 0 （D ） -1 （第十三届“希望杯”邀请赛试题）10.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数9且abed = 9,则d+b+c+d 等于（ ）. (A) 0 (B) 4 (C) 8 （D ）值无法确定 1 1 亠1L 把111,3.7,6,2.9,4.652分别填在图中五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中找出一种填法，使△中的数尽可 能小,并求这个数.2131415119971（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 12.已知a 、b 、c 都不等于零，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，求(+1)1998m n +的值.B 级1.计算：1131351397=244666989898⎛⎫⎛⎫⎛++++++++++⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝） （第十届“五羊杯”竞赛题）2．计算：23456789102222222222--------+= （第十届“希望杯”邀请赛试题）3．计算：212424824139261839n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎛⎫= ⎪⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎝⎭4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知底，人类知识总量为以a ．假如从底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020年是每73天翻一番．则： (1)2009年底人类知识总量是——； (2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——． (北京市顺义区中考题) 5.你能比较两个数20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题.我们先写岀它的一般形式，即比较1n n +与+1nn （）的大小（n 是自然数），然后，我们从分析1,2,3,n n n ===中发现规律，经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写<，=，>号）2132435465(1)12;(2)23;(3)34;(4)45;(5)56-----（2）从第（1）题的结果经过归纳.以猜想出1n n+与+1nn （）的大小关系是——； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20022001_20012002 (福建省龙岩市中考题)6．如果ac<0,那么下面的不等式22330,0,0,00aac a c c a ca c<<<<<，中必定成立的有（）个(A )1 (B )2 (C )3 (D )47. a 、b 都是有理数,代数式222222222,,(),(),1,0.001,a b a b a b a b a a b +--++++24231a b ++中，其中值为正的共有（ ）个・(A )3 (B )4 (C )5 (D )68．三进位制数201可用十进位制数表示为21230312901219⨯+⨯+=⨯++；二进位制数1011可用十进位制法表示为3211202121802111⨯+⨯+⨯+=+++=．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a =221，二进位制数b =10111，则a 与b 的大小关系为( )．(D )不能判定(重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a +b >c +d ，则( )． (第十一届“希望杯”邀请赛试题)222233334444(A) |1||1| (B) (C) (D) a b c d a b c d a b c da b c d-++>++>++>++>+10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )． (《学习报》公开赛试题)999997998999(A)(B)(C)(D)199719971998199811．设n 为自然数，比较与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)n n ns 223222132++++=n s。
初一奥数题有理数的运算技巧简便计算
el usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo巧算技运有理数的肁姓名袀有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
膄一. 巧用运算律螂例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂求和蚈9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂6060606044433292?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88螇二. 巧用倒序法芆4005123??? ?例2. 计算节20032003200320031234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁20032003200320034005400421A????? 腿2003200320032003将两式相加，得蚆1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃2003200320032003200320032A?2?4005A50?40即，所以袂所以原式＝4005 芇巧用拆项法. 三肅．例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃1111? ??1???________ 计算虿0?2?3??10?21?21??31?2?341分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍蚀1122211????，而的反序相加法，不难求得最后两项为，004950550999?1009910?4950509 221??同理，薅1010550010那么本题就不难解决了。
新人教版七年级数学上册：有理数综合复习(讲义及答案)
