2018学年山西怀县一中高二数学学案：2.2.1椭圆及其标
2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修2-1
2．2.1 椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二 椭圆的标准方程思考 (1)121212其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之和等于F 1F 2时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于F 1F 2时，动点的轨迹不存在．(2)a ，b 的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1，－232a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝5. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. (2)当焦点在y 轴上时， 设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＋32b 2＝1，12a 2＋－232b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解．故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. (2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos∠F 1PF 2， ∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12.∴12PF F S ＝12mn sin∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3. 反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长．解由题意知，点A，B在椭圆x225＋y216＝1上，所以a＝5，故有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，AF2＋BF2＝AB，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝BC，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB＝6)．∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1， 又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2. 3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形．答案 直角解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8.又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3.而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1. 若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0. 5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________.答案 48 解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得PF21＋PF22＝F1F22，即PF21＋PF22＝100.又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。
2.2.1椭圆及其标准方程 学案-人教版高中数学选修2-1
作图，作图后学生回答引出课题。
学生口述后在投影展示，教师再根据投影进行强调。
引生入境听1、师：移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？2、师：笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？3、师：观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？4、师：观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？5．师：定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？1、生：椭圆．2、生：是．其距离之和始终等于线段的长度．3生：．4、生：5.生：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;；_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1.通过教师的引导，由于坐标系选择的灵活性与根式运算的复杂性，在寻求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
2．通过这些实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.板书设计导学反思课题：椭圆及其标准方程一、定义二、标准方程三、例题(文字表述) （符号表述）四。
变式训练。
五。
课堂检测。
六。
作业布置。
1.数形结合的思想开展我的教学；在整个教学过程中采用了“引导发现、讨论交流”的方法来进行教学，最大限度的挖掘学生的潜力；同时让学生通过动手作图亲身经历椭圆的形成过程，培养了学生的观察、分析、概括能力，从而激发学生学习数学的兴趣。
2.根据学生思讲练的反馈信息，在后面的教学中及时的进行小结和点评，并针对学生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题，进行教学调节。
3.在设计过程遇到很多我无法解决的问题，比如如何将圆锥曲线背景知识融入到课堂；如何用几何画板将图形的翻折更形象的演示等，如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。
(高二数学教案)椭圆及其标准方程1高中二年级教案
椭圆及其标准方程1高中二班级教案教学目标1．把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能依据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3．通过对椭圆概念的引入教学，培育同学的观看力量和探究力量；4．通过椭圆的标准方程的推导，使同学进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的力量；5．通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发同学学习数学的乐观性，培育同学的学习爱好和创新意识．教学建议教材分析1．学问结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是把握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要争辩的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的争辩放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然．学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是格外重要的．〔1〕对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以比照圆的定义来理解．另外要留意到定义中对“常数〞的限定即常数要大于．这样规定是为了防止消灭两种特殊状况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹〞．这样有利于集中精力进一步争辩椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特殊状况，以保证对椭圆定义的精确性．〔2〕依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方．应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让同学认真领悟．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是同学的难点．要留意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，〞方程的解为坐标的点都在椭圆上〞．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．〔3〕两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．〔4〕教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向同学说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使同学知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议〔1〕使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发同学的学习爱好．为激发同学学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要争辩的问题，使同学对所要争辩的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。
数学高二-选修2教案 《椭圆及其标准方程》
2.2.1《椭圆及其标准方程》教学设计【教学目标】1.理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；2.理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；3.了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法。
【导入新课】实例引入1. 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、试举出现实生活中圆锥曲线的例子．2. 探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？新授课阶段1. 椭圆的定义．把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=．2.椭圆标准方程的推导过程设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．具体推导过程省略。
类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程。
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c．引导学生用其他方法来解。
解：设椭圆的标准方程为()222210x ya ba b+=>>，因点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591104464aa bba b⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩例2 如图，在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆224x y+=上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P 的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程。
2018学年高中数学选修2-1课件：2.2.1 椭圆的标准方程 精品
阶
段
段
一
三
2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解椭圆标准方程的推导．(难点) 2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点) 3．椭圆的两种标准方程的区分．(易混点)
[基础·初探] 教材整理 椭圆的标准方程 阅读教材 P30～P31 思考上面内容，完成下列问题.
