鲁教版九年级正多边形和圆
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。
鲁教版初三(上)数学：正多边形与圆,带答案
正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。
春鲁教版数学九下5.8《正多边形和圆》word教案
C B A O．第五章 中心对称图形（二）第26课时：正多边形与圆班级 姓名 学号学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系．2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形．3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形． 思考探索：问题1：如图,△ABC 内接于⊙O ．(1)若AC 是⊙O 的内接正三角形的一边,AB 是⊙O 内接正方形的一边, 则BC 是⊙O 的内接正 边形的一边; (2) 若AC 是⊙O 的内接正方形的一边,AB 是⊙O 的内接正五边的一边,则BC 是⊙O 的内接正 边形的一边;(3)若AC 是⊙O 的内接正n 边形(3≥n )的一边,AB 是⊙O 的内接正(1+n )边形的一边,则BC 是⊙O的内接正 边形的一边． 练一练：(1)下列多边形中，正多边形的为（ ）A ．各边都相等的多边形B ．有一个角为120°的等边多边形C ．各角都相等的四边形 D.每个角都是108°的等边多边形(2)正多边形的一个外角为15°，则边数为 ；正n 边形的一个内角是156°，则n = ; 正n 边形的一个外角与一个内角的比为1：3,则n = ．(3)试比较图中两个几何图形（一个是正方形，一个是正五边形）的异同，请分别写出它们的一个相同点和不同点：相同点：______________;不同点：____________.问题2： 下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
练一练：(1)正2006边形对称轴的条数是 （ ）A ．2006B ．2004C ．2005D ．1003(2)在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，其中共有几个是中心对称图形（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4问题3：已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，试说明：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边。
九年级数学上册《正多边形和圆》教案、教学设计
a.提问：同学们，你们在生活中都见过哪些正多边形和圆形的物体呢？
b.学生回答后，教师总结：正多边形和圆在我们的生活中无处不在，它们具有很多独特的性质和美感。今天我们就来学习正多边形和圆的相关知识。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将正多边形的性质与实际问题相结合，需要教师通过举例、引导，帮助学生建立知识间的联系。
3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要教师关注学生的情感态度，激发学生的学习兴趣，增强他们的自信心。
4.学生在团队合作、交流表达方面有待提高，教师应创造更多机会让学生进行讨论交流，培养他们的沟通能力。
a.设计一道具有实际背景的问题，运用正多边形和圆的知识进行解决，要求学生将解题过程和答案以书面形式提交。
b.学生以小组为单位，共同探讨生活中的正多边形和圆的应用，完成一份小报告，内容包括：应用实例、性质分析、解题方法等。
3.拓展与思考：
a.阅读相关资料，了解正多边形和圆在历史、文化、艺术等领域的应用，撰写一篇心得体会。
b.探究正多边形与圆在建筑设计中的应用，结合实际案例进行分析，提出自己的看法。
4.口头作业：
a.与家人分享本节课所学知识，讲解正多边形和圆的性质，以及它们在生活中的应用。
b.与同学进行交流，讨论解决正多边形和圆相关问题时的策略和方法。
5.预习作业：
a.预习下一节课内容，提前了解与正多边形和圆相关的其他几何知识。
b.采用问题驱动法，设计具有启发性的问题，引导学生主动探究正多边形的性质及其与圆的关系。
c.以小组合作的形式，让学生共同解决正多边形与圆的实际问题，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
2023-2024学年九年级上数学：正多边形和圆(精讲学生版)
2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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初三数学正多边形和圆知识点
初三数学正多边形和圆知识点