有理数综合复习（讲义）课前预习1.比较大小：（1）-2____-3；-1 000_____0；若a<0，则a___2a．（2）如图，a，b在数轴上的位置如图所示，请把a，b，-a，-b按照从小到大的顺序进行排列：2.（1）若a是非负数，b也是非负数，则a+b一定是_______．（2）若a是非负数，b是正数，则a+b一定是_______．（3）若a是正数，b也是正数，则a+b一定是_______．3.正数的绝对值是_______，负数的绝对值是____________，0的绝对值是_____．绝对值等于它本身的数是_______，绝对值等于它的相反数的数是__________．知识点睛1.两个负数比大小，________________________．2.有理数混合运算要点：①____________；②______________；③______________．3.折线统计图具体做法：①_______________________；②______________________；③_______________________．描点连线时需注意：①_______________________；②______________________；③_______________________．精讲精练1.最小的正整数是_____，最大的负整数是______，绝对值最小的有理数是_____，相反数等于它本身的数是________，绝对值等于它本身的数是_____________，倒数等于它本身的数是________，平方等于它本身的数是________．2.下列说法正确的是（）A．1是最小的正数，最大的负数是 1B．正数和负数统称有理数C．一个有理数不是整数就是分数D．3.14不是分数3.下列说法正确的是（）A．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示B．绝对值等于它相反数的数是负数C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等D．除0外，任何数的相反数都是负数4.下列说法正确的是（）A．绝对值等于它本身的数是正数B．符号不同的两个数互为相反数C．一个数的相反数一定是负数D．在数轴上，离原点越远的点，表示的数的绝对值越大5.下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6.比较大小：100_______0.01，_______，，99a________100a（a<0）．（填“<”，“=”，“>”）7.比大，比小的所有整数有____________________．8.若，，，则a，b，a，b这4个数从小到大的顺序是__________________．9.若，，，则a，b，a，b这4个数从大到小的顺序是__________________．10.已知，则a=_____，b=_____，c=_____．11.若，则3a+2b=__________．12.若，则m n=__________．13.计算：（1）；（2）；（3）；（4）．14.下表为某个雨季水库管理员记录的水库一周内的水位变化情况，警戒水位为150 m（上周末的水位刚好达到警戒水位）．星期一二三四五六日增减/m +1.2 +0.4 +0.8 0.1 +0.7 0.7 1.1注：正数表示比前一天水位上升，负数表示比前一天水位下降．（1）本周哪一天水位最高？有多少米？（2）本周哪一天水位最低？有多少米？（3）根据给出的数据，以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周内该水库的水位情况．15.一护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，该护士在病人早晨6:00进院时测得的体温是40.2℃，其他时间记录的体温变化数据如下表（正数表示比前一次上升的体温数，负数表示比前一次下降的体温数）：时间7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00体温+0.2 1.0 0.8 1.0 0.6 +0.4 1.0 0.2 0（℃）问：（1）病人什么时候体温达到最高？最高体温是多少？（2）病人几点后体温稳定正常？（正常体温是36℃~37℃）（3）以36℃为0点，请用折线统计图表示这名病人在这段时间内的体温情况．【参考答案】课前预习1.（1）> < >（2）-b<a<-a<b2.（1）非负数（2）正数（3）正数3.它本身它的相反数0 正数和0 负数和0知识点睛1.绝对值大的反而小2.①观察结构划部分；②有序操作依法则；③每步推进一点点．3.①明确横轴、纵轴的意义；②确定单位长度；③描点、连线．①找准起始位置；②注意0点；③相应数字标注．精讲精练1.1，-1，0，0，正数或零（非负数），±1，0和12. C3. A4. D5. B6.<，<，>，>7.-1，0，1，2，38.<-a<a<-b9.b>-a>a>-10.0，0，011.012.413.（1）8；（2）；（3）；（4）-2014.（1）周五水位最高，153.0 m；（2）周一、周日水位最低，最低水位是151.2 m；（3）略15.（1）病人在7:00体温达到最高，最高体温为40.4℃（2）病人13:00之后体温稳定正常；（3）略。
七年级上数学有理数混合运算讲义复习
有理数混合运算复习理解乘方的意义，理解有理数的加、减、乘、除的运算法则，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。
知识点总结1．有理数混合运算法则（1）先算 ，再算 ，最后算 ； （2）同级运算，按照 的顺序进行；（3）如果有括号，就先算 里的，再算 里的，最后算 里的。
2．运算定律在有理数计算中要学会灵活运用运算律（包括加法 、加法 、乘法 、 乘法 、乘法 ），进行简便运算。
3．科学记数法把一个大于10的数记成a ×10n的形式；其中a 是整数数位只有____位的数，即a 的取 值范围为 。
例1：计算（1）()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+-⨯-⨯--328533835232（2）222192411124⎛⎫-+-----÷ ⎪⎝⎭变式练习1：（1）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- （2）23122(3)(1)6293--⨯-÷-例2：计算：()714139-⨯，看谁算得又对又快，一名同学给出的解法如下： ()21692139714139-=-=-⨯=另一名同学给出的解法如下： ()()()21697141379714139-=-⨯+-⨯=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 此题还有其它解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？变式练习2：计算： （1）9181719⨯-）（； （2） ()816159-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-例题3：用科学记数法表示：（1）37820000＝ ，378.2＝ ，-37820000＝ ； （2）3.124×107的原数是 。
变式练习3：（1）科学记数法表示：-123.4＝ ，1020＝ ，-5678＝ 。
（2）6.3×103的原数是＝ ；用科学记数法表示60万 。
例4：若3a -+|2b+5|=0,计算2a-b 的值.变式练习4：已知0322=-++b a ）（，则a+b= 。
课堂练习(一)选择题1. 某数的平方是41，则这个数的立方是（ ）A.81B. －81 C.81或－81D. +8或－8 2. 下列各对数值相等的是（ ）。
初中七年级奥数课件：有理数篇
4
经典例题【B卷题型—含绝对值运算】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例4、
（1）若 a b,求 a b 的值； （2）化简a b ； 解： (1)∵ a b，b 0
当a＜0时，a -b,则a b 0; 当a 0时，a b,则a b 2b. 综上所述：a b 0或2b （2）当a b＞0时，即a＞b，a b 0; 当a - b 0时，即a b，a b 0; 当a b＜0时，即a＜b, a b （- a b） b a.
