2019年绍兴市中考数学试题、答案(解析版)

2019年绍兴市中考数学试题、答案（解析版）
（本试卷满分150分,考试时间120分钟）
参考公式：
抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24,24b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭.
卷Ⅰ(选择题)
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，多选、错选，均不给分） 1.5-的绝对值是
（ ）
A .5
B .5-
C .
15
D .15
-
2.某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000用科学记数法可表示为
（ ） A .712.610⨯ B .81.2610⨯ C .91.2610⨯
D .100.12610⨯
3.如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是
（ ）
第3题图
A
B
C
D
4x （cm ）统计如下：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是
（ ） A .0.85 B .0.57
C .0.42
D .0.15
5.如图，墙上钉着三根木条a ，b ，C ，量得170∠︒＝，2100∠︒＝，那么木条a ，b 所在直线所夹的锐角是
（ ）
第5题图
A .5︒
B .10︒
C .30︒
D .70︒
6.若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于
（ ）
A .1-
B .0
C .3
D .4
7.在平面直角坐标系中，抛物线()()53y x x +-＝经变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是
（ ）
A .向左平移2个单位
B .向右平移2个单位
C .向左平移8个单位
D .向右平移8个单位
8.如图，ABC △内接于⊙O ，65B ∠︒＝，70C ∠︒＝.若BC ＝»BC
的长为（ ）
第8题图
A .π
B
C .2π
D .
数学试卷 第3页（共30页）
9.正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积
（ ）
第9题图
A .先变大后变小
B .先变小后变大
C .一直变大
D .保持不变
10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为
（ ）
图1
图2
第10题图
A .
245
B .
32
5
C
D
卷Ⅱ(非选择题)
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11.因式分解：21
x -＝ . 12.不等式324x -≥的解为 .
13.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .
第13题图
14.如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，30PAD ∠︒＝，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则ADE ∠的度数为 .
题14题图
15.如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线k
y x
=（常数0k ＞，0x ＞）上，若顶点D 的坐标为(5,3)，则直线BD 的函数表达式是 .
第15题图
16.把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 .
第16题图
三、解答题（本大题共8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，
共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17.（1）计算：2
14sin 60(2)2π-︒
⎛⎫+--- ⎪
⎝⎭
（2）x 为何值时，两个代数式21x +，41x +的值相等？
18.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0150x ≤≤时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;
（2）当150200x ≤≤时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.
第18题图
19.小明、小聪参加了100 m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图.
数学试卷 第7页（共30页）
第19题图
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？
（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.
20.如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上. （1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠︒＝，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .
（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠︒＝，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm
1.41
1.73）
图1
图2 图3
第20题图
21.在屏幕上有如下内容：
如图，ABC △内接于⊙O ，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D .张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答.
（1）在屏幕内容中添加条件30D ∠︒＝，求AD 的长.请你解答. （2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是1BD ＝，就可以求出AD 的长
小聪：你这样太简单了，我加的是30A ∠︒＝，连结OC ，就可以证明ACB V 与DCO V 全等. 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答.
第21题图
22.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ＝＝，5BC ＝，90A B ︒∠＝∠＝，135C ∠︒＝，90E ∠︒＞，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积.
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
第22题图
23.（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ＝，10DM ＝. （1）在旋转过程中，
①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长.
②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.
（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由ABC △外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时
2135AD C ∠︒＝，260CD ＝，求2BD 的长.
图1
图2
第23题图
24.如图，矩形ABCD 中，AB a ＝，BC b ＝，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k MN EF ＝:.
（1）若:a b 的值为1，当MN EF ⊥时，求k 的值.
（2）若:a b 的值为1
2
，求k 的最大值和最小值.
（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，60MPE ∠︒＝，3MP EF PE ＝＝时，求:a b 的值.
第24题图
数学试卷 第11页（共30页）
2019年绍兴市中考数学答案解析
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题 1.【答案】A
【解析】根据绝对值的性质求解.
解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5-=. 故选：A. 【考点】绝对值 2.【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点
移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数. 解：数字126 000 000科学记数法可表示为81.2610⨯元. 故选：B.
【考点】科学计数法 3.【答案】A
【解析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.
解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A 符合题意， 故选：A. 【考点】三视图 4.【答案】D
【解析】先计算出样本中身高不低于180 cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解. 解：样本中身高不低于180 cm 的频率15
0.15100
=
=， 所以估计他的身高不低于180 cm 的概率是0.15. 故选：D.
