敲出型双障碍期权定价的高精度隐式差分格式

Vol. 36 No. 5

Oct. 2022

第36卷第5期

哈尔滨商业大学学报(自然科学版)

2020

年 10 月

Journal of Harbin University of Commerce (Natural Sciences Edition )

敲出型双障碍期权定价的高精度隐式差分格式

孙玉东

（贵州民族大学商学院，贵阳555025）

摘 要：敲出型双障碍期权路径复杂，通常情况下没有解析定价结果.考察了连敲出型 双障碍期权定价问题的数值结果.针对该类型期权，得到了一个时间2阶、空间4阶精 度的隐式差分格式.之后采用不等式放大技术和递推法研究了差分格式的稳定性和收

敛性.最后利用差分格式分析了敲出型双障碍期权的数值定价结果.关键词：敲出型双障碍期权；数值模拟；稳定性；收敛性；可解性

中图分类号:O211.64 文献标识码:A 文章编号：1672 - 0944（2022）05 - 0606 - 06

A high precision of enplictt difference schemr fon continuous

knock-out and double barrire option pricing

SUN Yu-dong

(School of Business, Guizhon Minzu University , Guiyang 555025 , China)

Abstraci : The pat. of OonUls barrirr options is comples , anO uss)ly thss is no analytzc

pricing resuli. This pa )sr examineS ths nnmericcl resulis of the knochdut ang Ooube bafirr

option pricing proMem. For this type of OonUis bander option, nn implicit differesco scheme

of S s 2nd o O so in timr a ng S s 4th o O so in spncc wns Then S s igequdnty

amplification technique ang recorresco methon were used th stuUp the stanility , solvanility

ang converoesco. Finalip , the dimeregco pricing scheme wns used ta analyue the ngmericoi pricing results of knoch-dnt ang donUie baciet options.

Key words ： knoch-dnt ang donUie barriet option; ngmericoi simulation ; stanilitp ;

solvanility ; converoesco

障碍期权在标准欧式期权的基础上增加了障

碍触发限制条款，当障碍期权挂钩的风险资产触及

障碍值之后期权即刻失效,此时期权的投资人也就 损失了全部期权金•另一方面，期权作废也失去了 套期保值、规避风险等功能,致使投资人直接暴露

在市场风险之下.因此相较于其他期权障碍期权更

加便宜，双障碍期权更是如此.

近些年来，学者和金融从业者们发现，价格相

收稿日期-16

基金项目：贵'省教育厅青年科技人才成长项目（No.黔教合KY 字[2016] 168）.

作者简介:孙玉东（1983 -）,男，副教授，博士，研究方向：随机分析、数理金融.Email ： yudongsuu@yeah. net

第5期孙玉东:敲出型双障碍期权定价的高精度隐式差分格式-607-

对低簾的障碍期权依然能通过一系列对冲策略实

现套期保值、规避风险的功能［1'2］,并且在投资策略的调整过程中投资人面临较小的期权金损失［3-4］-此外障碍期权在其他金融工程领域也有着良好的应用［5-°.在理论价值分析方面，文献［7-8］采用傅里叶变换研究了双障碍期权的价值问题，给出了半解析定价结果的同时,进行了大量的实证分析•文献［4,9,17,11］采用摄动方法研究了障碍期权定价问题,给出了非线性Black-Scholes 模型上的一个半解析近似解，同时进行了近似结果的误差分析•由于障碍期权收益结构复杂,除了完全线性的Blcch-Scholes模型外解析定价结果常常难以获取，文献［3,12］采用Monte-Carlo模拟方法，获取了一种统计计量分析方法.

本文提出了采用加权隐式差分格式研究了双障碍期权定价问题.针对双障碍期权提出了一种更高精度的数值模拟方法，同时分析了差分格式的稳定性和收敛性.

2向上敲出巴黎期权

在期权存续期［7,丁］内，双障碍期权约定当

风险资产始终S位于区间［L,U］时则期权有效,否则期权作废•依据风险中性定价策略，双障碍期

权的价值可以表示为

卩=u/u］，eg/(S(Q)］，⑴

其中：强，价值也越大•进一步将主方程结构简化,作变换X=InS-InL,则式(2)转化为

|匹+冷7+

727

⑴，，)u(0,T)x(。，皿*),(3) V⑴，7)=7,V⑴=7,u(7,T),

I V(T1,)=max{L e*-K,0},S u(。'，皿*),

其中：ma=lnU-lnL.下文将对(7,T)X(7,9mn)进行网格划分，采用隐式差分格式对双障碍期权进值分析

2差分格式

先对时间变量和空间变量进行等距网格划分，令

,=kM,=7,1,…，川；)=ih,,=7,1,…,M,其中：A,=T/TV和,=X ma/M分别表示时间步长和空间步长•进一步对时间变量进行离散,其中向前差分格式满足

八,，=---------------------------+°(M k=”V(,,))+0(M),(4a)

k=71，•••，^-2向后差分格式满足

7v⑴)y a k,)-V⑴k-i,),门⑴八

7卩(),))=----------------------------------------------------+。(昉= a-"),,)+,(4)

k=1,2,…,V.然后对空间变量进行网格划分，对任意的h=1,2,…，(M-1)有

/(S⑺)={max!S(T)-K,，｝，看涨期权，

max；K-S(T)，7｝，看跌期权,0V(T,))

&卩(⑴k,))

1,2。3卩(，))

才-----3—+

d)3

K表示事先约定好的执行价格.依据Feymann-Kac公式，两种双障碍期权的价值适合下面的抛物初边值问题［2_2］

「评19(92V

7，

-⑴,S)u(7,T)x(L,U)⑴V⑴，L)=7,V⑴，U)=7,u(7,T)，

I V(T,S)=/(S),S u(L,U),

其中:表示无风险利率,b表示期权挂钩风险资产价格S的波动率,b越大意味着风险资产S在未来时刻的走势不确定性约强•注意期权有规避风险、套期保值的功能,b越大也意味着期权的功能越

0(,),⑸。2卩(T,))

0(，),

其：

(0)

&V(T,))

V(T,)+1)-V(T,)-1)

2

)V(T,)++)-2((»,))+V(T,)-i)氏((k,))=----------------------------------------,-----------------------------------------

考察加权隐式差分格式，将式(4a)、(5)、(6)代入式(3),由文献［13-14］可以得到

岔((—，叫)+t A,"-,叫)++22A h v(—+1)

=