【巩固练习】
1.如果0＜m＜10,并且m x 10,化简x m x 10 x m 10.
分析：由题意可知：x m 0；x 10 0，x m 10＜0.
解： 原式 x m (x -10) (x m 10) 20 x
经典例题
b a＜0，b＜0，a b＜0，ab＞0 a b a b ab a b a b ab ab 2a
(2)∵-2 a 0 a 2 0, a 2 0,
a 2 a 2 a 2 a 2 4
(3) ∵由x＜0＜z，xy＞0可得：y＜0＜z 又∵ y＞ z＞x ,可得 : y＜x＜z 原式 x z y z x y o
解：b a a c c b b a (a c) (c b) 2b 2c
【巩固1】已知a,b, c在数轴上的位置如图所示，化简a c b a c b a
【巩固2】数a,b在数轴上对应的点如图所示，化简a b b a b a a
0 ab a 0 1
ab
∵ a b 4
初一奥数培训教材(1—8讲)
第1讲有理数的加减【例1】有理数加法计算：（1）12()()33-+-；（2）(10.8)(10.7)-++；（3）(6)0-+；（4）4452(52)77+-.【例2】有理数减法计算：（1）6(3)--；（2）0(2)--；（3）(7)(5)---；（4）(2)0--【例3】有理数混合计算：（1）263(59.8)()(12.8)55+--+-+；（2）311(2)(2)38(3)843-+---++.【例4】有理数混合计算：（1）3212()(31)()(31)4545-++-+-；（2）2253(7)(4)(2)(5)7575++-++-.【例5】在数23456789,,,,,,,1010101010101010的前面分别添上加“+”或“-”，使它们的和为1.你能想出多少种方法？（开放性题）【例6】一个水井，下面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却又下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，却又下滑了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口？课后练习: 1、计算：（1）3.2( 4.2)+-；（2）23()()55-+-；（3）(382.4)(382.4)-++；（4）0(24.1)+-；（5）11 ()() 36 -+-2、计算：（1）(3)(5)---；（2）(7)5--；（3）0 4.2-；（4）( 4.2)0--；（3）(20)3(30)5-----；（6）03(4)5(6)-----.3、计算：（1）0.2(0.3)(0.4)(0.5)-+---+-；（2）10(8)(6)(4)(2)--+---+-；（3）111()326---；（4）1110()5210--+-.4、潜水艇原来在水下200米处，若它下潜50米，接着又上浮130米，问这里潜水艇在水下多少米处？5、判断题：（1）若两个数的和为负数，则这两个数都是负数. （）（2）若两个数的差为正数，则这两个数都是正数. （）（3）零减去一个有理数，差必为负数. （）（4）如果两个数互为相反数，则它们的差为0. （）6、计算：（1）(1)2(3)4(5)6(7)8-++-++-++-+；（2）3313 04()(1)17575-+---+；（3）3232(1)4(2)(2)7373-+--+-；（4）511(3)(3)24(1)635-+---+-.7、请在数1，2，…，2006，2007前适当添加上“+”或“-”号，使它们的和的绝对值最小。
初中七年级奥数课件：有理数篇共60页文档
31、ห้องสมุดไป่ตู้日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
初一年级奥数知识点：有理数的混合运算
初一年级奥数知识点：有理数的混合运算一、有理数：整数和分数统称为有理数。
正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数正分数有理数0 负整数分数负有理数负分数负分数注意：正负数表示具有相反意义的量(具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思)。
0既不是正数也不是负数。
1、正数前面可以加“+”号，也可以不加“+”号。
2、判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“—”号，而不是看它是不是带有“—”号。
注意“—a”不一定是负数。
3、相反意义的量是成对出现的。
4、0是有理数，也是整数，也是最小的自然数。
5、奇数、偶数也可以扩充到负数，如—1，—21，—53?等都是奇数;—2，—22，—26^等都是偶数。
6、整数也可以看作分母为1的分数。
7、a的相反数是?a，但—a 不一定是负数。
8、求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面加上“—”号，例如x?y的相反数是—(x?y)，即y?x。
9、多重符号的化简化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数，“奇负偶正”。
二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。
1、两方向无限延伸;三要素缺一不可;原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。
2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示(一般规定向右)3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。