嘿，同学们！今天咱来聊聊初三数学里超有趣的正多边形和圆的知识点呀！
你看，正多边形多有意思啊！就像那蜂巢，一格一格的，那可都是正六边形呢！比如说一个正六边形，它的各边相等，各角也相等。
假如我们画一个正六边形的地砖，那每一条边都是一样长的，每个角也都是一样大的呀，神奇吧！
再来说说圆，圆就像是一个超级包容的大怀抱！任何正多边形都可以和圆产生奇妙的联系呢。
比如说我们在一个圆里画一个正五边形，那这个正五边形的顶点肯定都在这个圆上呀！就好像五个小不点在圆这个大舞台上表演一样！
正多边形的中心角也很重要哦！就像是一场舞蹈里的节拍。
比如一个正八边形，它的中心角就是 360 度除以 8 等于 45 度呢。
这中心角就好像是指挥棒，引领着正多边形的节奏呀！
我觉得吧，正多边形和圆的知识点真的是太好玩啦！能让我们看到好多奇妙的图形组合。
怎么样，是不是很有意思？大家快来好好探索一下吧！
我的观点结论：正多边形和圆的知识点充满趣味和奇妙，值得我们深入研究和好好掌握！。
九年级数学正多边形和圆
05
解题技巧与方法总结
判断题和选择题答题 技巧
仔细审题 运用基础知识 排除法 注意陷阱 对于判断题和选择题，首先要仔细阅读题目， 理解题意，明确题目所考察的知识点。 根据题目所给的信息，运用相关的数学基础 知识进行分析和判断。 对于选择题，可以运用排除法，逐一排除错 误的选项，提高答题效率。 有些题目可能会设置陷阱，例如单位不统一、 数据不准确等，要特别注意。
利用三角函数关系
在正多边形中，可以利用三角函数关系式求解边长或面积。例如，已知正多边形 的内角或外角，可以利用三角函数求解边心距或半径，进而求解边长或面积。
利用图形变换简化 问题
对称性质
利用正多边形的对称性质，可以简化问题的求解过 程。例如，正多边形关于其中心对称，因此可以利 用这一性质求解与中心相关的量。
内角
外角
关系
正$n$边形的每个外角大小为 $frac{360^circ}{n}$。
正多边形的内角与外角互为邻补角，即 一个内角与一个外角的和为 $180^circ$。
正多边形对称性质
轴对称
正多边形具有轴对称性，即存在至少一条直线（对称轴）使得多边形关于该直 线对称。对于正$n$边形，有$n$条对称轴，分别通过每个顶点和相对边的中 点。
求解正多边形边长或面积方法
已知半径求边长
正多边形的边长可以通过其外接圆的半径和正多边形的边心距来求解。具 体公式为：边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)，其中n为正多边形的边数。
已知边长求面积
正多边形的面积可以通过其边长和边心距来求解。具体公式为：面积 = (n × 边长^2) / (4 × tan(π/n))，其中n为正多边形的边数。
鲁教版九年级下册数学第五章 圆 正多边形
17．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形 组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每 个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点 上，求△ABC的面积．
【点拨】本题考查了正多边形的相关计算，正确理 解S△ABC＝S△AEC－S△BEC是解题的关键．
解：如图，作出直线 AB，CD，则直线 CD 一定与直线 AB 交于格点 E.∵正六边形的边长为 1， ∴正六边形的半径是 1，则 CE＝4.由题意得正六边形中 隔一个顶点的两个顶点之间的距离是 3，则△BCE 的边
8．⊙O 的内接正三角形与正六边形的面积之比为 (C ) A. 2∶1 B．1∶ 3 C．1∶2 D．1∶ 2
9．【中考·滨州】若正方形的外接圆半径为 2，则其内
切圆半径为( A )
A. 2 B．2
2
2 C. 2
D．1
10．一个圆的内接正方形和外切正方形的面积的比 是( B ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
︵︵ ＝∠DBC＝∠ABD＝∠ACE＝∠BCE，∴BC＝CD＝
︵︵︵ DA＝AE＝BE.∴五边形 AEBCD 是正边形．
规律方法：在同圆中，若相邻分点间的弧相等，则 所对的弦(多边形的各边)相等，相邻两弦所成的角 (多边形的各内角)相等，这样的多边形是正多边 形．因此只需证明圆周被多边形的顶点n等分，就 可得到正n边形，这是证明正多边形的常用方法．
LJ版九年级下
5.8正多边形和圆 第2课时正多边形
第五章圆
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1B 2C 3B 4D
5C 6A 7B 8C
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9A 10 B 11 B 12 A
13 4 2
14 A 15 见习题 16 见习题 17 见习题 18 见习题
鲁教版(五四制)初中数学九年级下册_《正多边形和圆(1)》参考课件
例1 用直尺和圆规作一个正六边形.