【考点】统计，等可能事件的概率 5.【答案】B
【解析】根据对顶角相等求出3∠，根据三角形内角和定理计算，得到答案. 解：32100∠∠︒＝＝，
∴木条a ，b 所在直线所夹的锐角1801007010︒︒︒︒＝--＝， 故选：B.
【考点】对顶角相等，三角形内角和为180° 6.【答案】C
【解析】利用()1,4，()2,7两点求出所在的直线解析式，再将点(,10)a 代入解析式即可； 解：设经过()1,4，()2,7两点的直线解析式为y kx b +＝，
∴472k b k b =+⎧⎨=+⎩
∴31k b =⎧⎨=⎩
，
∴31y x +＝，
将点(,10)a 代入解析式，则3a ＝； 故选：C.
【考点】一次函数及其图象，待定系数法 7.【答案】B
【解析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律. 解：2(5)(3)(1)16y x x x =+-=+-，顶点坐标是(1,16)--.
2(3)(5)(1)16y x x x =+-=--，顶点坐标是(1,16)-.
所以将抛物线(5)(3)y x x =+-向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(5)y x x =+-， 故选：B.
【考点】二次函数及其图象，图形的平移 8.【答案】A
【解析】连接OB ，OC .首先证明OBC △是等腰直角三角形，求出OB 即可解决问题. 解：连接OB ，OC .
∵180180657045A ABC ACB ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒， ∴90BOC ︒∠=
∴BC =∴2OB OC ==
∴»BC
的长为2
902360
ππ⋅⋅=， 故选：A.
【考点】三角形内角和，圆周角，圆心角，弧长公式 9.【答案】D
【解析】由BCE FCD △∽△，根据相似三角形的对应边成比例，可得CF CE CD BC ⋅⋅＝，即可得矩形ECFG 与正方形ABCD
的面积相等.
解：∵正方形ABCD 和矩形ECFG 中，
90DCB FCE ︒∠＝∠＝，90F B ︒∠＝∠＝，
∴DCF ECB ∠＝∠， ∴BCE FCD △∽△， ∴
CF CD
CB CE
=
， ∴CF CE CB CD ⋅⋅＝，
∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等. 故选：D.
【考点】正方形，矩形，相似三角形 10.【答案】A
【解析】设DE x ＝，则8AD x -＝，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C
作CF BG ⊥于F ，由CDE BCF △∽△的比例线段求得结果即可. 解：过点C 作CF BG ⊥于F ，如图所示：
数学试卷 第15页（共30页）
设DE x ＝，则8AD x -＝，
根据题意得：1
(88)333362
x -+⨯⨯=⨯⨯，
解得：=4x ， ∴=4DE ， ∵90E ∠=︒，
由勾股定理得：5CD ==， ∵90BCE DCF ∠=∠=︒， ∴DCE BCF ∠=∠， ∵90DEC BFC ∠=∠=︒， ∴CDE BCF △∽△， ∴CE CD
CF CB
=
， 即
358
CF =， ∴245
CF =
. 故选：A.
【考点】E 角形面积，勾股定理，相似三角形
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题
11.【答案】(1)(1)x x +-
【解析】原式利用平方差公式分解即可. 解：原式(1)(1)x x =+-. 故答案为：(1)(1)x x +-. 【考点】因式分解，平方差公式 12.【答案】2x ≥
【解析】先移项，再合并同类项，把x 的系数化为1即可. 解：移项得，342x +≥， 合并同类项得，36x ≥， 把x 的系数化为1得，2x ≥. 故答案为：2x ≥. 【考点】一元一次不等式 13.【答案】4
【解析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可.
解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15258--=， ∴15834m =--=. 故答案为：4
【考点】一元一次方程
14.【答案】15°或45°
【解析】分点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧、点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧两种情况，根据正方形的性质、
等腰三角形的性质解答. 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AE =，90DAE ∠=︒，
∴180903060BAM ∠=︒-︒-︒=︒，AD AB =，
当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合， ∴45ADE ∠=︒，
当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E A E M '='， ∴AE M '△为等边三角形， ∴60E AM ∠'=︒，
∴36012090150DAE ∠'=︒-︒-︒=︒， ∵AD AE ='， ∴15ADE ∠'=︒， 故答案为：15°或45°.
