1.3.2 球的体积和表面积 公开课一等奖课件

，设球的半径为R，
1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和 一个倒立的圆锥组成的组合体.
1 1 4 V= π × 32× 4+ × π × 33 = 30π. 3 2 3
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
4 3 π (3R) 2 S V 3 4π(3R) 表 = = 27. = = 9， 所以 4 3 V S表 4πR2 πR 3
答案：9
27
4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 半径的一半，且 AB = BC = CA = 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
所以, S球 = S 圆柱侧.
4p R 2 ，
【变式练习】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) A.π C. a2
11 π a2 3
7 B. π a2 3
D.5π a2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 V = R 3 S = 4R 2
不能忍受批评，就无法尝试新事物。
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 . 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
因为 V球 =
4 3 p R ,V 圆柱 = p R2 ?2R 3 2 所以， V球 = V 圆柱 3
2p R3 ,
（2）因
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 （ B ） A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
3.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大
9 倍，体积扩大到原来的___ 27 倍. 到原来的___
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V， 则扩大后的半径为3R，表面积为 S 表 ，体积为V′,
积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样
重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，
则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”
思想.
A
球体的分割
O
球体由N个这样形状的几何体 组成
这样可以求出球体的体积为
4 3 V = R 3
球的表面积
球面被分割成n个网格，表面积分别为
S 1， S 2， S 3 , , S n
即可.
【解析】选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱， 且侧棱与底面边长相等，均为a. 如图，设O,O1分别为下、上底面中心，且球心 O2为O1O的中点，
3 3 又AD= a，AO= a， 3 2 a
OO2=
2 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R = AO2 = a + a = a . 3 4 12 7 2 7 2 所以S球= 4πR2 = 4π × a = πa . 12 3
设球半径为 R ， 则
2 3 2 3 O A = × ×2 = . 3 2 3
C A
O O'
B
在RtΔOOA 中， OA2 = OA2 + OO2，
4 2 3 2 1 2 2 所以R = ， 所以R =( ) + R， 3 3 4 64 2 所以S = 4πR = π. 9
关键要求出半径.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
则球的表面积为 O
S = S1 S 2 S 3 S n
Si
O
Vi
半径是 R 的球的表面积： S 球的表面积是大圆 面积的4倍
= 4 R
2
球的体积与表面积
4 3 1.球的体积公式： V = R . 3 2.球的表面积公式： S = 4 R 2 .
知识应用 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：
怎样求球的体积?
怎样求球的体积?
m m = rV V = r
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
小球的体积
H
等于它排开
h
液体的体积
割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面
1.3.2 球的体积和表面积
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
把氢气球充满，需要多少氢气呢？
1.了解球的体积、表面积的推导过程.（难点） 2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题. （重点） 3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接” 与“外切”的几何体问题．（难点）
知识探究