鲁教版九年级正多边形和圆
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1 1 360 ° ∠AOC= ∠AOB= × =15° 2 2 12
O
∴AB=2AC=2Rsin 15°
=2×10×sin 15° ≈5.18（㎝）
A C
B
1.正n边形的中心角的度数等于多少？半径为R的圆内 接正n边形的边长和边心距分别是多少？
中心角的度数：
360 n
°
边长：2Rsin
180 ° n 180 ° n
边心距：Rcos
2.设正三角形的边长为a，它的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
高为h，求r:R:h
1
r=
a
3a 6
h
2 = ta n 6 0 °
1
R= 2
sin 6 0 °
1
h=
3
3
a r:R:h=
a
3a 6
a· tan60°=
:
3 3
2
2
a :
3
a
2
=1:2:3
∟
a
=
3
R a r
45 1.正八边形至少绕中心旋转＿＿＿°，才能与原正八边形重合。 1 ，则，该圆的内接正六边形的边长＿＿＿
将正n边形绕其中心旋转
360 n
°
，仍与自身重合。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形， 每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
正多边形的计算问题常常可以归纳 为解直角三角形问题。
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6和面积s6
中心角
. O
半径R
C B
边心距r
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.或内切 圆的半径
（1）正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角分别是多少度？
正n边形的中心角呢？
120° 90° 72° 60°
360 n
°
（2）将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋转角 进行旋转，你能得到什么结论？
鲁教版数学九年级上册
第四章 第七节 圆 正多边形和圆 （第2课时）
观察下列正多边形：
⑴它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个正多边形所有的对称轴。 (2)它们分别有多少条对称轴？数一数，你发现了什么规律？ 正n边形有多少条对称轴？
（3）正多边形的对称轴有什么特点？
3条
4条
5条
6条
正n边形有n条对称轴
边长与两条 半径能围成 等边三角形 只要求出 边心距即 可 F ∟ E O C D
正六边形 中心角是 60°
A
G
B
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6 p6和面积s6
解：如图，连接OA,OB作OG⊥AB，垂足为点G 可得到Rt△OGB,其中OG为边心距,记作r6 1 1 360 ° ∵∠GOB= ∠AOB= × =30° 2 2 6 ∴ a 6=2Rsin 30°= R， p6=6 a6=6 R ∵r6= Rcos 30°=
如图：正六边形ABCDEF的顶点都在 以坐标原点为圆心，以2为半径的圆 上，点B在y轴的正半轴上，求正六 边形ABCDEF各顶点的坐标。
×
360 3
° =60°
C
O
R D ∟ R2 A
∴AC=2Rsin 60°=
1 2
3
R
1
∴S ABC =
×AD×OD×3= ×
2
3 R ×2
1
R ×3=
3 3 4
2.如图，钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份，如 果表盘的半径为10㎝，那么表盘上每相邻的两个刻 度之间的距离是多少？
解：连接OA,OB,过O点作OC⊥AB交AB与C ∴在Rt△AOB中
3 2
E O
D
F ∟ B r6 R
C
R
1 2 1 2
3 2
A
G
s6=
源自文库1 2
× r6× a 6×6=
r6 a6 =
.
