线性代数与解析几何

n j i
ai, j
n
j1
j i 1
ai, j

a2,2 a2,n
an,n
ai, j,k ai1,i2 ,,ik ai
i, j,k
i1 ,i2 ,,ik
iS
向量的概念 • 物理上的定义 — 具有大小和方向的量 • 数学上的定义 — 具有起点和终点的线段 • 两向量大小相同两线段长度相等 • 两向量方向相同两直线同向平行
a12 a22
am2

a1n a2n
amn
b1
b2
bm Βιβλιοθήκη • 通过初等变换，化线性方程组为阶梯形
*** *** *** *** *
*** *** *** *

***
曲线与曲面的方程 • 参数方程 p(t)、 p(s,t)
• 一般方程
P(x, Q(x,
y, y,
z) z)

0、P( 0
x,
y,
z)

0
• 球面 •圆
cos
cos,
cos
sin , sin
，|
|
2
，0


2
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 r2
向量的运算
• 加法 — 首尾相连


• 数乘 — 向量伸缩


平面直角坐标系 O,e1,e2
e2
P
OP xe1 ye2 (x, y)
O
空间直角坐标系 O,e1,e2,e3
e1
OP xe1 ye2 ze3 (x, y, z)
e2
P
点←→向量←→坐标
• 向量在平面上的投影
∥
//

( ) ( )( )

• 平行四边形的面积 S

• 平行六面体的体积 V


直线与平面的方程
• 直线的参数方程（点向式）
P(t) a t v
r cos , r sin , r sin ，0 2

2
2
x2 y2 z2 r2 ax by cz d 0
• 柱面 — 准线沿母线平移
P(s,t) s u p(t)
• 锥面 — 准线沿母线收缩
P(s,t) (1 s) a s p(t)
• 旋转面 — 子午线绕轴旋转
F(y) 0 x A y A (x y) u 0
常见二次曲面 • 椭球面 • 单叶双曲面 • 双叶双曲面 • 椭圆抛物面 • 双曲抛物面
• 锥面 • 椭圆柱面 • 双曲柱面 • 抛物柱面
线性方程组的消元解法
• 减少方程中未知数的个数
//


//




向量的外积
• sin


• x1, x2 , x3 y1, y2 , y3 x2 y3 x3 y2 , x3 y1 x1 y3, x1 y2 x2 y1
• 是关于 和 的反对称双线性函数
5x4 9x4
3 4
4x4 1
①
②
③
④
⑤ ①②
⑥ 3① ③
⑦ ①④
⑧

7 2
⑤

⑥
⑨⑦
⑩⑧⑨
x4


1 4


x3 x2


7 12

1 6
x1

1 12
求解⑩ 代入⑨ 代入⑤ 代入②
问题 • 以上所求是否一定是原方程的解？ • 其它消元过程是否会产生新的解？ 方程组的同解变形（三种初等变换） • 交换两个方程的位置； • 一方程乘上非零常数； • 一方程加上另一方程。
线性代数与解析几何
王新茂 中国科学技术大学数学系
预备知识 数域 — 定义了 +,-,*,/ 运算的集合 • 实数域R、有理数域Q • 复数域C， x y i | x, y ，i2 1
• x y 2 | x, y 是数域
• 对素数 p 和模 p 的 +,-,*,/ 运算， {0,1,…,p-1} 也是数域
线性方程组的矩阵解法 • 将线性方程组的系数排成一个矩阵。
a11x1 a12 x2

a21x1

a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amnxn
b1 b2

bm

a11
a21

am1
x1 2x2 3x3 4x4 3
3x1x1x3x22xx34
1 1
x1 2x2 5x4 1
2x2 2x3 2x4 2 7x2 10x3 12x4 10
3x3 9x4 4

3x3 3x3
• 平面的参数方程（网格）
P(s,t) a s u t v
• 平面的一般方程（点法式）
(x a) n 0
• 直线的一般方程（交线）
(x a1) n1 0 (x a2 ) n2 0
点、线、面间的位置关系 • 点到直线的距离 • 点到平面的距离 • 异面直线的距离 • 直线间的夹角 • 平面间的夹角 • 线面间的夹角 • 公垂线的计算
O
e1
e3
向量的内积
• cos 1 2 2 2 2
• x1, x2 , x3 y1, y2 , y3 x1 y1 x2 y2 x3 y3 • 是关于 和 的对称双线性函数
• 向量在直线上的投影
复数的几何 • Euler 公式 x y i rei
r

连加、连乘
n
n
ak a1 a2 an ak a1 a2 an
k 1
k 1
a1,1 a1,2 a1,n
ai, j
1i jn

n i 1