函数的图像答案

【2014年高考会这样考】
函数的图象主要考查作图、识图、用图三方面的综合能力，函数图象变换主要考查平移、对称和伸缩，多为选择题，主要考查两图象的交点与方程的解的关系．
【复习指导】
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻．
1．函数图象的变换 (1)平移变换 ①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．
②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到．
(2)对称变换
①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． (3)伸缩变换
①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．
②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)
到原来的1
a
倍，纵坐标不变．
(4)翻折变换
①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；
②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．
2．等价变换
例如：作出函数y ＝1－x 2的图象，可对解析式等价变形
y ＝1－x 2⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥01－x 2≥0
y 2＝1－x 2
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥0
y 2＝1－x
2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．
3．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置． 两个区别
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．
(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．
三种途径
明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． (1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (2)函数解析式的等价变换． (3)研究函数的性质．
双基自测
1．(人教B 版教材习题改编)为了得到函数y ＝lg x ＋3
10
的图象，只需把函数y ＝lg x 的图
象上所有的点( )．
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析 y ＝lg x ＋3
10＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1
个单位长度而得到．
答案 C 2．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )．
A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )
解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2
＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D
3．函数y ＝1－1
x －1
的图象是( )．
解析 将y ＝－1
x
的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1
－1x －1
的图象． 答案 B
4．(2011·陕西)函数y ＝x 1
3
的图象是( )．
解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y ＝x 比较即可．
由(－x )13＝－x 13知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 1
3＜x ，知
只有B 选项符合．
答案 B
5．(人教B 版教材习题改编)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝|f (x )|
C ．y ＝f (－|x |)
D ．y ＝－f (|x |)
解析 y ＝f (－|x |)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－x )，x ≥0，
f (x )，x ＜0.
答案 C
考向一 作函数图象
【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；
(2)y ＝2x ＋
2；
(3)y ＝x 2－2|x |－1；
(4)y ＝x ＋2x －1
.
[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．
解 (1)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x (x ≥1)，
－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.
(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②. (3)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －1 (x ≥0)
x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.
(4)因y ＝1＋3x －1
，先作出y ＝3
x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个
单位，即得y ＝x ＋2
x －1
的图象，如图④.
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对
数函数、幂函数、形如y＝x＋1
的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、
x
周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
【训练1】作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝sin|x|；
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．
(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．
考向二函数图象的识辨
【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．
[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．
解析f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；
函数g(x)＝21－x＝2×⎝⎛⎭⎫1
x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函
2
数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A，B，D.故选C.
答案 C
函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
【训练2】(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()．
解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2
有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A.
答案 A
考向三 函数图象的应用
【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.
(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．
解 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，
－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)，
作出图象如图所示．
(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．
(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．
(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的
值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法．
【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．
A ．[－1,1＋22]
B ．[1－22，1＋22]
C ．[1－22，3]
D ．[1－2，3] 解析
在同一坐标系下画出曲线y ＝3－
4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的
圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－
4x －x 2都有公
共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)
为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |
2＝2，b ＝1－2 2.
结合图形可知，满足题意的只有C 选项．
答案 C。