4、数轴上的点，右边的数左边的数。
正数0 负数3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
(反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数)4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
(0的相反数是0)5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
【专题讲义】北师大版七年级数学上册第8讲有理数的乘法及混合运算专题精讲(解析版)
【专题讲义】北师大版七年级数学上册第8讲有理数的乘法及混合运算专题精讲〔解析版〕参考答案一、知识梳理〔一〕有理数的乘方1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a 的n 次方〔或a 的n 次幂〕其中a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即：...n an a a a a a =⨯⨯⨯个〔n 个a 〕 2、有理数乘方运算方法：⎩⎨⎧进行运算）利用乘法的运算法则（将乘方转化为乘法）根据乘方的定义，先（方法一21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧确定幂的绝对值的任何正整数次幂都是负数的偶次幂是正数负数的奇次幂是负数，数正数的任何次幂都是正确定幂的符号方法二)2(00)1(〔二〕有理数的混合运算混合运算法那么：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
体系搭建注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原那么。
〔三〕科学记数法〔1〕一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
注意以下几点:1、科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。
其中一个因数为a 〔110a ≤<〕，另一个因数为10n ，n 的值等于整数局部的位数减1；2、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。
小于1的正数也可以用科学记数法表示。
例如：50.0000110-=；考点一：乘方的意义例1、3x 表示〔 〕A.x 3 B ．x x x ++ C.x x x ⋅⋅ D ．3+x【解析】C 考点二：计算例1、〔1〕 3211⎪⎭⎫⎝⎛ 〔2〕()33131-⨯--〔3〕()34255414-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷ 〔4〕()()()33220132-⨯+-÷---【解析】 1、8272、23、－594、－1 典例分析考点三：定义新运算例1、现规定一种新的运算“※〞：a ※ab b =，如3※2=32=8，那么3※等于〔 〕A ．B ． 8C ．D ．【解析】A考点四：偶次幂的非负性例1、假设()0212=-+-b a ，那么()2012b a -的值是〔〕A ．﹣1B ． 1C ． 0D ． 2012【解析】B例2、()()053222=-+++-c b a ，求22c b a +-值．【解析】33考点五：有理数的混合运算例1、计算：〔1〕()()()3428102-⨯---÷+- 〔2〕()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-⨯+-91632492【解析】〔1〕-20；〔2〕23 考点六：科学计数法例1、自贡市统计局2016年初发布了2015年我市经济形势：2015年全市地区生产总值〔GDP 〕实现1143.11亿元．数据1143.11亿元用科学记数法表示〔保存三个有效数字〕〔 〕×103元 ×1010元×1011×1012元〔1〕这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞； 〔2〕这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；〔3〕这样的一个细胞经过n 〔n 为正整数〕小时后可分裂成 个细胞． 【解析】〔1〕16；〔2〕64；〔3〕n 22例2、观察以下算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜测210的末位数字是〔 〕A ． 2B ． 4C ． 8D ． 6【解析】B例3、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如下图的面积为1的圆形纸片，假设在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n 为整数时，=++++n 21...814121_____________．【解析】n 211-P(Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、数学上一般把()a n a a a a a 个.....⋅⋅⋅记为〔 〕A ．naB ．a n +C ．naD ．a n【解析】C2、计算：()=⨯--⨯-223232〔 〕【解析】A3、以下式子中正确的选项是〔 〕A.()()324222-<-<- B.()()243222-<-<-C.()()234222-<-<- D.()()432232-<-<-【解析】C实战演练8、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成〔 〕A ． 17段B ． 32段C ． 33段D ． 34段 【解析】C9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是〔 〕A ．20022 B.122002- C ．20012 D ．以上答案不对【解析】C10、假设()0232=++-n m ，那么n m 2+的值为〔 〕 A ．﹣4 B ．﹣1 C ．0 D ．4【解析】B11、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，那么这个仓库现有电脑________台。
