3章-随机数与随机变量PPT

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第三章 随机数与随机变量
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①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则 的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称 的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
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例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求 批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
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3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系 统或过程本身包含固有的随机组成成分，就 需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。 例如，排队系统中的时间间隔，服务时间， 库存系统中的需求量等。在计算机仿真中， 能否产生具有一定性能要求的随机数是决定 仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
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❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
3.2 常用分布
❖ 2.均匀分布：X~U（a，b）
含义
❖随机变量X在区间[min,max]的取值机会相等 ❖如果区间[min,max]为一整数区间，那么X服从整数
均匀分布 ❖对某一变量的数据了解甚少，并且希望获得特定范
围内的实数值时，采用该函数
函数
❖Uniform(min,max,stream,substream)
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
Ui
Zi m
Ui [0,1]
*例：令Z0 =27， a=17，c=43，m=100，确定i=1,2,3 的随机数。
解：产生的整数值将总是在0-99之间， Z0 =27 Z1 = (17×27+43) mod 100=2， U1 =2/100=0.02
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例题
双指数分布的概率密度函数为 f (x) 0.5e- x
密度分布如图所示。试生成服从该分布的随机变量。
图 双指数分布的密度函数曲线
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例题
解：该分布的概率密度函数，可以由以下两个函数 组合起来表示
f (x) 0.5ex I(,0) (x) 0.5e-x I(0,) (x)
式中
1 x A I A (x) 0 x A
f
(x)
1, x 0,1 0, x 0,1
,
则X为[0,1]上的均匀分布函数。在计算机上
可产生X的抽样序列{ xn }，通常称 xn 为[0,1]
上均匀分布随机变量X的随机数。
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3.2 常用分布
❖ 分布函数：F(x)=P(X≤x)，概率累积函数/累积分布函数
❖ 1.泊松分布：P(λ), λ是X的数学期望。
❖m和c互为质数，即唯一的公约数是1； ❖如果q是一个能整除m的质数,则q能整除a-1； ❖如果m能被4整除，则a-1也能被4整除。
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❖ 二.中值平分法 首先给出一个初值种子X0，对该数的平 方取中间值的位数，将小数点放在数的最 前方就得到一个随机数。 中间位数X1平方，按照同样方法产生第 二个随机数。 缺点：重复、退化
补充：第二章作业
1.以单队列单服务台的排队系统为例，简述事件、活 动和进程3个基本要素之间的关系。 2.与固定步长推进法相比，在仿真过程中推进仿真时 间的变步长推进法有什么优点？ 3.简述排队系统和库存系统的主要特征，并说说他们 的区别？ 4.假设有一家超级市场请你去为他们建立商场的仿真 模型，用来分析超级市场的运行现状并提出建议。简 述你的工作计划。
2合发生器
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3.4 随机变量的产生方法
❖ 随机系统中的不确定性事件的相关变量，如 到达间隔时间、服务时间等，是用具有某种 统计分布的随机变量来进行建模的。
❖ 计算机仿真模型产生随机变量的方法一般是 首先通过某种算法产生一个[0,1]区间均匀分布 的随机数，然后采用逆变法或其他方法产生 服从某分布的随机变量。
F(x) f(t)dt
x 0
0
,x0
x 1 ln(1 u)
xi
1
ln ui
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❖ 逆变换法生成均匀分布的随机变量
概率密度函数
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0 , 其他
累积分布函数
0 , x a
F
(x)
x b
a a
,
a
x
b
1 , x b
均匀分布随机变量生成器
x a (b a)u
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❖ 物流系统中的随机事件举例
客户的需求 物流设备作业时间 设备故障、调整 交通阻塞 交货期 ……
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3.1 随机变量与随机数
❖ 随机变量：X
❖ 离散型随机变量：若随机变量只能在有限或 可列无穷多个(实数)点上取值，则称该随机 变量为离散型随机变量。概率分布三种表示
方式：
公式法：如泊松分布 P(x k) k e k!
