等比数列1

§3.3等比数列（一）
——等比数列的基本知识
一、复习:（1）等差数列的概念和通项公式
（2）等差数列的前n项和公式
导入：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?”
情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这
辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年
的价格依次为多少？
二、新授：
1、例子以下3个数列：
①1，2， 22，…，263
②1，1
2
，
1
4
，…，
1
2
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，…
③36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…
通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．
2、等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）
（1）形如a，a，a，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a=0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a≠0时，此数列为等比数列．
（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．
3等比数列的通项公式
方法1：∵21a a q =，
()23211a a q a q q a q ===，
()234311a a q a q q a q ===，
……
∴11n n a a q -=．
方法2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12
n n a q a --=，…， 32a q a =，21
a q a =． 将各式相乘便有11
n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，
说明上式当*n N ∈时都成立．
注：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，
再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．
（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．
例1 判断下列数列是否是等比数列? ①11111,,,,24816
--； ②1，2，4，8，16，20；
③1，1，1，1，1；
④－1，－2，－4，－8，－16；
⑤数列{}n a 的通项公式为.)3
1(21--=n n a 解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．
分析：对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?
你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗?
得到：当q >1， 1a >0或0<q <1， 1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时， {}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．
例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．
解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==1602051
21q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==2
51q a ．故11125--⨯==n n n q a a ． 反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．
例3 根据下面等比数列的条件，求相应的未知量：
（1）a 1=4，q=3，an=324求项数n
(2)q=2，a 5=48，求a 1和通项公式。

解略
例4 培育一种稻谷新品种，第一代得种子100粒，如果以后每粒新种又得100粒，到第五代可以得到新品种种子多少粒？
分析：很显然，这是一个等比数列，第一项为100，公比为100，
则由等比数列的通项公式可以求得第五项的值。

解略
三、练习：
1、在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54
，则a 4＝______，S 5＝______． 2、等比数列⋅⋅⋅--,1,1,1,1,1，的前n 项和为 （ ）
A 、1
B 、0
C 、1-
D 、0或1
3、等比数列{}n a 的公比为q （1≠q ），则数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,3963n a a a a 的前n 项和为（ ）
A 、()q q a n --1121
B 、()33111q q a n
-- C 、()3
3311q q a n -- D 、()
q
q a n
--1122 4、已知{}n a 为等比数列，4,1,2)1(21121==++⋅⋅⋅+-+=-T T a a a n na T n n n ，则数列
{}n a 的首项和公比分别为：
（ ） A 、2 ；2 B 、1；2 C 、1；1 D 、2；1
5、若数列{}n a 是等比数列，,60,48147==S S 则21S 的值为（ ）
A 、180
B 、108
C 、75
D 、63
四、小结
1、本节课研究了等比数列的概念，得到了其通项公式；
2、在研究内容与方法上要与等差数列相类比，把握它们的区别和联系；
3、用函数与方程的思想认识通项公式，并加以应用；
4、在发现等比数列的定义及其通项公式过程中用了观察，归纳，猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想；在判断数列是否是等比数列及将等比数列与函数图象联系时体现了数学中的分类讨论思想．
五、作业布置：教材59页1、2题。