微分方程单元测试题(含答案)

微分方程单元测试题(含答案)题目一
已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：
根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微
分方程。

首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和
$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。

然后我们进行积分，
得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。

将积分限写入，得到 $\int
\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。

对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。

将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。

对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中
$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

对等式两边同时取指数函数，得到
$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}
e^{C_3}$。

最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一
步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。

因此，微分方程的
通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二
已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的
特解。

答案：
对于这个微分方程，我们可以利用一阶线性常系数非齐次微分
方程的通解公式来求解。

一阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式为 $y = e^{-\int
P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 分
别是微分方程中的系数函数。

将给定的微分方程写成标准形式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，我们可以看出 $P(x) = 1$，$Q(x) = 3x$。

根据通解公式，我们需要求解积分 $\int P(x)dx$ 和 $\int
Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$。

首先，计算 $\int P(x)dx = \int 1dx = x$。

然后，计算 $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx = \int (3x)e^xdx$。

利用分部积分法，我们令 $u = 3x$，$dv = e^xdx$，得到 $du = 3dx$，$v = e^x$。

将上述结果代入分部积分公式，得到 $\int (3x)e^xdx = (3x)e^x - \int 3e^xdx = (3x)e^x - 3e^x$。

将计算结果代入通解公式，得到 $y = e^{-\int P(x)dx}(\int
Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C) = e^{-x}((3x)e^x - 3e^x) + C$。

因此，微分方程的特解为 $y = (3x - 3)e^{-x} + C$，其中
$C$ 是常数。

题目三
已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + e^x$，求出这个微分方程的特解。

答案：
对于这个微分方程，我们可以利用变量分离法来求解。

首先，将微分方程写成标准形式 $\frac{dy}{dx} = x^2 + e^x$。

然后，将式子重新组合，得到 $\frac{dy}{x^2 + e^x} = dx$。

将上述结果两边同时积分，得到 $\int \frac{dy}{x^2 + e^x} = \int dx$。

对左边的积分进行计算，我们可以利用换元法来进行计算。

令 $u = x^2 + e^x$，则 $du = (2x + e^x)dx$。

将上述结果代入积分式中，得到 $\int \frac{dy}{u} = \int
\frac{du}{2x + e^x}$。

进一步化简，得到 $\ln|u| + C_1 = \ln|x^2 + e^x| + C_1$。

对右边的积分进行计算，我们可以直接计算得到 $x + C_2$。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|x^2 + e^x| + C_1 = x + C_2$。

进一步化简，得到 $\ln|x^2 + e^x| = x + C_3$，其中 $C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

取等式两边的指数函数，得到 $|x^2 + e^x| = e^{x + C_3}$。

再取绝对值，得到 $x^2 + e^x = \pm e^{x + C_3}$。

进一步化简，得到 $x^2 + e^x = \pm e^{x} e^{C_3}$。

因此，微分方程的特解为 $x^2 + e^x = \pm e^{x} e^{C_3}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目四
已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = \sin(x)$，求出这个微分方程的
特解。

答案：
对于这个微分方程，我们可以直接积分求解。

首先，将微分方程写成标准形式 $\frac{dy}{dx} = \sin(x)$。

然后，将式子两边同时积分，得到 $\int dy = \int \sin(x)dx$。

计算两边的积分，我们可以得到 $y = -\cos(x) + C$，其中
$C$ 是常数。

因此，微分方程的特解为 $y = -\cos(x) + C$，其中 $C$ 是常数。