【提示】 若∠F1PF2 为锐角时，不存在点 M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2 为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点 M，使∠F1MF2＝90°.
如图 2-2-1 所示，已知椭圆的方程为x42＋y32＝1， 若点 P 在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
【精彩点拨】 根据椭圆的标准方程知 PF1＋PF2＝4， 结合面积公式和余弦定理找到 PF1 和 PF2 的关系求解．
[小组合作型]
椭圆标准方程的求法
求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦距为 2，且过点 P(－ 5，0)； (2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点 P－32，52. 【精彩点拨】 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及 a，b 的值，若 不能确定焦点位置，则要根据焦点在 x 轴上还是 y 轴上分类讨论．
标准方程
图象
焦点坐标 a，b，c 的
关系
焦点在 x 轴上
__ax_22_＋__by_22＝__1_ (a＞b＞0)
焦点在 y 轴上
__ay_22＋__b_x22_＝__1_ (a＞b＞0)
(－c,0)，(c,0)
_(_0_，__－__c_)，__(_0_，__c_)
__a_2_＝__b_2＋__c_2___
高二数学选修2-1§2.2.1椭圆及其标准方程(2)导学案设计
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)导学案撰稿：陈娟审核：张海军时间：姓名：班级：级别：组名: 【教学目标】1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．【重点难点】▲重点：掌握椭圆的定义及标准方程▲难点：点的轨迹的求法【学法指导】以自学为主，教师讲授为辅【知识链接】（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=则椭圆的标准方程是．【学习过程】知识点一：椭圆的定义及标准方程问题1：圆22650x y x+++=的圆心和半径分别是什么?知识点二：点的轨迹的求法问题2：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式：若点M在DP的延长线上，且32DMDP=，则点M的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM相交于点M，且它们的斜率之积是49-，求点M的轨迹方程．变式：点,A B的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？【基础达标】A1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．B2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．【课堂小结】1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．【知识拓展】椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹．定点F 是椭圆的焦点；定直线l 是椭圆的准线；常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠ D ．221259x y +=(0)y ≠ 3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑问是我对导学案的建议是。
高二数学椭圆及其标准方程(1)学案
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)制作人： 审核人： 使用日期：1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x y m-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升※ 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．。
2018学年高中数学选修2-1课件：2.2.1 椭圆及其标准方程 精品
[解] 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8， 得|AB|＋|AC|＝10. 因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，设其方程为xa22＋by22＝ 1(a>b>0，且 y≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a＝10，但 点 A 不在 x 轴上． 由 a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9. 所以点 A 的轨迹方程为2x52＋y92＝1(y≠0)．
于 24”，试求此时顶点 A 的轨迹方程．
解：由题可知，此时 2a＝24－8＝16， 则 a＝8，c＝4，得 b2＝a2－c2＝48， 所以点 A 的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1(y≠0)．
2．求动圆圆心的轨迹方程
[例] 已知动圆 M 过定点 A(－3,0)，并且内切于定圆 B：(x
－3)2＋y2＝64，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
[活学活用] 已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2 的周长 ＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2 的周长为 4a.