算法步骤：
❖设随机变量x的分布函数为F(x) ；
❖在区间[0,1]上取均匀分布的独立随机变量u= F(x) ；
❖由分布函数的反函数F-1(u) 得到的值即为所需要的随 机变量x ；
❖x= F-1(u) 即为所需要的随机变量。
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❖
ex , x 0
f (x) 0 , x < 0
x
1 ex , x 0
P
列表法： x
0
1
2
0.5
P
0.2
0.3
0.5
0.3
图示法：
0.2 8
-1 0 1 2 x
3.1 随机变量与随机数
❖ 连续型随机变量：随机变量X在一个或多个
非退化的实数区间连续取值，且存在非负实
函数f(x)，使得对任意x有P(x
(a, b))
b
a
f
(x)dx。
❖ 概率密度函数： f(x)
❖
随机数：设X的概率密度函数为
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❖
F(x)
1
F(x3)
F(x2) F(x1)
x1 x2 x3
x4 x5
xn-1 xn
x
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例2.设离散随机变量x的质量函数及累积分布函 数如表所示：
❖ 表 x的质量函数及累积分布函数
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2.卷积法
由两个或更多个独立随机变量的和形成的概率分布称为原 始变量的卷积分布。卷积法就是通过两个或多个随机变量 的相加来得到新的具有某种所希望的分布的随机变量。假
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3.合成法
若x的密度函数可写成
f (x) p j f j (x) j 1
且 合成法步骤如下：
p j 0 , p j 1 。 j 1
(1) 产生一个正随机变量 J ，满足
PJ j p j
j =0,1,2,…
(2) 根据 J 取不同的 j 值，产生服从分布函
数 Fj (x) (与 f j (x)相对应)的 X ，然后返回。
分布定义
❖常用于描述单位时间、单位面积或单位空间中罕见 “质点”总数的随机分布规律。罕见事件的发生数 为X，则X服从泊松分布。
如单位时间内放射型物质放射出α粒子的数目；
单位长度的布匹上的疵点数
路口通过的车辆数
服务台到达的顾客数…
函数
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❖Poisson(mean,stream,substream)
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❖ 线性同余发生器的缺点
2.所得到的Ui序列只能取有理数值 0,1/m,2/m，…，m-1/m，或其中的一部分， 这取决于a，c，m，Z0。只有当m足够大 时，在[0,1]区间内的取点才足够密集。这 可以保证在大多数情况下，获得与真实的 在[0,1]区间上的均匀分布足够接近的随机 数。
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3.循环，即产生的随机数具有周期性。当 Zi所取的值与以前的某次取值相同时，就 会产生相同的序列取值，并无穷重复下去。 这个周期的长短称为发生器的周期。显然 周期最大=m，称为全周期。LCG具有全周 期的充要条件为：
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3.2 常用分布
❖ 3.正态分布：X~N（μ，σ2 ）
某地区男(女)性成人的身高
测量一个零件长度的误差
函数
❖Normal(mean,sd,stream,substream)
例 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容 器内，调节器设定在90摄氏度，液体的温度X 是一个随机变量，且X~N(90,0.52)，则在任意 时刻测得的液体温度为
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3.4 随机变量的产生方法
❖ 本节假定一个已经完全确定的分布，来寻 找方法生成这个分布的随机数样本，以输 入仿真模型使用。
❖ 本节所有方法均假设随机数u1，u2，…为均 匀分布U(0,1)。
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❖ 1.逆变换法(反函数法)*
逆变换法也称反函数法，若U~U(0,1)，而F-1(U) 是分布函数F(x)的反函数，则X= F-1(U) ~ F(x)。 由随机数U(0,1)可直接生成规定分布F(x)的随机 变量{ xi }。
Z2 = (17×2+43) mod 100=77， U2 =77/100=0.77
Z3 = (17×77+43) mod 100=52， U3 =52/100=0.52 19
❖ 线性同余发生器的缺点