作法：（1）任意画一个圆，记圆心为O，如图所示：
（2）在⊙O上任取一点A，自点A起在⊙O上依次截 取长度等于半径OA的弦，得到点B，C，D，E，F.
·O
（3）顺次连接点A，B，C，D，E，F，A，如图.
F
E O ·
A
D
B
C
六边形ABCDEF就是所求的正六边形.
5.8 正多边形和圆（一）
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多 边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依 次连接各分点得到正五边形ABCDE.
怎样用直尺和圆规作一个正十二边形？
作一个正三角形呢？ 与同伴进行交流.
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，
四个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都 相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如 A６ 果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, 且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
A７ · O A1
A５ A４ A３
AnBiblioteka A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1. A2 A3 An A3 A4 A1 A4 A5 A2 A1 A2 An 1.
鲁教版数学九年级下册5.8《正多边形和圆》教学设计
鲁教版数学九年级下册5.8《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是鲁教版数学九年级下册第五章第八节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行学习的，主要包括正多边形的定义、性质以及正多边形和圆之间的关系。
通过本节内容的学习，使学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但部分学生在学习过程中对正多边形的性质和特点理解不够深入，需要在学习过程中加强引导和巩固。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.掌握正多边形和圆之间的关系。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
4.培养学生独立思考和合作交流的能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形和圆之间的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生独立思考和探索。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示正多边形的性质和特点。
3.学生进行合作交流，提高学生的团队协作能力。
4.运用练习法，巩固学生对正多边形和圆的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正多边形的图片和模型。
3.圆的图片和模型。
4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的正多边形和圆的图片，如足球、篮球、车轮等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们之间有什么关系？2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，如正五边形、正六边形等。
通过多媒体展示正多边形的模型，让学生直观地了解正多边形的特点。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，探讨正多边形和圆之间的关系。
让学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的内在联系。
4.巩固（10分钟）发放练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和填空题，以巩固学生对正多边形和圆的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了正多边形和圆，还有哪些图形具有特殊的性质和关系？如椭圆、双曲线等。
鲁教版九年级下册数学8圆内接正多边形精美课件
(1)正四、正八边形的尺规作图 （2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
1、正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做
正方形ABCD 的 中心
A
D
2、正方形ABCD 的内切圆 的半径OE 叫做
.O
正方形ABCD 的 边心距
B EC
3 、⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，弦AB 的
弦心距OF 叫正五边形ABCDE 的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE 的 内切 圆的半径。
停
练习： （1）用量角器作五角星；
本节课我们学习了正多边形和圆的 关系。并学习正多边形的半径、边 心距、中心角等定义。学会画正多 边形，并会进行正多边形的有关计 算。
..O
C
? AOG? ? BOG ? 180? n
R
a
AGB
设正多边形的边长为 a,半径为R,它的周长为 L=na.
边心距r ?
R2
（? a
2
）
，
2
面积S ? 1 L ? 边心距（r）? 1 na ? 边心距（r）
2
2
例 有一个亭子它的地基是半径为 4m的正六边形 ,求
地基的周长和面积 (精确到0.1平方米).
三条边相等，三个角也相等 （60 度）。
四条边都相等，四个角也相 等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n条边，
那么这个正多边形叫做正n边形。
说说图中的有哪几种正多边形
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
解:由于ABCDEF是正六边形，所以
鲁教版九年级数学下册课件_5.8正多边形和圆
×AB×OG×6=
1 2
×6×3
3×6=54
3.
感悟新知
知2－练
2-1.[ 中考·成都] 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O， 若⊙ O 的周长等于6π. 则正六边形的边长为( C )
A. 3 B. 6 C.3 D.2 3
感悟新知
知识点 3 正多边形的画法
知3－讲
1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点， 即得到所要作的正n 边形.