2.2
椭__圆
2．2.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
[提出问题] 取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点 F1， F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.2.1 椭圆的标准方程(二)
椭圆的标准方程(二)
学习目标.加深理解椭圆定义及标准方程.能灵活运用条件求椭圆的标准方程.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点椭圆标准方程的认识与推导
思考椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
思考依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．
梳理()椭圆的标准方程的形式
焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程
焦点在轴上
形状相同，，，满足>>，＝－，
焦距为(－，)，
(，)
＋＝
(>>)
焦点在轴上
(，－)，
(，) ＋＝(>>)
()方程＋＝表示椭圆的充要条件是．
()椭圆方程中参数，，之间的关系为．
类型一椭圆标准方程的确定
例求焦点在坐标轴上，且经过(，－)和(－，)两点的椭圆的标准方程．
反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．
跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程．
()两个焦点的坐标分别是(，－)，(，)，并且椭圆经过点(－，)；
()焦点在轴上，且经过两点(，)和(，)．
类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用
例
如图，在圆＋＝上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹．。
2.2.1 椭圆的标准方程学案
高二数学选修1-1 2.1.1 选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程学案一、学习任务：1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 二、探究新知：阅读课本的有关内容，并完成下列问题。
问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆或利用信息技术，指出椭圆上的点的几何特征。
你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念，思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F 1F 2｜，为什么要这样规定呢?如果常数等于|F 1F 2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于｜F 1F 2｜，点的轨迹又会是什么图形？（结合信息技术说明）问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何特征，建立适当的坐标系。
问题4：化简方程 + =2a 总结化简这类方程的一般方法。
问题5 回答P 39思考，想想为什么将 + =1化成 + =1（a>b>0）？ 问题6：回答P34、P 40a 、b 、c 满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？（用信息技术能更清楚地演示这种关系吗？） 问题7：看例1，回答边框“？” 2、自学检测1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________． 4．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，求椭圆的方程．探究一.椭圆的标准方程的推导1.根据定义推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程探究二．求椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．变式训练：根据下列条件，求椭圆的标准方程．坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．探究三．利用椭圆的定义求轨迹方程．3.已知动圆M 过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．变式训练 已知动圆M 和定圆C1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．探究四．椭圆定义的应用4.已知P 为椭圆x216＋y29＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S.巩固训练 一、选择题1．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．62．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．83．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1二、填空题4．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．拓展提升1．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．2．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧（x +c ） +y 2 2 （x -c ） +y 2 2 y a -c2 2 2 x a 2 2x a 2 2 y b 22。
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案新人教A版选修2
