北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的应用》教学PPT课件(2篇)

课堂练习
解：（2）由题意得：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，
水位上升的高度为：0.25×7=1.75米.
∵1.75＜3
∴船的速度不变，它能安全通过此桥.
课堂小结
转化
实 际 问 题
回归
（实物中的抛物线形问题）
一个关键
几何面积
最值问题
一个注意
数学模型
（二次函数的图象和性质）
依 据
常见几何图形的面
行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，
242
则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________
m2．
课堂练习
5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角
线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)


1
y x2
2
因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2.
练一练
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩
形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

(2)y=xb=x −






D
P
+
+ = −

或用公式：当x=−

30 cm
(2)设矩形的面积为y
m2,当x取何值时,y的最大值是多少?
M
+ =−
= 时，最大值 =


−

−
=

┐
+
C
H
B
G
A
40 cm
N
归纳总结
（3）当y=2200时，
-10x2+110x+2100=2200
解得 ：x1=1, x2=10
当x=1时 ,50+1=51(元）,
当x=10时, 50+10=60（元）
当每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰好为2200
元
∴当 51≤x≤60 ,每个月的利润不低于2200元，即y≥2200
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．

时，二

新知讲解
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD、其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB= x m，那么AD边的长度如何表示?
（2）设矩形的面积为ym²、当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
积公式
建立函数
关系式
最值有时不在顶点处，则要利用函
数的增减性来确定
二次函数的应用
二次函数的定义及图象和性质
二次函数的一般表达式：_____________ (a,b,c是常数,a≠ 0).
二次函数的顶点坐标公式： ______________
顶点坐标: (-b/2a,4ac-b2/4a)
二次函数抛物线__________________________的图象特点
最大利润问题
【解答】
(1)设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y
元。
上涨后每件利润为(50+x-40)=(x+10)元，
销售量为x)件商品，
故每月销售利润y= (50+xx)
y=-10x2+110x+2100 (0<x≤15且x为整数)
问题分析
(2)由题意得：
y= (50+xx)=-10x2+110x+2100
最大利润问题
作业练习
某商场销·售山花纯牛奶,已知进价为每箱40元, 要求每箱售价在40元～70元之间.市
场调查发现:若每箱按50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销
售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
例2：（2017年考试说明）某商品的进价为每件40
元,售价为每件50元,每个月可售出210件,如果每件
商品的售价每上涨1元,则每个月少销售10件（每件
售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨X元
（X为正整数），每个月的销售利润为Y元。
探究活动
问题思考及解决
(1）求Y与x的函数关系式并直接写出自变量X的取
值范围：
(2) 每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大
利润?最大利润是多少?
(3) 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润
恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价
在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
最大利润问题
总利润=每件商品利润×销售数量
每件商品利润=售价-进价
问题分析
【解析】
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
课堂练习
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面
积是(
D
A．32 m2
)
B．36 m2
C．48 m2
D．64 m2
2.用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光
的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；
(2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？

2
解：(1)根据题意，得S＝ x(60－x)＝－ x ＋30x






(2)∵S＝－ x2＋30x＝－ (x－30)2＋450，0 cm＜x＜60 cm，
∴当x＝30 cm时，菱形风筝的面积S最大，最大值是450 cm2
(1) 设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。
上涨后每件利润：(50+x-40)=(x+10)元，销售量为x)件商品
（2) 根据题意可知y=(50+xx)=(10+xx)
=-10(x-5.5)2+2402.5,
当x=5.5时，y有最大值, ymax = 2402.5
（3) 设y=2200,解得x的值。然后分情况讨论解决
一、利用二次函数的方法解决面积（或其他）最大值问题的步骤：
1、结合题目所给条件，借助三角形相似的方式，构建二次函数的计算模型；
2、最大值计算模式：(1)∵a=┅<0

(2)当x=
= ⋯时，S(或y)有最大值
(3)S(或y)最大值为⋯
二、通过对比两个问题的结论，我们可以发现一个猜想：
直角三角形内接矩形（各顶点均在三角形边上）面积最大值=直角
帮助分析一下,当少年宫组团的人数是多少时,少年
宫可以获得营业额最大？
最大利润问题
方法一
探究活动
解：设少年宫人数为x人,营业额为y元,则
营业额 = 人数 x 票价
y=x[x-20)]
=x[800-10x+200]
=800x-10x2+200x
ห้องสมุดไป่ตู้=-10(x-50)2+25000
答：当少年宫的人数为 50人时，少年宫可以获得
最大的营业额。
最大利润问题
方法二
探究活动
解：设超出人数为x人，即人数（20+x）则票价为
x）元，有
y= (20+xx)
= x+800x-10x2
= -10x2+600x+16000
= -10(x-30)2+25000
∴ 当人数为：20+30=50人时，少年宫可以获得
最大营业额为25000元。
最大利润问题
角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的
窗户？
练一练
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标
为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴
−
-4=


，解得k=±

，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，.'.AB=CD,AB//CD,
E
∵AF=40cm,AE=30cm,AB=xcm, .'.CD=xm,
∵CD/ /AB, ∴△EDC∽△EAF,

∴

=



∴DE=


∴AD=30


=


F
复习旧知
(2)由题意可得


= − + ∙ = − −
=-10(x-5.5)2+2402.5
∵a=-10<0 ∴x=5.5时ymax=2402.5
∵ 0<x≤15 且x为整数 当x=5时，50+x=55, y=2400,
当x=6时，50+x=56, y=2400,
∴55和56的定价都可以，每个月可以获得的最大利润为2400元。
最大利润问题
问题分析
【解答】
=
−−

−−
＜15

∵0＜x＜15,且0＜
∴0＜x＜1.479
设窗户的面积是Sm2,则




S= + = 2 +2x∙

=−



+ =−



5−−


−

+




∴当x= ≈1.07时,S最大= ≈4.02
2.4 二次函数的应用
第1课时
复习旧知
2
想一想：如何求出二次函数 y = ax + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 = −
2
次函数 y = ax + bx + c 有最小（大） 值 =
−

当自变量的取值范围是全体实数时，
课堂练习
6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果
水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式;
（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水
位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行
三角形面积的一半。
例题解析
例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗
框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过
的光线最多 (结果精确到0.01m) ?此时,窗户的面积是多少? (结果精确
到0.01m2)
x
y
x
典例精析
解:∵7x+4y+πx=15
，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?
课堂练习
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
=
由题意：
+ =

∴y=−

= −
解得： = −

二次函数
y = a(x-h)
2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点坐标
直线x=h
(h,k)
二次函数的应用
1.最大面积问题
最值问题
2.最大利润问题
3.最大高度问题
最大利润问题
探究活动
例1：某少年宫组团去北京参观学习,20人起组团,
每人单价800元.少年宫对超过20人的团给予优惠,
即少年宫每增加一人,每人的单价就降低10元.你能
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，

∴﹣5.6=36a，a=−

∴抛物线的表达式为 =

−

练一练
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇
窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗
最大利润问题
课堂
小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之
间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
谢谢观看
面积最大，最大的透光面积为( B )


A．
m2


B． m2
C．2 cm2
D．4 cm2
课堂练习
3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分
150
开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩
形土地ABCD的面积最大．
4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自



+
E
∴当x=20时, y有最大值300.
F
练一练
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边
上,BC在斜边上.
(1)设矩形的一边BC=x cm,那么AB边的长度如何表示？
解：(1)由勾股定理得MN=50cm，PH=24cm

设AB=bcm，易得b=−