【考点】正方形，等腰三角形，等边三角形，圆 15.【答案】3
5
y x =
【解析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,35k k B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，然后利用待定系数法
求直线BD 的解析式. 解：∵(5,3)D ，
∴,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴,35k k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
设直线BD 的解析式为y mx n =+，
把(5,3)D ，,35k k B ⎛⎫
⎪⎝⎭代入得5335n k k m n π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350
m n ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为35
y x =. 故答案为35
y x =
. 【考点】反比例函数及其图象，矩形，一次函数及其图象，待定系数法，整体思想 16.
【答案】6+或10
或8+【解析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解. 解：如图所示：
数学试卷 第19页（共30页）
图1
的周长为1236++++ 图2的周长为141410+++=； 图3
的周长为358++故四边形MNPQ
的周长是6+10
或8+
故答案为：6+10
或8+【考点】等腰直角三角形，平行四边形，矩形，图形的整合 三、解答题
17.【答案】解：（1
）原式4143=---. （2）2141x x +=+，
240x x -=，
(4)0x x -=， 10x =，24x =.
【解析】（1）根据实数运算法则解答；
（2）利用题意得到2141x x +=+，利用因式分解法解方程即可.
【考点】锐角三角函数，零指数幂，负整数指数幂，二次根式化简，解一元二次方程，因式分解 18.【答案】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米. 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：
150
66035
=-千米；
（2）设()0y kx b k =+≠，把点(150,35)，(200,10)代入，
得1503520010k b k b +=⎧⎨+=⎩，
∴k 0.5b 110=-⎧⎨=⎩
，
∴0.5110y x =-+，
当180x =时，0.518011020y =-⨯+=，
答：当150200x ≤≤时，函数表达式为0.5110y x =-+，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时. 【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行
驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把180x =代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量. 【考点】一次函数及其图象，待定系数法
19.【答案】（1）这5期的集训共有：5710142056++++=（天），
小聪5次测试的平均成绩是：(11.8811.7611.6111.5311.62)511.68++++÷=（秒）， 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；
（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4
期与前面两期相
比；
从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天.
【解析】（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；
（2）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可.
【考点】条形统计图，折线统计图，平均数，数据的分析
20.【答案】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .
图2
∵90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=︒，
∴四边形ABOE 是矩形，
∴90OBA =︒∠，
∴1509060DBO ∠=︒-︒=︒，
∴sin 60(cm)OD BD ︒=⋅=，
∴539.6(cm)DF OD OE OD AB =+=+=≈.
（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG 是矩形，
图3
∵60CBH ∠=︒，90CHB ∠=︒，
∴30BCH ∠=︒，
∵165BCD ∠=︒，45DCP ∠=︒ ，
∴sin 60CH BC ︒=⋅=，sin 45DP CD ︒=⋅=，
∴5)(cm)DF DP PG GF DP CH AB =++=++=，
∴下降高度：55 3.2(cm)DE DF ⋅=-=.
【解析】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .解直角三角形求出OD 即可解决问题.
（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF -DE
即可解决问题.
【考点】：锐角三角函数，解直角三角形，矩形
21.【答案】（1）连接OC ，如图，
∵CD 为切线，
∴OC CD ⊥，
∴90OCD ︒∠=
∵30D ︒∠=
数学试卷 第23页（共30页）
∴22OD OC ==
∴123AD AO OD =+=+=
（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长，
解：∵AB 为直径，
∴90ACB ∠=︒
∵90ACB OCB ∠+∠=︒，90OCB DCB ∠+∠=︒
∴ACO DCB ∠=∠
∵ACO A ∠=∠
∴30A DCB ∠=∠=︒
在Rt ACB △中，112
BC AB =
=，
∴AC ==
【解析】（1）连接OC ，如图，利用切线的性质得90OCD ∠=︒，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到2OD =，然
后计算OA OD +即可；
（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长，利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再证明30A DCB ∠=∠=︒，然后根据含30度的
直角三角形三边的关系求AC 的长.
【考点】直线与圆相切，解直角三角形，线段、角度的和差，相似三角形等
22.【答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：
过点C 作CF AE ⊥于F ，16530S AB BC =⋅=⨯=；
②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：
过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，
则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，
∵135C ∠=︒，
∴45FCH ∠=︒，
∴CHF △ 为等腰直角三角形，
∴6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，
∴651BG CH FH FG HG ===-=-=，
∴615AG AB BG =-=-=，
∴*26530S AE AG ==⨯=；
（2）能；理由如下：
在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，
则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，
∵135C ∠=︒，
∴45FCG ∠=︒，
∴CGF △为等腰直角三角形，
∴5MG BC ==，BM CG =，FG DG =，
设AM x =，则6BM x =-，
∴11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，
∴22(11)11( 5.5)30.25S AM FM x x x x x =⨯=-=-+=-+
∴当 5.5x =时，S 的最大值为30.25.