221 椭圆及其标准方程(一)［学习目标】1. 了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.IT问题导学 -------------------------- 知识点一椭圆的定义思考i给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理(1)我们把平面内与两个定点F i, F的距离的和等于常数(大于| F iR|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点』焦点间的距离叫做椭圆的焦距________ L(2) 椭圆的定义用集合语言叙述为：P= {M l MF I +1 MF| = 2a, 2a>|F iH|}.(3) 2 a与| F i F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c —定成立吗？答案不一定，只需a>b, a>c即可，b, c的大小关系不确定.思考2若两定点A B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程？答案以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，贝U A(3 , 0),耳一3, 0).设P(x, y)，依题意得| PA +1 PB = 10,所以.x — 3 2+ y2+ . x+ 3 2+ y2= 10,2 2即点P的轨迹方程为+狰=1.25 16梳理（1）椭圆标准方程的两种形式（2）椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系⑶根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标•判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁2 2大在谁上” •如方程为5 + X = i的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F i（o，- 1）, F2（0, 1），焦距| F1F2I = 2.题型探究类型一椭圆的定义解读例1点R —3, 0）是圆C: x2+ y2- 6x-55= 0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.解方程x2+ y2-6x- 55 = 0化标准形式为：（x-3）2+ y2= 64,圆心为（3 , 0），半径r = 8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC + |MP = r = 8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C, P的距离之和为定值8>6=|CP，所以动点M的轨迹是椭圆.引申探究若将本例中圆C的方程改为：x2+ y2- 6x= 0且点R - 3, 0）为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.. . 2 2解设M(x, y)，据题，圆C： (x —3)+ y = 9,圆心Q3 , 0)，半径r = 3.由|MC =|MP + r，故| MC — | Mfp = r = 3,即J.x— 3 2+ y —0 2_ x+ 3 2 + y—0 2= 3,2 2X y整理得9 —27= 1(x<0).4 "4反思与感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量常数(2 a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件•跟踪训练1下列命题是真命题的是____________ .(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F i( — 1 , 0) , F2(1 , 0)，则满足| PF i| + |PF| = ,2的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F i( —2, 0) , FX2 , 0)，则满足|PF| + |PF| = 4的点P的轨迹为线段；③到定点F i( —3, 0) , F2(3 , 0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案②解析①2<2 ,故点P的轨迹不存在；②因为2a=|F i F2| = 4,所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F i( —3 , 0) , F2(3 , 0)的距离相等的点的轨迹是线段F i F2的垂直平分线(y轴).类型二求椭圆的标准方程命题角度i用待定系数法求椭圆的标准方程i i i例2求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(3 , -), Q0, — R的椭圆的标准方程•2 2解方法一①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为与+ ^2= i(a>b>0).a b「1 2 1 2(3) G)孑+£ =1,依题意有」12(-2)L. 0+ b2= 1，解得b2= !由a>b>0知不合题意，故舍去.②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为2 2y x孑+ b ^= 1( a >b >0).1 2-2 厂+°=1,21a= 4,解得b 2=所以所求椭圆的标准方程为依题意有方法二设椭圆的方程为2 2mx + ny = 1( n >0, n >0, m^ n ).1 19n + 9n =1， 则14n =1,n = 5, 解得*n = 4.所以所求椭圆的方程为故椭圆的标准方程为 2 y _ i 4 2 25x + 4y = 1,2x + —= 1 引申探究2x求与椭圆25+ 9 = 1 有相同焦点，且过点（3 , 15）的椭圆方程.2 2xy解 据题可设其方程为 + = 1（入>—9）, 25+入 9 +入 又椭圆过点（3， 15），将此点代入椭圆方程,得 入=11（入=—21舍去）,2 2x y故所求的椭圆方程为 + —= 1.36 20反思与感悟 （若椭圆的焦点位置不确定, 需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论, 也可设椭圆方程为 2 2mx + ny = 1( m^ n , n >0, n >0).2 2x y⑵ 与椭圆g+話=1（a >b >0）有公共焦点的椭圆方程为2 2x y2 0+7 + b +T= 1(a>b >°，b >—入)， 2 2与椭圆字+ p = 1（a >b >0）有公共焦点的椭圆方程为2 2y xu u 2a 2+ 7+ bW = 1(a >b >0，b >— 7 ).跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程 •(1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F i ( — 4, 0) , F 2(4 , 0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于10；⑵椭圆过点(3 , 2) , (5 , 1);x 轴上，且经过点(2 , 0)和点(0 , 1).