函数的表示法 课件

解:(1)(方法一)令x+1=t,
则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2
=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
= 1,
∴
= -1.
∴所求二次函数为 f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的 x 都有 f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将 x 替换为-x,得 f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去 f(-x),可得
2
f(x)=-3x- .
3
探究三函数的图象及应用
【例3】 作出下列函数的图象并求其值域:
应的值即可.
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,
∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,
∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,
∴f(x)=2.
又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.
∴x=1.
答案:1 1
函数图象过(0,1),(1,3),(2,5)点.
图象如图所示.
1
(2)当 x=2 时,y=1;当 x=4 时,y= ;
1
当 x=6 时,y= .图象如图所示.
3
2
因忽略变量的实际意义而致错
典例
如图,在矩形 ABCD 中,BA=3,CB=4,点 P 在 AD 上移动,CQ⊥
BP,Q 为垂足.设 BP=x,CQ=y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并画出函
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
分析:看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.
图①
图②
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 3 作出下列函数的图象:
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
2
(2)y= ,x∈[2,+∞).

解:(1)当 x=0 时,y=1;当 x=1 时,y=3;当 x=2 时,y=5.
列表法:表格如下.
支数(x)
钱数(y)
图象法:图象如图所示.
1
0.5
2
1
3
1.5
4
2
5
2.5
探究一列表法表示函数
【例 1】已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则 f(g(1))的值为
;当 g(f(x))=2 时,x=
.
分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对
得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此
还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出
f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将
f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可
探究二求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析
式;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可
数的图象.
错解:由题意,得△CQB∽△BAP,



4
所以 = ,即 = .

12

3

所以 y= .

12
故所求的函数表达式为 y= ,其图象如图所示.

错因分析:没有考虑 x 的实际意义,扩大了 x 的取值范围而导致
出错.
正解:由题意,得△CQB∽△BAP,



4
12
所以 = ,即 = .所以 y= .
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,
∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即 2ax+a+b=2x,
由恒等式的性质,得
2 = 2,
+ = 0,
函数的表示法
1.解析法
2.图象法
3.列表法
做一做 某同学计划买 x(x∈{1,2,3,4,5})支 2B 铅笔,每支铅笔
的价格为 0.5 元,共需 y 元,试求铅笔支数 x 与价格 y 之间的函数关系,
分别用解析法、列表法、图象法表示出来.
解:解析法:y=0.5x,x∈{1,2,3,4,5}.


3


连接 BD,因为 BA≤BP≤BD,而 BA=3,CB=AD=4,
所以 BD= 32 + 42 =5,所以 3≤x≤5.
12
故所求的函数表达式为 y= (3≤x≤5)象.