河南省高一下学期开学摸底考试数学试题(解析版)

高一下学期开学摸底考试数学试题
一、单选题
1．已知，集合，，则（ ） U =R {}24A x x =<<{}|(5)(3)0B x x x =--≥()U A B = ðA ． B ． {}25x x <<{}23x x <≤C ．或 D ．
{|5x x ≥}4x <{}34x x <<【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算和一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得或，则或， ()()530x x --≥5x ≥3x ≤{|5B x x =≥}3x ≤故， {}|35U B x x =<<ð故. {}()|34U A B x x =<< ð故选:D.
2．已知函数f (x )=(a ∈R )，若，则a =（ ）
2,0,2,0
x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩((1))1f f -=A ．
B ．
C ．1
D ．2
14
1
2【答案】A
【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案 (1)f -((1))f f -【详解】解：由题意得， (1)(1)22f ---==所以，解得a =. 2((1))(2)241f f f a a -==⋅==14
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
3．在中，点D 在BC 边上，且.设，，则可用基底，表示为ABC A 2BD DC = AB a
=AC b = AD a b （ ）
A ．
B ．
1()2
a b +r r 2133
a b + C ．
D ．
1233
a b + 1()3
a b +r r 【答案】C
【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【详解】因为，所以.
2BD DC =
23
BD BC = 所以
22()33
AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+- 12123333AB AC a b =+=+
故选：C 4．若
，则下列不等式中不正确的是（ ） 11
0a b
<<A ． B ． C ． D ．
a b ab +<a b >22a b >2ab b <【答案】C
【分析】结合不等式的性质确定正确选项. 【详解】由
<0
，得b <a <0，故B 项正确；∴a 2<b 2，ab <b 2，故C 项不正确，D 项正确；
11a b
<∵a +b <0，ab >0，∴a +b <ab ，故A 项正确. 故选：C
5．已知，则等于（ ） sin 2cos 0αα+=cos 2sin 2αα-A ．
B ．
C ．
D ．
45
35
2515
【答案】D
【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化tan αsin ,cos αα切代入求值．
【详解】由得，
sin 2cos 0αα+=tan 2α=-222
2
22cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin 2sin cos sin cos αααα
αααααααα
---=--=
+．
22221tan 2tan 1(2)2(2)1tan 1(2)15
ααα-----⨯-===+-+故选：D ．
6．已知幂函数满足，若，，，则，
()f x x α
=()()2216f f =()4log 2a f =()ln 2b f =()12
5
c f -=a ，的大小关系是（ ）
b c A ． B ． a c b >>a b c >>C ． D ．
b a
c >>b c a >>【答案】C
【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
()()2216f f =1
3α=()f x 【详解】由可得，∴，
()()2216f f =4222αα⋅=14αα+=
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
1
3
α=()13f x x =()f x R 而由换底公式可得，，
242log 21log 2log 42==22log 2ln 2log e =1
25-∵，∴，于是， 21log 2e <<
2222log 2log 2log 4log e
<4log 2ln 2<又，∴，故，，的大小关系是. 12
<1
245log 2-<a b c b a c >>故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向
()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕω
ϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ）
()0m m >()g x m
A ．
B ．
C ．
D ．
π
6
π2
π3π2
【答案】B
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利()f x ()g x 用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.
()g x m 【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则， 3A =()f x π4π6π2T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π1
63ω=
=因为，可得， ()3
03sin 2f ϕ==1sin 2
ϕ=因为且函数在附近单调递增，故，所以，， ππ22ϕ-
<<()f x 0x =π6ϕ=()π3sin 36x f x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，
()f x ()0m m >()g x 则，
()()1π1
π3sin 3sin 363
63m g x x m x ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数的图象关于原点对称，则，解得，
()g x ()ππ63m k k -=∈Z ()π
3π2m k k =-∈Z 当时，， 0k =π
2
m =
故选：B.
8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范
3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ (2)
()()2()g x f x kx x
k =--∈R k 围是（ ）
A ．
B ．
1,)2⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭ 1,(0,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
C ．
D ．
(,0)(0,-∞ (,0))-∞+∞ 【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分(0)0g =|2|y kx =-()
()||
f x h x x =
3三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
0,0,0k k k =<>【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 (0)0g =()g x ()
|2|||
f x kx x -=即可， 令，即与的图象有个不同交点. ()h x =
()
||f x x |2|y kx =-()()||
f x h x x =3因为， 2,0
()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 0k =2y =2y =()
()||
f x h x x =1当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 0k <|2|y kx =-()
()||
f x h x x =
3当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 0k >2y kx =-2y x =220x kx -+=
令得，解得，所以0∆=280k -=k =k >
综上，的取值范围为. k (,0))-∞+∞ 故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
二、多选题
9．在下列命题中，真命题是（ ） A ．命题“”的否定形式是：“，”. 0001,2x R x x ∃∈+
≥x ∀∈R 1
2x x
+<B ．.