据题 2a = 10, c = 4,故 b 2 3 4 5= a 2— c 2= 9,2 2• ••所求椭圆的标准方程为-+y =1.25 9⑵ 设椭圆的一般方程为 Ax 2+1(A >0, B>0, A B ),2X2•••所求椭圆的标准方程为 -+ v = 1. 命题角度2用定义法求椭圆的标准方程例3 已知一动圆 Ml 与圆C ： (x + 3)2+ v 2= 1外切，与圆C 2: (x — 3)2+ y 2= 81内切，试求动 圆圆心M 的轨迹方程.解 据题 C ( — 3, 0) ,「1= 1, C 2(3 , 0) ,「2= 9, 设 Mx , y )，半径为 R 则 | MC | = 1 + R, | MC | = 9 — R, 故| MC + | MQ = 10,据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C , G 为焦点的椭圆，且 a = 5, c = 3,2 2222x y故b = a — c = 16.故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 £+±= 1.5 16 反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定 a , b 的值.(3)椭圆的焦点在(1)设其标准方程为2 2争+ b 2= 1(a >b >0).则 J 9A +4B=1, 25A + B= 1,解得「3A =91,16 .B= 91.2 2故所求椭圆的标准方程为 91+91= 1.亍162 2x v⑶ 设椭圆的标准方程为 孑+含=1( a >b >0).解得a 2= 4,b 2= 1,跟踪训练3已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 4家和，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程 解 设椭圆的两个焦点分别为 F , F 2, 不妨取|PF | = 芈，|PF 2| = 竽， 由椭圆的定义，知 2a = | PF | + | PF a | = 2(5. 即 a = , 5. 由|PF |>| PF 知，PF 垂直于长轴.亠 亠 2 2 2 60在 Rt △ PFF i 中，4C 2=| PF |2—| PR|2=—,...b 2= a 2— C 2= 103又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上,故所求的椭圆方程为 类型三椭圆中焦点三角形问题2 2例4 (1)已知P 是椭圆 七+ x 4 = 1上的一点，F i , F 2是椭圆的两个焦点，且/ F i PF = 30°,求厶F 1PF 2的面积•2 2x y⑵ 已知椭圆-+ 2 = 1的焦点为F 1, F 2,点P 在椭圆上•若I PF | = 4,求/ F 1P 冋的大小. 解(1)由椭圆的标准方程，知 a =、：；5, b = 2,C = a — b = 1, .| F 1F 2| = 2.又由椭圆的定义，知|PF | + | PF | = 2a = 2^5.在厶 F 1PF 2 中，由余弦定理得 |冃冋2= |PF |2+ |PR|2— 2|PF | •|PR |cos / RPR ,2即 4= (| PF | + | PF |) — 2| PF | PF — 2| PF | PB |cos 30 ° ,即 4= 20 — (2 + @)| PF | •I P 冋,•••I PF | •I PF | = 16(2 — 3).11 厂 1厂• S A F 1PF 2 = 2l PF | .|PB |sin / RPR =16(2 -曲 X- = 8 — 4^3.2 2⑵ 由9 + 2 = 1 知 a = 3, b =• C = . 7,2<53 =i.2 aPFF 2 的面积 P FF = c \ y o \ = b tan~2*在厶PFF 2中，根据椭圆定义，得\ PF \ + \ PB\= 2a .22两边平方，得 \PF \ + \PF \ + 2\ PF \\ PF \ 根据余弦定理，得\ PF \ 2+ \ P^\2- 2\ PF \\ ①—②，得(1 + cos a )\ PF \\ PF \ = 2b 2,2b 2所以 \PF \\ PF \ =cos —.1 + cos a2 sina小. aa . a2sin — cos~ sin -=tan -, a 2 cosy所以 S A PF 1F 2 = b tan 3••••I P 冋=2a — \ PF \ = 2, ••• cos Z F 1PF =\PF \2 +\ 叩 2—\F 1F 2\2 2| PF 1| •I PF 2| •••/ F i PF 2= 120°.反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时, 这个点与椭圆的两 个焦点可以构成一个三角形， 这个三角形就是焦点三角形 .这个三角形中一条边长等于焦距， 另两条边长之和等于椭圆定义中的常数 在处理椭圆中的焦点三角形问题时， 可结合椭圆的定义 | MF\ + | MF = 2a 及三角形中的有关 定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等 2yC ：孑+話=1（a >b >o ）的焦点三角形 PFF 2中, ）来求解. 跟踪训练 4 （1）在椭圆/ F 1PF 2= a ,点 P 的坐证明1S ^PF 1F 2 =刖 F 1 F 2\\ △PF 1F2y o \ = c \y o \. 根据三角形的面积公式，得S ^PF 1F 2fl PF II PF \sin2b 21 + cos a • sin a2 2⑵已知椭圆的方程为4+3 = 1，椭圆上有一点 P 满足/PFF 2= 90° （如图）.求厶PFF 2的面标为（X o , y o ），求证：△ 2=4a .2PR \COS a = 4c .「sin a 又因为1 + cos2a2cos —解由已知得a= 2, b= 3,所以c= a2- b2= 4-3 = 1.从而| F1F2I = 2c= 2.在厶PFF2中，由勾股定理可得| PR| 2= | PF| 2+ | FF|2,即| P冋2=| PF|2+ 4.又由椭圆定义知|PF| + |PFF = 2X 2= 4,所以|PF = 4-| PF|.2 2从而有(4 - | PF|) =| PF| + 4.3解得|PF| = ^.1 1 3 3所以△ PFF2 的面积S= ^| PF| •I FF2| = X 2= ,即厶PFF2的面积是|.甄当堂训练-----------------------------1. 