1.由公式计算得到的随机数序列并不是真 正意义上的随机数，其取决于参数a，c， m，Z0。为使利用LCG产生的随机数在 [0,1]区间上表现出均匀分布的特性，必须 适当选择参数。所以产生的随机数是否满 足需求，要对随机数发生器的均匀性、独 立性和相关性进行检验和评价。
Ui
Zi m
Ui [0,1]
Ui为第i个随机数，Z0称为随机数源或种子值；
a为乘子；c为增量；m为模数；
参数均为非负整数，应满足a＜m,c＜m,Z0＜m。
❖ 将种子值Z0代入，得到一个Z0，Z1，…，Zi，…，
Zn序列值。
❖ 再令
Ui
Zi m
Ui [0,1] ，则可得到均匀分布随机
数U(0,1)。
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生成随机变量
N 仿真结束？
报告生成器
Y
(1)计算有关评价指标 (2)写仿真报告
终止
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图 离散事件系统仿真变步长时间推进法的控制流
学习内容
❖ 3.1随机变量与随机数 ❖ 3.2 常用分布 ❖ 3.3 随机数发生器 ❖ 3.4 随机变量的产生方法
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学习要求
掌握：
线性同余发生器、中值法、加同余法生成伪随 机数；
xuab含义随机变量x在区间minmax的取值机会相等如果区间minmax为一整数区间那么x服从整数均匀分布对某一变量的数据了解甚少并且希望获得特定范围内的实数值时采用该函数函数uniformminmaxstreamsubstream1132某地区男女性成人的身高测量一个零件长度的误差函数normalmeansdstreamsubstream例将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内调节器设定在90摄氏度液体的温度x是一个随机变量且xn9005则在任意时刻测得的液体温度为normal90051232含义表示独立随机事件发生的时间间隔函数negexpmeanstreamsubsteam旅客到达机场的时间间隔
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❖ 二.中值平分法 X0=6541，U0=0.6541
X02=42784681，中间位数X1=7846，
U2=0.7846 …… 若出现奇位数 则在平方数前补齐零
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❖ 三.加同余法
只需要n个随机数的序列x1，…，xn，然后 随机发生器把序列扩充为xn+1，xn+2,…即可
公式
xi (xi1 xin ) mod m
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3.3 随机数发生器
❖ 按照某种概率分布要求产生一系列的随机数。 ❖ 伪随机数：按照一定的计算方法产生的一列
数，使它们具有类似于均匀随机变量的性质， 称这样产生的一系列数值为伪随机数。
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❖ 一.线性同余法(线性同余发生器LCG)：*
Zi (aZi1 c) mod m i 1, 2,...
❖Normal(90,0.5)
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3.2 常用分布
❖ 4.指数分布：X~EXPO（ λ ）
含义
❖表示独立随机事件发生的时间间隔
函数 Negexp(mean,stream,substeam) 例
❖旅客到达机场的时间间隔；客户订单到达的时间间 隔；电子元器件寿命分布
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3.2 常用分布
❖ 5.二项分布： XB(trial,prob)
分布定义
❖任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结 果，发生的概率分别是：p和1-p；
❖若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用X表 示这n次试验中事件A发生的次数，那么X服从二项 分布，记做 XB(trial,prob)；
函数
❖binomial(prob,trials,stream,substream)
Ui xi/m
其中m为模。
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❖ 目前，随机数的产生大多都是以黑匣子的形 式集成在计算机软件或仿真软件里，如果需 要，只需调用即可。
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❖ 四.组合发生器 为了产生具有更长周期和更好统计性能 的随机数，人们研究了采用两个或者更多 个独立的随机数发生器，将它们组合到一 起，来生成最后的随机数，而使最后的随 机数的周期长度和性能比其中某个单独的 随机数发生器产生的随机数都更好。