R.6 R
3 3 = R2 2
1.已知正三角形的外接圆半径为R，求这个正三角形的 边长和面积。
B 解：连接CO,AO,过O点作OD⊥AC， 交AC于D ∵∠COD=
1 2
∠AOC=
1 2
1
2.已知圆内接正方形的边长为
2
3.一个正多边形的外角和是它的内角和的
4
，那么这个正多边形的中心角是＿＿＿度 36 ）
1 180 ° n
4.圆的内接正n边形与外切正n边形的边长比为（ B
180
A sin
° B cos
180 ° n
n
C tan
180 n
° D
tan
如图：正六边形螺帽的边长a=12㎜， 当扳手的开口b为多少时，恰好能卡住螺帽？
（3）①当边数为偶数时，各对角顶点确定的直线和各对边中点确定的直线 都是它的对称轴 ②当边数为奇数是时，每个顶点到对边所作的垂线都是它的对称轴
正多边形有关的概念 E
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
O
∴AB=2AC=2Rsin 15°
=2×10×sin 15° ≈5.18（㎝）
A C
B
1.正n边形的中心角的度数等于多少？半径为R的圆内 接正n边形的边长和边心距分别是多少？
中心角的度数：
360 n
°
边长：2Rsin
180 ° n 180 ° n
边心距：Rcos
2.设正三角形的边长为a，它的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
高为h，求r:R:h
1
r=
a
3a 6
h
2 = ta n 6 0 °
1
R= 2
sin 6 0 °
1
h=
3
3
a r:R:h=
a
3a 6
a· tan60°=
:
3 3
2
2
a :
3
a
2
=1:2:3
∟
a
=
3
R a r
45 1.正八边形至少绕中心旋转＿＿＿°，才能与原正八边形重合。 1 ，则，该圆的内接正六边形的边长＿＿＿
将正n边形绕其中心旋转
360 n
°
，仍与自身重合。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形， 每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
正多边形的计算问题常常可以归纳 为解直角三角形问题。
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6和面积s6
中心角
. O
半径R
C B
边心距r
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.或内切 圆的半径
（1）正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角分别是多少度？
正n边形的中心角呢？
120° 90° 72° 60°
360 n
°
（2）将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋转角 进行旋转，你能得到什么结论？
鲁教版数学九年级上册
第四章 第七节 圆 正多边形和圆 （第2课时）
观察下列正多边形：
⑴它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个正多边形所有的对称轴。 (2)它们分别有多少条对称轴？数一数，你发现了什么规律？ 正n边形有多少条对称轴？
（3）正多边形的对称轴有什么特点？
3条
4条
5条
6条
正n边形有n条对称轴
边长与两条 半径能围成 等边三角形 只要求出 边心距即 可 F ∟ E O C D
正六边形 中心角是 60°
A
G
B
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6 p6和面积s6
解：如图，连接OA,OB作OG⊥AB，垂足为点G 可得到Rt△OGB,其中OG为边心距,记作r6 1 1 360 ° ∵∠GOB= ∠AOB= × =30° 2 2 6 ∴ a 6=2Rsin 30°= R， p6=6 a6=6 R ∵r6= Rcos 30°=
如图：正六边形ABCDEF的顶点都在 以坐标原点为圆心，以2为半径的圆 上，点B在y轴的正半轴上，求正六 边形ABCDEF各顶点的坐标。
×
360 3
° =60°
C
O
R D ∟ R2 A
∴AC=2Rsin 60°=
1 2
3
R
1
∴S ABC =
×AD×OD×3= ×
2
3 R ×2
1
R ×3=
3 3 4
2.如图，钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份，如 果表盘的半径为10㎝，那么表盘上每相邻的两个刻 度之间的距离是多少？
解：连接OA,OB,过O点作OC⊥AB交AB与C ∴在Rt△AOB中
3 2
E O
D
F ∟ B r6 R
C
R
1 2 1 2
3 2
A
G
s6=
源自文库1 2
× r6× a 6×6=
r6 a6 =
.
R.6 R
3 3 = R2 2
1.已知正三角形的外接圆半径为R，求这个正三角形的 边长和面积。
B 解：连接CO,AO,过O点作OD⊥AC， 交AC于D ∵∠COD=
1 2
∠AOC=
1 2
1
2.已知圆内接正方形的边长为
2
3.一个正多边形的外角和是它的内角和的
4
，那么这个正多边形的中心角是＿＿＿度 36 ）
1 180 ° n
4.圆的内接正n边形与外切正n边形的边长比为（ B
180
A sin
° B cos
180 ° n
n
C tan
180 n
° D
tan
如图：正六边形螺帽的边长a=12㎜， 当扳手的开口b为多少时，恰好能卡住螺帽？
（3）①当边数为偶数时，各对角顶点确定的直线和各对边中点确定的直线 都是它的对称轴 ②当边数为奇数是时，每个顶点到对边所作的垂线都是它的对称轴
正多边形有关的概念 E
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.