七年级数学有理数综合提高知识精讲
七年级数学有理数综合提高【本讲主要内容】有理数综合提高由于本节课是在学生已基本掌握加、减、乘、除、乘方这几种运算的前提下，学习混合运算的，所以本节课教学的重点是：如何按有理数的运算顺序、正确而合理地进行有理数混合运算；难点是：熟练掌握有理数的运算顺序。
运算时注意以下几点：1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，就先算括号里面的。
2. 通常把六种基本的代数运算分成三级，加减是第一级运算，乘与除是第二级运算，乘方（与开方）是第三级运算。
运算顺序的规定详细地讲是：先算高级运算，再算低一级运算；同级运算按从左到右的顺序进行。
如果有括号先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号。
3. 利用运算律可不按上面的常规顺序。
【知识掌握】 【知识点精析】此部分着眼于把基础知识讲透，帮助学生理清知识脉络，解决其中的重点和难点问题，从而牢固掌握各知识点。
这里要注意将基本概念、原理、公式等如何理解、如何运用讲解的特别明白，分条写出，可以举例说明。
【解题方法指导】例1. 计算：-+÷--⨯-171715021723()(.)分析：此算式以加、减分段，应分为三段，－17，17117÷-()，50223⨯-(.)。
这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除，式中的－化为-15参加计算较为简便。
解：原式=-+÷--⨯-17171251125()()=-+---=-+=-17171534153345()()说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。
例2. 计算：[()][()()]1351491162523⨯-÷-⨯- 分析：此题运算顺序是：第一步，计算()()149116--和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。
解：原式=⨯÷⨯-[][()]8559562523=÷-=÷-=⨯-=-=-()()()()89136481127648127643211323说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题。
初一数学有理数经典讲义
一、有理数的相关概念：1. 负数(1) 正数：大于0的数叫做正数。
(2) 负数：在正数前面加上"-”的数叫做负数。
a) “ - ”读作负号。
b)一个数前面的“ +”、“ -”叫做这个数的符号(3) 0:既不是正数也不是负数。
取一个基准量，记为 0;大于(高于)基准量的数为正数，小于(低于)基准量的数为负数； 习题： 1、 某仓库运进货物 30吨，记作30吨，那么—50吨表示( )；2、 物体向东运动 4m ，记作4m ,那么向西运动 5m ,记作( )3、 某零件的直经尺寸在图纸上是 100 . 05 (mr )表示这种零件的标准尺寸是 ______________ 合格产品的零件尺寸范围是 ________________________ (mm ° 2. 有理数分数集合：｛ 正数集合：｛3. 数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度a) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；b) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向； c) 选取适当的长度为单位长度。
方向表示正负，距离表示数。
数轴上，唯一的点——唯一的数 (1) 给数描点，给点读数(2) 比较大小：从左到右，由小变大；(3) 会找有特定限制的数，比如，小于 4的正整数。
习题：1 1 1、 把5,— 6, — 2, 3, 0, 3-，— 4 -在数轴上表示出来，并用“〈”把它们连接起来。
222、 a,b,c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是()(A) a+b<0 (B) a+c<0(mn ),分类1 :有理数分数｛数的分类注意：0非正非负， a) b) 习1、 正整数 整数｛负整数｛正分数负分数 0是整数，0是自然数 小数可以化为分数，所以小数属于分数把下列各数分别填入相应的集合内:分类2 : 有理数亠”正整数 正有理数｛正分数 负整数 负有理数｛负 数 负分数 00.21 , 0，— 3.01, 3.14159, 10整数集合:｛ 负数集合：｛(C) a — b>0 (D) b — c<0 a b 0 c3、在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 _____________ ，长为2个单位长度的木 条放在数轴上，最多能覆盖 ________ 个点。