知3－练
感悟新知
作法二(1)作半径为0.9 cm 的⊙ O； (2)作⊙ O 的任一直径AB； (3)以B 为圆心，以0.9 cm 为半径作弧， 交⊙ O 于D，E； (4)连接AD，DE，EA，则△ ADE 为所 求作的正三角形，如图3-8-5.
知3－练
感悟新知
知3－练
3-1. 如图，AE 是⊙ O的直径，用直尺和圆规作⊙ O 的内 接正八边形ABCDEFGH( 不写作法，保留作图痕迹).
知3－讲
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点. 2.尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限
于作一些特殊的正多边形.
感悟新知
例 3 作一个正三角形，使其半径为0.9 cm .
知3－练
解题秘方：用量角器画应先求出中心角，用尺规画
则先考虑等分圆周.
感悟新知
解：作法一 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O； (2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°， 其中A，B，C均为圆上的点； (3)连接 AB，BC，CA，则 △ ABC 为所求作的正三角形, 如图3-8-4
;
(2)周长l=na；
(3)面积S=
鲁教版(五四制)(2012)九年级数学下册-5.8 正多边形和圆-学案设计(无答案)
正多边形和圆【学习目标】1．理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4．理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
【学习重难点】1．重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
2．难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
【学习过程】一、概念理解（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形。
等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。
（2）概念理解：①举例，说出自己在日常生活中见过的正多边形。
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分。
要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形。
要将圆六等分呢？你知道为什么吗？（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。
二、自主探究1．问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。
（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
）思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？2．问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？三、拓展学习拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形。
相关概念：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
5.8 正多边形和圆(数学鲁教版九年级下册)
新课进行时
例2 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形， 求地基的周长和面积(结果保留到小数点后一位)．
新课进行时
解：连接 OB，OC.∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴它的中心角等于3660°＝60°，△OBC 是等边三角形，从而
正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长 l＝6×4＝24(m)．
这个正六边形的外接圆半径、边心距、面积．
[解析] 连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，易得△AOB是 等边三角形，进而可得正六边形的外接圆的半径R，然后由勾 股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△AOB求得答案．
新课进行时
解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作 OG⊥AB 于点 G.
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
课后作业
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
文本
文本
文本
接各等分点．
知识小结
(2)用尺规作图法等分圆周
①可在⊙O上作两条互相垂直的直径得正四边形，再逐次平
分每条弧可得正八边形、正十六边形、正三十二边形……
②可作半径为R的⊙O，在⊙O上依次截取长度等于R的弦，可
得正六边形，再可得正十二边形、正二十四边形…… [注意] 用量角器等分圆周的方法可以作任意正多边形；用尺
鲁教版九年级下册
第五章 圆
5.8 正多边形和圆
新课目标
1．通过观察圆与正多边形的图形，概括出圆内接正多边 形的相关概念，会利用正多边形的知识进行有关的计算． 2．通过推理证明正多边形和圆的关系，会利用正多边形 和圆的关系解决作图和证明问题．
新课进行时
核心知识点一 圆内接正多边形的有关计算
鲁教版九年级数学下册《正多边形和圆》导学案-新版
5.8正多边形和圆一、学习目标：1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；5.培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。
二、知识准备1.在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。
2.通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。
三、学习内容（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。
（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。
（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
）思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．求证：五边形ABCDE是正五边形。
山东省九年级数学《正多边形和圆》教案
三.尝试应用
1．课本例题，有一个亭子，它的地基是半径为 4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0 .1m）
2．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
四.补偿提高
3．课本练习1、2、3
1．同步学习P70开放性作业：1、2、3、4、6、7、8题
学生独立完成2
3找学生口答
学生单独完成
此题可供学有余力的学生完成
学生自己总结回答.
