上海上海中学东校选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>:相交于B 、D 两点，且
BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B C ．3 D ．
2
2．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且
(1)AF mFB m =>，25
||4
AB =
，则m =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆()2239x y -+=相交于A 、
B 两点，若2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．5
B ．2
C ．3
D ．4
4．过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，
过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒
B ．30
C ．45︒
D ．60︒
5．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）
A ．1
B C ．2
D ．4
6．设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，
FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
-,，则C 的离心率取值范围为（ ）
A ．4,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．(
1,
C ．5,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．
7．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两
点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ）
A B ．
2
C D
8．已知椭圆22
:11612
x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆
()2
2
:21T x y -+=上的动点，则
PF PQ
的最小值是（ ）
A ．
12
B ．27
C ．
23
D
9．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，
且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．5
(1,]3
C ．[2,)+∞
D ．4[,)3
+∞
10．已知椭圆22
21(02)4x y b b
+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若
OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为（ ）
A
．
7
B
．
7
C
．
7
D
．
7
11．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-
B ．2
C ．4
D ．8
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、
B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ）
A
．1B
C
．1D
二、填空题
13．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分
别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则
12
11
PF PF +的取值范围为___________. 14．已知点()1,2A 在抛物线()2
:20C y px p =>上，过点()2,2B -的直线交抛物线C 于
P ，Q 两点，若直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⨯等于___________. 15．已知椭圆2
2:12
x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于
A 、
B 两点，过P 作椭圆
C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则
t =____________．
16．若M ，P 是椭圆2
214
x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分
别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.
17．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，若双
曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线
C 的离心率为__________.
18．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心
率为_________.
19．已知椭圆2
212
x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是
______.
20．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.
三、解答题
21．已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，点(4,)A m 在抛物线C 上，且
OAF △的面积为
2
12
p （O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；
（2）直线l ：1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．
22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若
OAB l 的方程.
23．已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2
，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线
1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．
24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝
⎭，离心率为3
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值.
25．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12(1
,0),(1,0)F F -，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A
B 、两点，且2ABF 的周长为42 （1）求椭圆
C 的标准方程；
（2）在椭圆中有这样一个结论“已知000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ，过0P 作椭圆的两条
切线，切点分别为12,P P ，则直线12PP 的方程为00221x x y y
a b
+=”.现已知M 是圆
223x y +=上的任意点，,MA MB 分别与椭圆C 相切于,A B ，求OAB 面积的取值范围.
26．已知抛物线()2
:20E y px p =>的焦点F ，抛物线E 上一点()3,t 到焦点的距离为4.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）过点F 作直线l ，交抛物线E 于,A B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】
设()()1122,,B x y D x y 、,则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：2222
121222
0x x y y a b
---=， 整理得：()()
()()
2121221212y y y y b a x x x x +-=+-
BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：2
2611
262
b a =⨯=
即2221
2
c a a -=，解得6c
e
a . 故选：D 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
2．C
解析：C 【分析】
由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】
∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．
设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=． 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-． 由AF mFB =，得12y my =
-
．解得21y y =
=
-
21y y ==，121,x m x m ∴==
．12125
||2,44
AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】
方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.
3．C
解析：C 【分析】
设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中b
k a
=±
，利用勾股定理可求得k 的值，即可求得b a
，再由双曲线的离心率公式e =即可求得双曲线的离心率. 【详解】
设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中b
k a
=±
， 圆()2
2
39x y -+=的圆心为()3,0C ，半径为3r =，圆心C 到直线y kx =
的距离为
d =
，
2AB =，由勾股定理可得2
222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，即2
2
19+=，
解得k =±
b
a
∴
=
因此，该双曲线的离心率为3c e a ====. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率
e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
4．D
解析：D 【分析】
设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π
=-
，1122(,),(,)A x y B x y ，
代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN
的方程，由MN =
MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．
【详解】 由题意(
,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π
=-，1122(,),(,)A x y B x y ，
由22()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪
⎩得22222(2)04k p k x p k x -++
=， 2122
(2)p k x x k
++=，2
124p x x =， 221222
(2)2(1)
++=++=+=p k p k AB x x p p k k
， 2122(2)22N x x p k x k ++==，2
2
()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N k k ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭， 直线MN 的方程为1
()N N y y x x k
-=-
-，
MN =
=，
∵AB =，
∴222(1)p k k += 整理得23k =，∵0k >，
∴k =∴倾斜角为60︒． 故选：D ． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．
5．B
解析：B 【分析】
由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为
E ，利用抛物线的定义可得
1
sin PAE m
=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】
由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.