已知A( —5, 0) , B(5 , 0).动点C满足|AQ + | BQ = 10 ,则点C的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.点答案C解析因为|AQ + |BC = 10=| AB ,所以点C的轨迹是线段AB故选C.2. 若方程3x2+ ky2= 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U k的可能取值为()A.1B.3C.0D. —2答案A2 2解析当k = 1时，原方程可化为y p + — = 1,它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题3意、.2 2x y3. 已知椭圆C: 25+ 16 = 1内有一点M2, 3) , F1 , F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C 上一点，贝y | PM + | PF|的最大值为 _______ ,最小值为_________ .答案10+ . 10 10—, 10解析由椭圆的定义，得| PF| = 2a—| PF| ,即| PF| = 10—| PF ,所以 |PF | + I PM = 10+ | PM - |PF 2|. 由三角形中"两边之差小于第三边”可知，当P, M , F 2三点共线时，|PM - |PF 2|取得最大值|MF 2|，最小值一| MF |.2 2x y由椭圆的标准方程+花=1可得点F 2(3 , 0). 25 16又| MI 2| = 2 — 3 2 + 3-0 2= 10, 所以|PF | + I PM 取得最大值10+屮0，最小值10-屮0.2 24. ___________________________________________ 椭圆8x + 3y = 24的焦点坐标为 . 答案(0，-5) , (0 ,5)2 2解析 据题知y + X = 1,它的焦点位于y 轴上，8 3且c = 5,故两焦点分别为(0，—. 5) , (0 , 5).2 2解 方法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 令+ b 2= 1( a >b >0).2 2所以所求椭圆的标准方程为x +4=1.2 2y x 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为 ?+ b 2= 1(a >b >0).同理得a 2= 4, b 2 = 8,此时a 2<b 2，与焦点在y 轴上矛盾.2 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为 x +y= 1. 8 4方法二 设椭圆的一般方程为 AX + By 2= 1(A >0, B>0, A B ).2 2一x y所以所求椭圆的标准方程为+—= 1. 8 4厂> 规律与方法■ -----------------1.椭圆的定义式：|PF | + |PF | = 2a (2 a >|F 1F 2|).在解题过程中将| PF | + | PF 2|看成一个整f 2小4b 2=1, b 2= 4.将两点(2 , -\；2),(-1,)的坐标分别代入,4A + 2B= 1 ,得 A + 7B = 1 ,解得18’5.求经过两点(2 ,(-1,由已知条件得4 2 孑+ b^= 1 , 1 2 + a体，可简化运算•2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义| MF| + | MF| = 2a（M为椭圆上的点，F i, F2为椭圆的焦点），一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标Mx o, y。
2.2.1椭圆及其标准方程(1)(学生学案)
南极数学同步教学设计 人教A 版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》 班级 姓名 组（座号）2．2．1椭圆及其标准方程（1）（学生学案） 例1：下列哪些是椭圆方程？如果是，请指出其焦点所在的坐标轴．,4002516)1(22=+y x,12516)2(22=-xy ,144)3(22=+y x ,194)4(22-=+x y .243)5(22=+y x变式训练1（课本P42练习NO ：2）： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c =y 轴上；⑶10,a b c +== 例2（课本P40例1） 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式训练2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是)0,4(-、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； 【课时作业】 A 组： 1、（课本P49习题2.2 A 组：NO ：1）2、（课本P49习题2.2 A 组：NO ：2（1）（2）（3））3、已知两个焦点的坐标分别是(3,0),(3,0)-，椭圆上一点P 到两焦点距离和等于8,求椭圆的标准方程4、 (tb2514403)已知椭圆与椭圆14922=+y x 共焦点，且通过点(3,-2)，求该椭圆的方程。
5、(tb2514302)已知椭圆1422=+y m x 的焦距为2，求该椭圆方程。
6．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2），求m 的值.7．方程1)1(2222=-+m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围.。
2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2-2-1 椭圆及其标
