2016高考数学(文)大一轮复习配套课件：高考大题冲关系列3

第五章 高考大题冲关系列(三) 第15页 第十五页，编辑于星期六：点 四十三分。
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数列的通项公式是高考热点问题，近年来考查难度有所降 低，但是由 an 与 Sn 的关系求通项却经常出现在解答题中，在求 解时一定要记住：
(1)当 n＝1 时，a1＝S1； (2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1. 将 n＝1 时与 n≥2 时的表达式综合在一起，若 n＝1 时的 a1 适合 n≥2 时的 an，则可以合并在一起，否则写成分段形式． 注意：需要注意公式 an＝Sn－Sn－1 成立的条件，所以由 an＝ Sn－Sn－1 求出 an 后，一定不要忘记验证 n＝1 是否适合 an.
第五章 高考大题冲关系列(
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故 an＋2－an＝4，由此可得 {a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
由题意知，a2－ln12＝2－ln12，解得 a2＝2.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第22页 第二十二页，编辑于星期六：点 四十三分。
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所以 d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb2n＝n·4n. 于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n， 4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1， 因此 Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝4n＋31－4－n×4n＋1＝ 1－3n34n＋1－4.所以 Sn＝3n－194n＋1＋4.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第16页 第十六页，编辑于星期六：点 四十三分。
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变式训练 2 [2015·厦门调研]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，
Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出 an 和 Sn 关于 n
命题动向 数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比数列这两个特 殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、 求和公式等，常以等差、等比数列综合命题，或与方程、函数与 导数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通项、 求和等问题.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第3页 第三页，编辑于星期六：点 四十三分。
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题型 3
数列与函数的交汇问题
例 3 [2014·四川高考]设等差数列{an}的公差为 d，点(an， bn)在函数 f(x)＝2x 的图象上(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列； (2)若 a1＝1，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上 的截距为 2－ln12，求数列{anb2n}的前 n 项和 Sn.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第4页 第四页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解题视点] (1)由条件列出基本量的关系求解，即(2＋d)2＝ 2(2＋4d)⇒d＝0 或 d＝4，从而求出{an}的通项公式；(2)由(1)进 行分类，分别求出 Sn，然后解不等式 Sn>60n＋800，看是否有符 合条件的 n，从而确定 n 的最小值．
∴an－an－1＝4， ∴数列{an}是以 1 为首项，4 为公差的等差数列． ∴an＝4n－3， Sn＝12n(a1＋an)＝2n2－n.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第18页 第十八页，编辑于星期六：点 四十三分。
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(2)Tn＝a11a2＋
1 a2a3
＋…＋
ana1n＋1＝1×1 5
＋
5×1 9＋9×113
＋…＋
4n－314n＋1＝
141－15＋15－19＋19－113＋…＋4n1－3－4n1＋1 ＝141－4n1＋1<14. 又 Tn 为单调递增的，故 Tn≥T1＝15，
∴15≤Tn<14.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第19页 第十九页，编辑于星期六：点 四十三分。
第五章 高考大题冲关系列(三) 第13页 第十三页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解] (1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－ 1.
两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第5页 第五页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解] (1)设数列{an}的公差为 d，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等 比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得 d2－4d＝0，解得 d＝0 或 d＝4. 当 d＝0 时，an＝2； 当 d＝4 时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2， 从而得数列{an}的通项公式为 an＝2 或 an＝4n－2.
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题型 1
等差、等比数列的综合运算
例 1 [2014·湖北高考]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1， a2，a5 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn>60n＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第7页 第七页，编辑于星期六：点 四十三分。
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解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列 的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列 通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄 清两个数列各自的特征，再进行求解．
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第五章 数列
第五章 高考大题冲关系列(三) 第1页 第一页，编辑于星期六：点 四十三分。
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高考大题冲关系列(三) 数列的综合问题
第五章 高考大题冲关系列(三) 第2页 第二页，编辑于星期六：点 四十三分。
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的表达式； (2)设数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn.求证：15≤Tn＜14.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第17页 第十七页，编辑于星期六：点 四十三分。
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证明：(1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－ 1)，
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第12页 第十二页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解题视点] (1)利用 Sn＋1－Sn＝an＋1 消去 Sn＋1 和 Sn 即可得 证．(2)根据等差数列的定义：从第二项起，每一项与前一项的差 为同一常数，则该数列为等差数列．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第23页 第二十三页，编辑于星期六：点 四十三分。
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(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列 所满足的条件．解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进 行准确转化．
(2)此类问题多考查函数的思想及性质(多为单调性)，注意题 中的限制条件，如定义域．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2(an＋21an)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第25页 第二十五页，编辑于星期六：点 四十三分。
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件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第9页 第九页，编辑于星期六：点 四十三分。
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解：(1)设数列{an}的公比为 q，则 a1≠0，q≠0.由题意得 S2－S4＝S3－S2， a2＋a3＋a4＝－18， 即－ a1qa11q＋2－qa＋1qq32＝＝a1－q21，8， 解得aq1＝＝－3，2， 故数列{an}的通项公式为 an＝3(－2)n－1.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第6页 第六页，编辑于星期六：点 四十三分。
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(2)当 an＝2 时，Sn＝2n.显然 2n<60n＋800， 此时不存在正整数 n，使得 Sn>60n＋800 成立． 当 an＝4n－2 时，Sn＝n[2＋42n－2]＝2n2. 令 2n2>60n＋800，即 n2－30n－400>0， 解得 n>40 或 n<－10(舍去)， 此时存在正整数 n，使得 Sn>60n＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 an＝2 时，不存在满足题意的 n； 当 an＝4n－2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第11页 第十一页，编辑于星期六：点 四十三分。
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题型 2
由 an 与 Sn 的关系求通项
例 2 [2014·课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ 为常数．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第20页 第二十页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解题视点] (1)利用等比数列的定义证明；(2)利用导数的几 何意义求切线方程，进而得到直线在 x 轴上的截距，求出数列 {an}、{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第21页 第二十一页，编辑于星期六：点 四十三分。
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[解]
(1)证明：由已知可知，bn＝2an>0，当
n≥1
时，bn＋1＝ bn
2an＋1－an＝2d，
所以数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列．
(2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln2)(x
－a2)，它在 x 轴上的截距为 a2－ln12.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第24页 第二十四页，编辑于星期六：点 四十三分。
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变式训练 3 [2013·安徽高考]设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任
意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1·cosx－an＋2·sinx 满足 f′(π2)＝0.
第五章 高考大题冲关系列(三) 第10页 第十页，编辑于星期六：点 四十三分。
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(2)由(1)得 Sn＝3·[11－－－－22n]＝1－(－2)n. 若存在 n，使得 Sn≥2013，则 1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－ 2012. 当 n 为偶数时，(－2)n>0，上式不成立； 当 n 为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即 2n≥2012，则 n≥11. 综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为 {n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
第五章 高考大题冲关系列(三) 第8页 第八页，编辑于星期六：点 四十三分。
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变式训练 1 [2015·杭州模拟]已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S4，
S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2013？若存在，求出符合条