2
0,10x R x x ∃∈++=C ．，使得.
,x y Z ∃∈3210x y -=D ．.
2
,x R x x ∀∈>【答案】AC
【解析】根据特称命题的否定可判断A ，由可判断B ，取特值可判断CD.
2
2131()024
x x x ++=++>【详解】对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定形式是：“00
01
,2x R x x ∃∈+≥，”，正确； x ∀∈R 1
2x x
+
<对于B ，，所以不正确；
22131(024
x x x ++=++>2
0,10x R x x ∃∈++=对于C ，当时，所以正确；
4,1x y ==3210x y -=对于D ，当是，，所以不正确.
0x =2
x x =故选：AC.
10．若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） a b ∈R 0ab >A ．
B ． 222a b
ab +≥a b +≥C ．
D ．
11a b +>2b a
a b
+≥【答案】AD
【分析】利用作差法可判断A 选项；利用特殊值法可判断BC 选项；利用基本不等式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，，故，A 对； ()2
2220a b ab a b +-=-≥222a b ab +≥
对于B ，取，此时，B 错； 1a b ==-22a b +=-<=
对于C ，取，此时，C 错； 1a b ==-1122a b +=-<=
对于D ，因为，所以
，，所以， 0ab >0a b >0b a >2b a a b +≥=当且仅当时，等号成立，D 对. a b =故选：AD.
11．已知函数（，且）的值域为，函数，，则||x y a =0a >1a ≠(]0,1()()2
1
log a f x a x x a
=-
[],2x a ∈下列判断正确的是（ ） A ．
01a <<B ．函数在上为增函数 ()f x [],2a C ．函数在上的最大值为2 ()f x [],2a D ．若，则函数在上的最小值为-3 1
2
a =
()f x [],2a 【答案】ACD
【分析】对于A ，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B ，对函数化简后由对a 数函数的单调性进行判断，对于CD ，由函数的单调性可求出函数的最值.
【详解】对于A ，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，， ||x y a =(]0,1||x y a =0x ≥x y a =所以，所以A 正确，
01a <<对于B ，，， ()()2
2111
log log log 2log a a a a f x a x x a x x x x a a a
=-
=+-=+-[],2x a ∈由，可知和在上单调递减， 01a <<log a y x =1
y x a
=-
[],2a 所以函数在上为减函数，所以B 错误，
()f x [],2a 对于C ，由选项B 可知在上为减函数，所以，所以
()f x [],2a max 1
()()2log 2a f x f a a a a
==+-⋅=C 正确，
对于D ，由选项B 可知在上为减函数，所以当时， ()f x [],2a 1
2
a =
，所以D 正确， min 12
2
()(2)2log 2312
f x f ==+-
=-故选：ACD.
12．设函数，则（ ）
()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭A ．的最小值为，其周期为 ()y f x
=πB ．的最小值为，其周期为
()y f x =2-2
πC ．在单调递增，其图象关于直线对称
()y f x =0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
4x π=D ．在单调递减，其图象关于直线对称
()y f x =0,2π⎛⎫
⎪
⎝⎭
2x π=【答案】AD
【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.
()
2f x x =【详解】
，函数的最小值是，周期，故A 正()2244f
x x x ππ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭22T ππ==确，B 错误；
时，，所以在单调递减，令，得，其中一
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈()y f x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x k =π,2k x k Z π=∈条对称轴是，故C 错误，D 正确.
2
x π
=故选：AD
三、填空题
13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________. x R ∈2320x x +-<x 【答案】
2
(1,3
-【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 2320x x +-<即， (1)(32)0x x +-<即， 213
x -<<
故的取值范围是．
x 2
(1,)3
-【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
14．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△
ABC A B C a b c 4a =223b c bc +=120A =︒的面积为_______．
ABC
【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积316
cos1202bc bc
-︒=bc 即可.
【详解】由余弦定理得：，则，解得：，
222
cos 2b c a A bc
+-=316cos1202bc bc -︒=4bc =
∴. 112sin 4sin
223ABC S bc A π
==⨯⨯=A
15．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到
π()24f x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭()f x π3
的图象，若，则的最小值为____________．
()g x ()()()122120g x g x x x ⋅=>>12x x +【答案】
13π
12
【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知
π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ，根据最值点即可由三角函数的性质求解.