图1 图2 图3 【解析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF AE ⊥于F ，得出16530S AB BC =⋅=⨯=；
②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG
为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出CHF △为等腰三角形，得出6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，求出1BG CH FH FG HG ===-=，5AG AB BG =-=，得出26530S AE AG =⋅=⨯=；
（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四
边形BCGM 为矩形，证出CGF △为等腰三角形，得出5MG BC ==，BM CG =，FG DG =，设A M x =，
则6B M x =-，11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，得出21111S AM FM x x x x =⨯=-=-+（
），由二次函数的性质即可得出结果.
【考点】矩形，等腰直角三角形，二次函数最值问题，构造函数思想
23.【答案】解：（1）①40AM AD DM =+=，或20.AM AD DM =-=
②显然MAD ∠不能为直角.
当AMD ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=，
∴AM =或（-舍弃）.
当90ADM ∠=︒时，2222230101000AM AD DM =+=+=，
∴AM =-.
综上所述，满足条件的AM 的值为.
（2）如图2中，连接CD .
由题意：1290D AD ∠=︒，1230AD AD ==，
∴2145AD D ︒∠=，12D D =
∵2135AD C ︒∠=，
∴1290CD D ︒∠=，
∴1CD
∵2190BAC A AD ∠=∠=︒，
∴2212BAC CAD D AD CAD ∠-∠=∠-∠，
∴12BAD CAD ∠=∠，
∵AB AC =，21AD AD =，
∴21()BAD CAD SAS V V ≌，
数学试卷 第27页（共30页）
∴21BD CD ==【解析】（1）①分两种情形分别求解即可.
②显然MAD ∠不能为直角.当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据
222AM AD DM =+，计算即可.
（2）连接CD .首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可.
【考点】线段、角的和差，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角
24.【答案】（1）如图1中，
图1
作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O .
∵四边形ABCD 是正方形，
∴FH AB =，MQ BC =，
∵AB CB =，
∴EH MQ =，
∵EF MN ⊥，
∴90EON ∠=︒，
∵90ECN ∠=︒，
∴1+80MNQ CEO ∠∠=︒，1+80FEH CEO ∠∠=︒，
∴FEH MNQ ∠=∠，
∵90EHF MQN ∠=∠=︒
∴()FHE MQN ASA V V ≌
∴MN EF =
∴k MN =，1EF =.
（2）∵:1:2a b =，
∴2b a =，
由题意：2a MN 剟
，a EF 剟，
∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k
的值最大，最大值=，
当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k
. （3）连接FN ，ME .
∵3k =，3MP EF PE ==， ∴
3MN EF PM PE ==， ∴2PN PF PM PE
==， ∵FPN EPM ∠=∠，
∴PNF PME V V ∽，
∴2NF PN ME PM
==，//NF ME 设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，
①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.作FH BD ⊥于H .
图2
∵60MPE FPH ∠=∠=︒，
∴2PH m =，FH =，10PH m =，
∴a AB FH b AD HD ==
②如图3中，当点N 与C 重合，作EH MN ⊥于H .则PH m =，HE =，
图3
∴13HC PH PC m =+=，
∴tan 13MB HE HCE BC HC ∠=
--， ∵ME FC ∥，
∴MEB FCB CFD ∠=∠=∠，
∵B D ∠=∠，
∴MEB CFD V V ≌， ∴2CD FC MB ME
==，
∴213
a CD MB
b BD BC ---，
综上所述，:a b 【解析】（1）作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O .证明FHE MQN ASA △≌△（）
，即可解决问题.
（2）由题意：2a MN ≤，a EF ≤，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值，当MN 的
最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为
5. （3）连接FN ，ME .由3k =，3MP EF PE ==，推出=3MN EF PM PE -，推出2PN PF PM PE
==，由PNF PME △∽△ ，推出2NF PN ME PM
==，ME NF ∥，设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，接下来分两种情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可.
【考点】全等三角形，勾股定理，平行线之间距离，锐角三角函数，解直角三角形，相似三角形。