如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =， 故
1||||sin ||||
PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小， 而当P 变化时，02
PAE π
<∠≤
，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，
设直线:1AP y kx =-，由241
x y
y kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，
故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4
PAE π
∠=，
故
1m 2m 2 故选：B. 【点睛】
方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.
6．A
解析：A 【分析】
根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
-,列出关于e 的不等式，求解范围.
【详解】
取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则
22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以
222
22222
2
2
4(2)
444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 2
211
11⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e
，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，
即22
49902116160
e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得4
33≤≤e . 故选：A.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．
7． B
解析：B 【分析】
由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到2
2
2
00=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双
曲线方程联立，可得答案. 【详解】
由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，
()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨
-=-⎩
，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，
即222
00=+c x y ①，
点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()22
00224331---=c x y a b ③． ②-③整理得()()2
00022
2--=-c x x c y a b ，将222
00
=-y c x 代入，整理得
()2
2
220
2
23-=
c a x c
，
于是()22222200
2
33-=-=b a c y c x c ，最后将2
0x ，2
0y 代入双曲线方程，整理得
22410c a =，所以51022
e =
=
． 故选：B. 【点睛】
本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用
4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
8．B
解析：B 【分析】
作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ
的最小值.
【详解】 如下图所示：
在椭圆22
:11612
x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，
圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，
8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，
由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，
8992
111
1
1617
PF PF PT PQ
PT PT PT -≥
=
=
-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到
2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；
（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.
9．A
解析：A 【分析】
根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】
因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，
即42a c ≥，则2c
a
≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.
10．C
解析：C 【分析】
设1122(,),(,)P x y Q x y ，把直线1x y +=与椭圆2221(02)4x y
b b
+=<<，联立，根据
OP OQ ⊥计算出b ，直接求出离心率.
【详解】
设1122(,),(,)P x y Q x y ，由22
2141x y b x y ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩
得222(4)8440b x x b +-+-=，
所以122
2
1228=444·=4x x b b x x b ⎧
+⎪⎪+⎨-⎪⎪+⎩
∵OP OQ ⊥，∴12121212=2()10OP OQ x x y y x x x x +=-++=，解得2
47
b =
.
e ∴=
==故选：C 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
11．C
解析：C 【分析】
设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把
16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.
【详解】
设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 由题意得22x ty a
y px
=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=，
所以12122,2y y pt y y pa +==-，
()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，
因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2
222216t
pa at pt a pa -++-=-，
22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()2
2640p ∆=-=，
解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，
然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
12．A
解析：A 【分析】
先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦
点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案. 【详解】
将x c =代入22221x y a b
-=可得2b
y a =±，
所以以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=，圆心为(),0c ，
圆的方程为()4
2
2
2a
b x
c y -+=，左焦点为(),0c -，
因为双曲线的左焦点在圆上，
所以()2
24
0b c a
c +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，
解得23e =+
23e =-
所以1e =+ 故选：A . 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以
AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即
可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．
二、填空题
13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc 的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为
解析：25,58⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
先根据1F AB 的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，求得 1PF 的范围，再通分化简
12
11
PF PF +为关于1PF 的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围． 【详解】
由已知得28b =，故4b =，
∵
1F AB 的面积为4，∴
()1
42
a c
b -=，∴2a
c -=， 又()()2
2
2
16a c a c a c b -=-+==，故8a c +=， ∴5a =，3c =， ∴
121212
11
PF PF PF PF PF PF ++=()()()2211111112101010
21010525a PF a PF PF PF PF PF PF =
===---+--+，
又而1a c PF a c -≤≤+，即128PF ≤≤， ∴当15PF =时，()
2
15
25PF --+最大，为25；
当12=PF 或8时，()
2
1525PF --+最小，为16，即()2
11652525PF ≤--+≤，
∴
121011102516PF PF ≤+≤，即122115
58
PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：25,58⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c -≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.