不全面的由其他学生补 充完善
2．补充：
正三角形的边心距、半径和高的比 是：
A. B.
C. D.
学生观察图案，思考并指出找到的正多边形
学生讨论、交流、发表各自见解。
学生完成证明过程。
学生思考，同学间交流，回答问 题。
学生讨论，思考回答
学生看图（课本图24.3—3）理解概念
学生画出正六边形图形，完成例题1的解答，总结这一类问题的求解方法。
课题正多边形和圆（第一课时 ）
主备人
课时
一课时
分管领导
验收结果
教学目标知识与技能
1、了解正多边形和圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。
重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。
难点：探索正多边形与圆的关系。
教学过程
教师活动
学生活动
一.创设情境，导入新课：
观察下列美丽图案（课本图24.3—1）回答问题：
（1）这些 美丽的图案，都是在日常生活中我们经常看到的得用正多边形得到的物体，你能从这些图案中找出正多边形来吗？
鲁教版九下数学正多边形和圆第一课时优质课件
用量角器等分圆 1.画一个⊙0，用量角器画一个度
A4
A3
数为 圆心角∠A1OA2
A2 2.以点A2为圆心、以弦A2A1为半径
作弧，在⊙O上截得点A3，然后以
OOO
A1 点A3为圆心，以弦A2A1为半径作弧，
在⊙O上截得点A4……这样继续下
去，就可以把⊙O分成n份
3.顺次连接这n个分点，便得到了
⊙0的一个内接正n边形
正十二边形
交叉
等分 角
怎样用尺规作一个正四边形？作一个正八边形？与 同伴交流
C
F
正四八边形：
⑴任用意直画尺一和个圆圆规，作记出圆一心个为正O四，边作形直A径CBADB
BB
⑵作线各段边的垂直平分线，与圆分别又有两四个交
OO
点CE、,F,DG，,H连接点A、C、B、D
四八边形ACECBFDB为G所DH求就作是的所正要四作边的形正八角形
生活中常见的图形：
C
F E家还记得什么是正多边形吗？
三条边相等 三个角相等
四条边相等 四个角相等
五条边相等 五个角相等
正三角形
正四边形
正五边形
各边相等，各角相等的多边形叫正多边形
如果一个正多边形有n条边(n≥3)，那么这个正多 边形叫做正n边形
如图：A,B,C,D,E都是⊙O上得点，且∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE.
用
B
量
角
器 等
O 60°
A
分
圆
法
例1：用尺规作一个正六边形
作法：
C
B
(1)任意画一个圆，记圆心为O
O D
(2)在⊙O上任取一点A,自点A起在⊙O
A 上依次截取长度等于半径OA的弦，得到 点B,C,D,E,F
《正多边形和圆》课件1-优质公开课-鲁教9下精品
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径:外接圆的
半径 正多边形的中心角:正多边形 的每一边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正 多边形的一边的距离.
例2 已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个 正六边形的边长a，周长p和面积S.
解：如图，连接OA，OB，作OG⊥AB，垂足为点G， 可得到Rt△OGB，其中OG为边心距，记为r. 1 1 360 GOB AOB 30， 2 2 6 a 2 R sin 30 R，p 6a 6 R.
r
a＝ 3r
r
b＝ 2r
r
（2）能构成三角形，直角三角形
c＝r
把边心距、半径、边长的
一半三者同时处于一个直
角三角形中，缺什么补出
什么，这是解决此类问题 的一个捷径。
利用尺规作图，作已知圆的内接正六边形。
A F
B
o
C
D
（1）以圆周上任意一点为圆 心，以圆的半径为半径作弧， 与圆周交于一点； （2）以得到的交点为圆心， 以圆的半径为半径作弧与圆周 E 交于另一点，依次下去，在圆 周上得到六个点； （3）依次连接这六个点，就 得到了这个圆的一个内接正六 边形．
3 r R cos 30 R， 2 1 1 3 S ra6 R 6R 2 2 2 3 3 = R. 2
⊙O 半径为r，其内接正三角形、正方形、正六边形 的边长分别为a，b，c. （1）求a，b，c； （2）以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的 是什么三角形？如果不能，请说明理由
（第3题）
1.正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心 距是____ 8 cm. 五 边形的中心角为72度. 2.正 ____
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2.已知圆内接正方形的边长为
2
3.一个正多边形的外角和是它的内角和的
4
，那么这个正多边形的中心角是＿＿＿度 36 ）
1 180 ° n
4.圆的内接正n边形与外切正n边形的边长比为（ B
180
A sin
° B cos
180 ° n
n
C tan
180 n
° D
tan
如图：正六边形螺帽的边长a=12㎜， 当扳手的开口b为多少时，恰好能卡住螺帽？
3 2
E O
D
F ∟ B r6 R
C
R
1 2 1 2
3 2
A
G
s6=
1 2
× r6× a 6×6=
r6 a6 =
.