2.2.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点 椭圆标准方程的认识与推导思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．梳理 (1)椭圆的标准方程的形式(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为________．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．引申探究若本例中“过点P 作x 轴的垂线段PD ”，改为“过点P 作y 轴的垂线段PD ”．那么线段PD 的中点M 的轨迹又是什么？反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1) 2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为____________．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 5．△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．1．两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在xa2＋yb2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.答案精析问题导学 知识点思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb 的平方和，并且分母为不相等的正值．思考2 把方程化为标准形式，与x 2，y 2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 思考3 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程． 梳理 (2)A >0，B >0且A ≠B (3)a 2＝b 2＋c 2 题型探究例1 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例2 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆． 引申探究解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，(*)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0代入(*)式得y 24＋x 2＝1.故点M 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2.∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1.∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.当堂训练1．A 2.A 3.x 218＋y 29＝1 4.4 35．解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.故所求的轨迹方程为x236＋y227＝1(y≠0)．。
人教版高中数学高二数学《椭圆的标准方程》学案2
高 二 数学 课型 新授 主备人 王艳 审核人 李学习 上课时间 第 周星期2.2.1 椭圆的标准方程（2）一、教学目标：1．理解椭圆的定义和标准方程；2．会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，会根据条件求椭圆的标准方程，二、教学重难点：1、椭圆定义的理解2、待定系数法求椭圆的标准方程三、复习回顾：1、椭圆的定义：用文字描述： 用图形和数学等式描述：2、椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上时，方程焦点坐标 ，a,b,c 的关系（2）焦点在y 轴上时，方程焦点坐标 ，a,b,c 的关系四、基础练习：1．已知椭圆的方程为 192522=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于_____．2．已知椭圆的方程为15422=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于_____．3．将下列椭圆方程转化成标准方程并求出焦点坐标．（1）22431x y +=；（2）22561x y +=．4、已知椭圆的一个焦点为F （0,32），a=2c,则椭圆的方程为五、典型例题例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程1、与椭圆1222=+y x 有相同的焦点，且经过点（23,1）2、经过)23,2(),22,2(---B A 两点例2 的周长试求两点，，作直线与椭圆交于的两个焦点，过是椭圆，若2122211916ABF B A F y x F F ∆=+例3 已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围。
六、巩固练习1、焦距为6，a-b=1，求椭圆的标准方程2、经过两点)5,3(),25,23(-，求椭圆的标准方程 3、已知椭圆192522=+y x 上一点P 的横坐标是2，则点P 到椭圆左焦点的距离 点P 到椭圆右焦点的距离七、归纳总结会用待定系数法求椭圆的标准方程。
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怀仁一中高二数学学案（理科）
周次 编号 65 编制 审核 课题：2.2.1
椭圆及其标准方程（二）
一、学习目标：
1、进一步熟悉椭圆的定义及其标准方程；
2. 能应用特定系数法求椭圆的标准方程；
3．进一步巩固求轨迹方程问题，会求动点的轨迹方程。
二、重点：椭圆标准方程的两种形式
求动点的轨迹方程
难点：两种椭圆标准方程的区分和应用
三、复习回顾：
1.椭圆的定义
需注意： 。
2.椭圆的标准方程:
焦点在x 轴： 。
焦点在y 轴： 。
3.a ,b ,c 之间的关系
4、已知椭圆方程如何判断它的焦点位置？
四、导思探究：
M 为何值时，方程12592
2=-++m
y m x 表示： （1）圆；
（2）焦点在x 轴上的椭圆；
（3）焦点在y 轴上的椭圆。
五、导练展示：
1、 已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.
2、设点A 、B 的坐标分别为（-3,0）（3,0），直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积是9
4-， 求点M 的轨迹方程。
3、已知点P 是椭圆14
52
2=+y x 上的一点，21,F F 是焦点，且02130=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
4、已知动圆M 过定点A （-3，0）并且内切于定圆 B:(),64322
=+-y x ,求动圆圆心M 的轨迹方程
六、达标检测：
1.课本36页3，4。
2．椭圆 116
2522=+y x 上一点 P 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为
A ．5
B ．7
C ．8
D ．10
3. 椭圆 14
2
2=+y m x 的焦距是2，则 m 的值等于（ ） A ．5或3 B ．5 C ．8 D ．16
七、反思小结：。