14．【分析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值进而求出抛物线的方程设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积求出直线的斜率之积化简可得定值【详解】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得解得所 解析：4-
【分析】
由题意将()1,2A 的坐标代入抛物线的方程可得p 的值，进而求出抛物线的方程，设出直
线PQ 的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线AP ，AQ 的斜率之积，化简可得定值4-. 【详解】
由题意将()1,2A 的坐标代入抛物线的方程可得42p =，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =； 由题意可得直线PQ 的斜率不为0，
所以设直线PQ 的方程为：(2)2x m y =++，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
联立直线与抛物线的方程：2(2)2
4x m y y x =++⎧⎨=⎩
，
整理可得：24880y my m ---=，则124y y m +=，1288y y m =--， 由题意可得
1212122
2
12122222111144
y y y y k k y y x x ----=
⋅=⋅---- 121212161616
4(2)(2)2()488244
y y y y y y m m =
===-+++++--+⨯+，
所以124k k =-． 故答案为：4-. 【点睛】
方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
15．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解
解析：
2
【分析】 设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用
t 表示，
从而求得2
PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】
由题意(1,0)F -，直线AB 方程为0
0(1)
t y x t tx t -=
+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，
由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122
412t x x t +=-+，2122
22
12t x x t
-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--
222
1122122
2(1)(1)
(,)(,)(1)21
t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，
1t >，切点E 在x
轴上方，由y =
2x
y y '=
=-
，∴11
2PE x
k y =-，
切线方程为1
111
()2x y y x x y -=-
-，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t
=，由椭圆方程得2
12
22x t =-
， 2
222
11221()2()PE x y t t t t
=+-=-
+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，
∴22222
218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦
，化简得2
23t =，∵1t >，
∴2t =．
【点睛】 关键点点睛：
本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点
1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，
然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2
PE ，再结合已知条件求出结果．
16．4【分析】设出的坐标写出坐标满足的关系式根据题意写出直线的方程求出的横坐标计算得出的值【详解】解：设则则所以直线的方程为令可得同理有直线的方程为令可得则故答案为：【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方
解析：4 【分析】
设出,,M N P 的坐标，写出坐标满足的关系式.根据题意，写出直线PM ，PN 的方程，求
出,A B 的横坐标，计算得出mn 的值. 【详解】
解：
设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则22
14a b +=，2214
c d +=
所以PM d b
k c a
-=
- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bc
m d b
-=
- 同理有PM d b k c a
+=
- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=
--，令0y =可得ad bc
n d b
+=
+ 则2222
22
ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ()2222
4
14
a c a c -=
=-
故答案为：4 【点睛】
圆锥曲线中求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
17．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故
或2
) 【分析】
先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】
因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ==
=，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以22
22144c c a b
-=，所以2222224c b c a a b -=，
所以()()2
2
2222224c
c
a c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，
所以42640e e -+=，所以23e =
=
又因为1e >，所以e ===
）. 【点睛】
思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；
（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；
（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.
18．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故
【分析】
由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22
003()a a x x c c
+=-且
22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.