()()122g x g x ==
【详解】有题意得，由于对任意的，π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()g x ≤
故根据得()()()122120g x g x x x ⋅=>>()()12g x g x ==()()12g x g x ==
若且, ()()12g x g x ==12ππ
2ππ,,N,5π5π22
1212x k x m k m +2，2=+2+=∈+m k >因此， 12122ππN ,πN 5π5ππ
121212
x x n n x x n n 2+2，，+**+
++=∈+=∈故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +13π
12
若且, ()()12g x g x ==123π3π
2π5π5π12π,,N,212
2x k x m k m ++=∈+2，2=+2m k >因此， 121223ππN 5π5π13π
1212,πN 12
x x n n x x n n **+
+=∈+=∈+2+2，，+故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +25π
12
故取最小值，且最小值为， 12x x +13π
12
故答案为：
13π
12
16．已知，若∈，使得，若的最大
π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________.
M N +=
【答案】
23π
6
【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，
()f x 3π0,2⎡⎤
⎢⎣⎦
123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3
f x x =+3π
[0,
]2
因为 π(0)2sin
3f ==3ππ
(2sin(π23
f =+=
所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，
1x 2x 3x
由，
π2sin(23x +=πsin(2)3x +=则，，，；
10x =2π
6x =3πx =7π6N =
当的图象与直线相交时，
()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M
由
π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；
127π6x x +=33π2
x =8π
3M =所以. 23π
6
M N +=故答案为：
. 23π
6
四、解答题
17．已知集合，． 2111x A x
x ⎧⎫
+=<⎨⎬-⎩⎭
(){}
2220B x x m x m =+--<
(1)当时，求；
1m =A B ⋂(2)是的必要条件，求的取值范围．
x A ∈x B ∈m 【答案】(1)
1
12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭(2) 24m -≤≤
【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； 1m =A B A B ⋂（2）分析可知，对、的大小关系进行分类讨论，根据检验或得出关于实数的B A ⊆2
m
-
1B A ⊆m 不等式，综合可求得实数的取值范围. m 【详解】（1）解：由
可得
，解得，即， 2111
x x +<-212
1011x x x x ++-=<--2<<1x -{}21A x x =-<<当时，，此时，.
1m ={}
2
121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
（2）解：由题意可知，且，
B A ⊆()(){}
210B x x m x =+-<当时，即当时，，不满足，不符合题意；
12m
-
>2m <-12m B x x ⎧⎫=<<-⎨⎬⎩⎭B A ⊆当时，即时，，符合题意； 12
m
-
=2m =-B =∅当时，则，由，得，解得.
12m
-
<12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭
B A ⊆212m -≤-<24m -<≤综上，．
24m -≤≤18．的内角的对边分别为，已知． ABC A ,,A B C ,,a b c 2
sin()8sin
2
B A
C +=（1）求；
cos B （2）若，面积为2，求． 6a c +=ABC A b 【答案】（1）
；（2）2． 15
17
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简A C B π+=-，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知()sin A C +2
8sin 2
B
22sin cos 1B B +=cos B ，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 8
sin 17
B =
ac b 试题解析：（1），∴，∵， ()2
sin 8sin
2
B
A C +=()sin 41cos
B B =-22sin cos 1B B +=
∴，∴，∴； ()22161cos cos 1B B -+=()()17cos 15cos 10B B --=15cos 17
B =（2）由（1）可知， 8sin 17B =
∵，∴， 1sin 22ABC S ac B A =⋅=172
ac =∴， ()2222222217152cos 2152153617154217b a c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯
⨯=+-=+--=--=∴．
2b =19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，.经测024t <≤t ∈N 算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减1624t ≤≤016t <<少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
(16)t t -()f t (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
()f t (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个()3160320f t P t
-=
+时间需要提供的矿泉水瓶数最少?
【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人 ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪=∈⎨≤≤⎪⎩(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少
10t =
【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；
()6,396012t =（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.
【详解】（1）当时，设，，则，
016t <<()5160(16)f t kt t =--(6)3960f =20k =. ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪∴=∈⎨≤≤⎪⎩
，
(12)5160201244200f =-⨯⨯=故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2）， ()()10020,(016)2000320,1624t t t P t N t t
⎧⎛⎫+<< ⎪
⎪⎪⎝⎭=∈⎨⎪+≤≤⎪⎩①当时，，当且仅当时等号成立； 016t <<1002020400P t t ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝
⎭10t =②当时，； 1624t ≤≤200032040324
P ≥+≈
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
403400>10t =20．已知函数的部分图象如图所示． ()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭
(1)求，的值；
A ω(2)求函数在区间上的最大值和最小值． ()f x ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】(1)，
1A =2ω=(2)最大值1；最小值 12
-
【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出. A ω（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质
x 26x π+计算可得.
【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为， 1A =2236πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭则由得．
2π
πω=2ω=（2）解：由（1）知， ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，， 64x ππ-
≤≤Q 232x ππ∴-≤≤， 22663
x π
π
π∴-≤+≤． 1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝
⎭当，即时，取得最大值1；
262x π
π
+=6x π
=()f x 当，即时，取得最小值． ππ266
x +=-6x π=-()f x 12-。