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第九节 阶段性测试
一、填空题：（1×24=24分）
1．a 、b 是两个自然数，如果a+b=20，那么a 与b 的积最大是 。
2．正方形有四个角，切掉一个角后，它有 个角， 正方体有八个角，切掉一个角后它有 个角。
3．如右图所示的台阶上铺地毯，至少要买地毯 米， 若每米要10元人民币，则铺地毯的总费用为 元。
4．正方体六个面上所标的数字为6个连续自然数，且相对两 个面的数字之和也相等，则该正方体中六个面的数字之和 为 。
5．有理数中，最小的正整数是 ，最大的负整数是 。
6．相反数等于它本身的数是 ，绝对值等于它本身的数是 。
倒数等于它本身的数是 。
平方等于它本身的数是 。
立方等于它本身的数是 。
611
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姓名： 日期：
7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2002cm的线段AB，则线段AB盖住的整点是个。
8．已知|a－b|=a－b，那么|b－a|= 。
9．有理数a.b.c在数轴上位置如下图所示，则化简：|a+b|－|b－1|－|a－c|－|1－c|的结果为。
10．
123636
,,,
112523
----按从小到大的顺序排列
为。
11．若y<0,则x 、x+y 、x－y中，最小的一个是。
12．若一个数的倒数，这个数自身与它的相反数
中，倒数始终最大，则这个数为。
13．－42的底数是，指数是，
结果是。
14．一个比1小的正数的m倍比这个数减去1
所得的差还小，那么m是（填正数或负
数）
15．如图，某汽车公司所营运的公路AB段有四
个车站A、C、D、B，AC=CD=DB，现想在AB段建
一个加油站M，要求使A、B、C、D，站的各一辆 A C D
汽车到加油站M所花费的总时间最少，则点M
的位置应该在线段。
二、选择题：（2×15=30分）
16．若a为有理数，则|a+2|+|a+3|的最小值是
（）
A．1 B．5
C．－1 D．－5
17．若a>0，b<0，a+b>0，则下列不等式错误的是（）
A．a－b>0 B．|－a|<b
C.|a+b|<|b－a|
D.a>－b
18．若满足等式ab ab
=成立，则a、b应满足（）。
A．a≥0，b≤0 B．a≤0,b≥0
C．a,b同号或ab=0 D．a,b异号
19．数轴上点A、B、C分别对应数0、－1、X、C与A的距离大于C与B的距离，则（）
A．X>0 B．X>1
C．X<－1
2
D．X<－1
20．如果m+n=0，则下面一定成立的是（）A．m=0或n=0 B．m、n互为倒数C．m n
=D．m、n相等
21．两个同样的正方体木块，每个正方体相对的两个侧面上写的数字的和都等于－2。
现将这两个正方体并列放置，看到的5个面上的数字如右图所示，那么看不到的7个面上所写的数字的和等于是（）
A．－27 B．－25
C．27 D.无法计算22．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，
那么a b c abc
a b c abc
+++所有可能的（）
A．0 B．1或－1
C．2或－2 D．0或－2
23．a为有理数，下列式子中一定大于零的是（）
A．a2B．a3
C．(a+1)2D．a2+1
24．甲、乙两非零数之积与甲数除以乙数之商的和（）
A．一定大于0 B．一定小于0
C．不可能等于0 D．有可能等于0
25．甲、乙两个数都是有理数，如果甲数减去乙数的差与甲数比较，那么（） A．差一定大于甲数B．差一定小于甲数
C．大小取决于乙是什么数D．差不会等于甲数
26．使代数式3
4
x x
x
-
的值为正整数的x值是( )
A．正数B．负数1 4
3
5
2
C ．零
D ．不存在的
27．设a+b+c=0， abc>0，则
||||||
b c c a a b
a b c +++++
的值是（ ） A ．－3 B ．1 C ．3或－1
D ．—3或1
28．a ，b 互为相反数，下列各组中不互为相反数的是（ ）
A ．3a 和3b
B ．2a 和2b
C ．a -和b -
D ．
2a 和2
b
29．若n 是自然数，并且有理数,a b 满足1
0a b
+
=，则必有（ ） A ．21
()0n n a b
+=
B ．2211
()0n n a b
++=
C ．231()0n n a b +=
D ．21211
()0n n a b
+++=
30．若a 是有理数，且12345
m a a a a a
=
-+-+，则m 一定不是（ ） A ．正整数 B ．负整数 C ．负分数
D ．零
三、计算：（4×6=24分） 31．1
3
125(3)(32)(25)3
10
⨯-⨯-⨯-⨯
32．
11235
() 1212346÷+--
33．199200
(0.125)81
-⨯-
34．
1111 101103103105105107199201 +++
⨯⨯⨯⨯
35．2237
1[(2)0.5( 2.24)(2)]1
18÷-⨯--÷--
36．341313
{1[()(2)]}(0.5)164164
+--⨯-÷---
四、计算：
1121231234
12
4849
()()()()2334445555
5050
5050
++++++++++++++
+（5分）
五、若a=25，b=－3，试确定19992000
a b
+的末位数字是多少？（5分）六、计算
23991001111
(1)(1)(1)(1)(1)
428709700
-+-+-+-+-+++++（6分）
七、设
2349248
22221222
,
133557979935799
S T
=++++=++++
⨯⨯⨯⨯
，求S T
-。
（6分）。