【详解】
令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且22
00221x y a b
-=①，
由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：2
0||()a PF e x c
=+，
2
0||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，
∴22003()a a x x c c +=-，解得2
02a x c
=
②， ∵||OP b =知：222
00x y b +=，
∴联立①，②得：42
222244(1)a a b b c c
+-=，整理得223a c =， ∴3e = 3【点睛】
关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比
为常数e ，可得点P 的横坐标为2
2a
c
；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次
方程求离心率即可.
19．【分析】设对称的两点为直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点利用判别式以及在直线上即可求解【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为根据对称性可知线段被直线直平分且的中点在直
解析：33⎛ ⎝⎭
【分析】
设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y x b =-+与2
212
x y +=联立
可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点()00,M x y ，利用判别式
0∆>以及()00,M x y 在直线y x t =+上即可求解.
【详解】
设椭圆2
212
x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，
根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分， 且AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =-， 故可设直线AB 的方程为y x b =-+， 联立方程22
22
y x b
x y =-+⎧⎨
+=⎩，整理可得2234220x bx b -+-=， ∴1243b x x +=
，()1212223
b y y b x x +=-+=，
由()
22
1612220b b ∆=-->，可得b <，
∴120223x x b x +=
=，1
2023
y y b
y +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线y x t =+上，
∴
233b b t =+，可得3b t =-，33
t -<<.
故答案为：⎛ ⎝⎭
. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为
1-，可设直线AB 的方程为y x b =-+，代入2
212
x y +=可得关于x 的一元二次方程，利
用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点()00,M x y 再代入
y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解.
20．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为
解析：1或1- 【分析】
根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：
2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到
直线斜率. 【详解】
因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点， 所以斜率不为0，
设直线AB 方程为1x my =+，
与抛物线方程联立得：2440y my --=， 由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-， 所以()2
1212424223x x m y y m +=++=+=⨯，
解得1m =±
所以直线的方程为1x y =±+， 所以1AB k =±. 故答案为：1或1-
三、解答题
21．（1）24y x =；（2）1
14
y x =-+． 【分析】
（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线C 的方程；
（2）用“设而不求法”联立方程组，把OM ON ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，得到直线方程 【详解】
解：（1）由题意可得228,11,22
2m p p m p ⎧=⎪
⎨⨯⋅=⎪
⎩
解得2p =．
故抛物线C 的方程为24y x =． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ． 联立2
1,
4,
y kx y x =+⎧⎨
=⎩整理得22(24)10k x k x +-+=． 由题意可知0k ≠，则12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =． 因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 则()()()
()2
1212121211110x x kx kx k x x k x x +++=++++=，
即(
)
2
22124110k k k k k -⎛⎫+⋅+⋅-+= ⎪⎝
⎭，整理得2140k k +=， 解得14
k =-
． 故直线l 的方程为1
14
y x =-+． 【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
22．（1）22132x y +=；（2
）2y x =+
或2y =+.
【分析】
（1
）由离心率公式、将点32⎛ ⎝⎭
代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；
（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公
式得出S ==，求出k 的值得出直线l 的方程.
【详解】
解：（1
）因为椭圆的离心率为3
，所以2
22213
b a =-=⎝⎭.①
又因为椭圆经过点3,
2
2⎛
⎝⎭，所以有22
91
142a b
+=.② 联立①②可得，2
3a =，2
2b =，所以椭圆C 的方程为22
132
x y +=.
（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.
由222,13
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .
因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()(
)()2
2
2
12242324320k k
k
∆=-+=->，即2320k ->，所以22
3
k >
. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，12
2
6
23x x k =+. 由题意得，OAB 的面积121
2
S OM x x =
⨯⨯-
12x x =-=
，
即S == 因为
OAB
=()2232k =+.
化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得2
34
k =或222k =，均满
足0∆
>，所以2
k =
±
或k = 所以直线
l 的方程为22
y x =±
+或2y =+. 【点睛】
关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.
23．（1）22
121
x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）.
【分析】
（1）根据离心率为
2
，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=,可用待定系数法求椭圆的标准方程;
（2）先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出
2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）.
