高一数学立体几何题目

1.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（1）求证：AB⊥C1F；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
2.如图所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BFG的体积．
3.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．
4.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面
BB1D1D．
5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：
（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．
6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．
7.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC 的中点．求证：
（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．
8.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．
（1）求证：AB1⊥BC1；
（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．
9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：
（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．
10.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且
PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．
-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，11.如图，在四棱锥P ABCD
，，，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上∠====
6023
BAD AB PD AD BD
一点.
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若2PE EB =，求二面角E AC B --的大小.
12.如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠
DAB=90°，AB ∥CD ，AD=AF=CD=1，AB=2
（1）求证：AF ∥面BCE ；（2）求证：AC ⊥面BCE ；
（3）求三棱锥E ﹣BCF 的体积．
13.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB ；
（2）当PD=
AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
试卷答案
1.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由BB1⊥平面ABC得AB⊥BB1，又AB⊥BC，故AB⊥平面B1BCC1，所以AB⊥
C1F；
（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形EGFC1是平行四边形，故而C1F∥EG，于是C1F∥平面ABE；
（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵BB1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC
∴BB1⊥AB．
又∵AB⊥BC，BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，
∴AB⊥平面B1BCC1，
又∵C1F⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥C1F．
（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．
∵F，G分别是BC，AB的中点，
∴FG∥AC，且FG=AC，
∵AC A1C1，E是A1C1的中点，∴EC1=A1C1．
∴FG∥EC1，且FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG．
又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C1F∥平面ABE．
（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB==．
∴三棱锥E﹣ABC的体积V=S△ABC•AA1=×××1×2=．
2.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结FG，证明FG∥AE，然后证明AE∥平面BFD．
（2）利用V C﹣BGF=V G﹣BCF，求出S△CFB．证明FG⊥平面BCF，求出FG，即可求解几何体的体积．
【解答】（1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中点，…（2分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．…
（2）解：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（8分）
∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，
∴FG∥AE且FG=AE=1．∴Rt△BCE中，BF=CE=CF=，…（10分）
∴S△CFB=××=1．∴V C﹣BGF=V G﹣BCF=•S△CFB•FG=×1×1=．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，三角锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．
3.
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接MP，只需证明四边形MPC1N是平行四边形，即可得MN∥C1P∵C1P，即可证得C1P∥平面MNC；
（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB1A1．
【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点
∵MP∥AC，MP=，
又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1
且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N
∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN
∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；
（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．
∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM
由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1
又CM⊂平面MNC，
∴平面MNC⊥平面ABB1A1．
4.
【考点】LS：直线与平面平行的判定．
【分析】先证明四边形OFEB为平行四边形，可得EF∥BO，利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面BB1D1D．
【解答】证明：取D1B1的中点O，连OF，OB，
∵OF∥B1C1，OF=B1C1，
∵BE∥B1C1，BE=B1C1，
∴OF∥BE，OF=BE，
∴四边形OFEB为平行四边形，
∴EF∥BO，
∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D．
5.
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；
（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理
即可得证．
【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1．
（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是
AB的中点，
∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，
又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD．
6.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
7.
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定．
【分析】（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．
（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．
【解答】证明：（1）如图，连结SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB，
又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1．
（2）如图，连结SD，
∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，
又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，
EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
8.
【考点】MT：二面角的平面角及求法．
【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；
（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．
【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1．
又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，
∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，
∴BC1⊥B1C，
又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1；
（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．
由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，
∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1，
∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．
∵△OPB1～△ACB1，∴，
∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，
∴=．
在Rt△POB中，sin∠OPB=，
∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为．
9.
【考点】LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．
【解答】（本题满分8分）
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取PD的中点G，连结AG，FG．
又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF平行且等于CD，
∴GF平行且等于AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．
∵PA=AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．
10.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，由三角形中位线定理可得NF∥PD，，在结合已知得四边形NFCE为平行四边形，得到NE∥AC．再由PD ⊥平面ABCD，得AC⊥PD，从而证得NE⊥PD；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，则BC⊥平面PDCE．然后利用等积法把三棱锥E﹣PBC的体积转化为B﹣PEC的体积求解．
【解答】（Ⅰ）证明：连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，
∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且，
又EC∥PD且，
∴NF∥EC且NF=EC．
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE ∥FC ，即NE ∥AC ．
又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴AC ⊥PD ，
∵NE ∥AC ，∴NE ⊥PD ；
（Ⅱ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD ，
∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD=CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE ． 三棱锥E ﹣PBC 的体积
=
．
11.（1）证明见解析；（2）60°．
试题解析：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PD ⊥. ∵,60AD BD BAD =∠=，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，又
PD BD D
=⋂，∴AC ⊥平面PBD ，
而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .
（2）如图，连接OE ，又（1）可知EO AC ⊥，又AC BD ⊥， ∴EOB ∠即为二面角E AC B --的平面角， 过E 作EH
PD ，交BD 于点H ，则EH BD ⊥，
又
31 2
,2,3,,
33
PE EB AB PD EH OH
=====
，
在RT EHO
∆中，
tan3
EH
EOH
OH
∠==
60
EOH
∠=，
即二面角E AC B
--的大小为60.
考点：线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及二面角的求法.
12.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．
（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．
（3）三棱锥E﹣BCF的体积V E﹣BCF=V C﹣BEF，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵四边形ABEF为矩形，
∴AF ∥BE，
∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，
∴AF∥面BCE．
（2）∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，
∴BE⊥平面ABCD，
∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，
∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2
∴AC=BC==，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．
解：（3）三棱锥E﹣BCF的体积：
V E﹣BCF=V C﹣BEF=
=
==．
13.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。