R.6 R
3 3 = R2 2
1.已知正三角形的外接圆半径为R，求这个正三角形的 边长和面积。
B 解：连接CO,AO,过O点作OD⊥AC， 交AC于D ∵∠COD=
1 2
∠AOC=
1 2
边长与两条 半径能围成 等边三角形 只要求出 边心距即 可 F ∟ E O C D
正六边形 中心角是 60°
A
G
B
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6 p6和面积s6
解：如图，连接OA,OB作OG⊥AB，垂足为点G 可得到Rt△OGB,其中OG为边心距,记作r6 1 1 360 ° ∵∠GOB= ∠AOB= × =30° 2 2 6 ∴ a 6=2Rsin 30°= R， p6=6 a6=6 R ∵r6= Rcos 30°=
将正n边形绕其中心旋转
360 n
°
，仍与自身重合。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形， 每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
正多边形的计算问题常常可以归纳 为解直角三角形问题。
例2
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，
周长p6和面积s6
鲁教版数学九年级上册
第四章 第七节 圆 正多边形和圆 （第2课时）
观察下列正多边形：
⑴它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个正多边形所有的对称轴。 (2)它们分别有多少条对称轴？数一数，你发现了什么规律？ 正n边形有多少条对称轴？
（3）正多边形的对称轴有什么特点？
3条
4条
5条
6条
正n边形有n条对称轴
如图：正六边形ABCDEF的顶点都在 以坐标原点为圆心，以2为半径的圆 上，点B在y轴的正半轴上，求正六 边形ABCDEF各顶点的坐标。
×
360 3
° =60°
C
O
R D ∟ R2 A
∴AC=2Rsin 60°=
1 2
3
R
1
∴S ABC =
×AD×OD×3= ×
2
3 R ×2
1
R ×3=
3 3 4
2.如图，钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份，如 果表盘的半径为10㎝，那么表盘上每相邻的两个刻 度之间的距离是多少？
解：连接OA,OB,过O点作OC⊥AB交AB与C ∴在Rt△AOB中
（3）①当边数为偶数时，各对角顶点确定的直线和各对边中点确定的直线 都是它的对称轴 ②当边数为奇数是时，每个顶点到对边所作的垂线都是它的对称轴
正多边形有关的概念 E
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
中心角
. O
半径R
C B
边心距r
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.或内切 圆的半径
（1）正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角分别是多少度？
正n边形的中心角呢？
120° 90° 72° 60°
360 n
°
（2）将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋转角 进行旋转，你能得到什么结论？
边心距：Rcos
2.设正三角形的边长为a，它的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
高为h，求r:R:h
1
r=
a
3a 6
h
2 = ta n 6 0 °
1
R= 2
sin 6 0 °
1
h=
3
3
a r:R:h=
a
3a 6
a· tan60°=
:
3 3
2
2
a :
3
a
2
=1:2:3
∟
a
=
3
R a r
45 1.正八边形至少绕中心旋转＿＿＿°，才能与原正八边形重合。 1 ，则，该圆的内接正六边形的边长＿＿＿
1 1 360 ° ∠AOC= ∠AOB= × =15° 2 2 12
O
∴AB=2AC=2Rsin 15°
=2×10×sin 15° ≈5.18（㎝）
A C
B
1.正n边形的中心角的度数等于多少？半径为R的圆内 接正n边形的边长和边心距分别是多少？
中心角的度数：
360 n
°
边长：2Rsin
180 ° n 180 ° n