【详解】
(1)设椭圆的标准方程为()22
221,,x y P x y a b +=
由题意可得22
22
2
21(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a
⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
即椭圆C 的标准方程：22
121
x y +=.
(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+ 则1111221122,1111
MF NF y kx m y kx m
k k x x x x ++=
===++++
有22
121x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=， 所以222122
2122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=--+>⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线， 所以111212011
MF NF kx m kx m
k k x x +++=
+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以222
2242()201212m mk
k m k m k k
--+++=++ 整理化简得：2m k =
即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）. 【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
24．（1）22
194
x y +=；（2
）最大值为
【分析】
（1
）将P ⎛ ⎝⎭
的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；
（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然
后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有1
2
OMN QMN OMQN S S S MN d =+=
⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率
不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】
（1）因为椭圆C
过点P ⎛ ⎝⎭
， 所以
22
132
19a b +=，
c a = 又2
2
2
a b c =+，所以得22
194
x y +=；
（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，
要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，
设O 到直线y kx m =+的距离记为d
，则d =
，
联立22,
1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222
9418940k x knx n +++-=，
设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()
212294
94
n x x k -=+，
所以122
94
MN x k =-=+， 因为y kx n =+与圆O
1=，
因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，
2112294OMN QMN
OMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△
=== 可得OMQN S 四边形随k
的增大而增大，即OMQN S <四边形
（ii ）当MN
斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭
，1,3N ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，此时()3,0Q ，
OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN
的面积的最大值为
【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从
而可得
2112294OMN QMN
OMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题
25．（1）2212x y +=；（2
）2[3.
【分析】
（1）由焦点三角形的周长得a 值，结合焦点坐标可求得b ，从而得椭圆方程； （2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得切线AB 方程，与椭圆方程联立消去
y 得x 的二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长AB ，再求得原
点到直线AB 的距离d ，，从而可得1
2
OAB S AB d =△
，用换元法（设t =得OAB S
的范围，再求出
00y =时三角形面积，从而可得结论．
【详解】
（1）由已知1c =
，4a =
，所以1a b =
=
所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=
（2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，2
2
003x y +=，由已知可得直线AB 方程为
0012
x x
y y += 当00y ≠时，将直线AB 方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理得
222000(3)4440y x x x y +--+=.
所以0122043x x x y +=+，2
122
0443
y x x y -=+ .
因此0||AB == 又原点O 到直线AB
的距离
d =
=
所以01
||2OAB
S AB d ∆=⋅=.
令(1,2]t =
，得到
2
1
222(,22
32OAB t
S t t t
∆=⋅
=⋅∈++
当00y =时，易得23
OAB S ∆=
. 综上：OAB
面积的取值范围为2[,32
. 【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，即直线与椭圆交点为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由此可计算弦长，然后求出原点到直线的距离后可计算三角形面积．这样可把面积用一个参数表示，求出取值范围． 26．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】
（1）抛物线的定义可得342p ⎛⎫
--
= ⎪⎝⎭
，即可求出p 得值，进而可得抛物线E 的方程； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则211
222
44y x y x ⎧=⎨=⎩，利用点差法可求直线l 的斜率，再求出
点()1,0F ，利用点斜式即可求出直线l 的方程. 【详解】
（1）由抛物线()2
:20E y px p =>可得准线方程为：2
p x =-
， 由抛物线的定义可得：342p ⎛⎫
--
= ⎪⎝⎭
，解得：2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =， （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，
则211222
44y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()2212124y y x x -=-， 所以()()()1212124y y y y x x -+=-，
因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以122y y +=-， 所以直线l 的斜率12121244
22
y y k x x y y -====--+-， 因为()1,0F ，
所以直线l 的方程为：()21y x =--， 即220x y +-=. 【点睛】
思路点睛：对于中点弦问题，多采用设而不求的方法，利用整体代入的思想求出直线的斜率，再结合直线所过的点即可得直线的方程.。