2016高考考前知识点回顾反思——极坐标与参数方程

2016年高考“知识点，考点，易错点”考前回顾
——极坐标与参数方程
一、极坐标参数方程与直角坐标的互化
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0)
:(0)
x x y y
λλϕμμ'=>⎧⎨
'=>⎩ 的作用下,点
P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
例：(1)在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''32x x
y y ⎧=⎨=⎩
后的图形。

231x y -=⇒__________________;
(2)把圆2
2
16x y +=变成椭圆2
2
116
y x ''+=的伸缩变换为 2.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长
度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．则______
______
x y =⎧⎨
=⎩2_________tan _______ρθ⎧=⎨
=⎩
3．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2
0－r 2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：； (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π
2，半径为a ：. 4．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：；
(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：；
(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π
2且平行于极轴： 5．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为_________
_________
x y =⎧⎨=⎩ (t 为参数)．
6．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为______
______x y =⎧⎨=⎩
(θ为参数，0≤θ≤ 2π)．
7．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为____________
x y =⎧⎨=⎩
(θ为参数)．
(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为______
______
x y =⎧⎨=⎩ (t 为参数)．
二、极坐标参数方程的几何意义
利用直线的标准参数方程中参数t 的几何意义表示下面各量
1．在直线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中：
(1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．
(2)||P 1P 2＝＝.
0102|P P ||P P |+＝；0102|P P ||P P |⋅＝
2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒_t 1＋t 2= ；
(3)设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝ (由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．
利用极坐标各变量量的几何意义表示下面各量 1．,A B 为θα=上两点，则AB ＝
2．,A B 为2ρ=上两点，O 为极点，若OAB 为正三角形，则B 坐标可用A 坐标表示为(_______,________)B
习题
1． 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22
1164
x y +=于两点。

如果点M 恰好为线段AB 的中点，（1）求椭圆的参数方程；（2）求||||MA MB ⋅的值
2． 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标
系中，设点P 为曲线1:2cos C ρθ=上的任意一点，点Q 在射线OP 上，记Q 点的轨迹为2.C （1）根据曲线2C 极坐标方程求曲线2C 的直角坐标方程;
（2）直线:3
l π
θ=分别交1C 与2C 交于A,B
3．(2014Ⅱ卷第23题)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，半圆C的极坐标方程为
2cos
ρθ
=，0,2
π
θ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）
设点D在C上，C在D处的切线与直线:2
l y=+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
参考答案
一、极坐标参数方程与直角坐标的互化
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0)
:(0)
x x y y
λλϕμμ'=>⎧⎨
'=>⎩ 的作用下,点
P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
例：(1)在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''32x x
y y ⎧=⎨=⎩后的图形。

231x y -=⇒_____''496x y -=____;
(2)把圆2
2
16x y +=变成椭圆2
2
116y x ''+=的伸缩变换为''4x x y y
⎧=⎨=⎩
2.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长
度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．则⎩⎨
⎧x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
⎩⎪⎨⎪
⎧ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y
x （x ≠0）.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，
则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2
0－r 2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π
2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 4．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0
－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π
2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 5．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)．
6．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤ 2π)．
7．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数)．
二、极坐标参数方程的几何意义
利用直线的标准参数方程中参数t 的几何意义表示下面各量
1．在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0
＋t sin α(t 为参数)中：
(1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．
(2)||P 1P 2＝||t 1－t 2＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2.
0102|P P ||P P |+＝12||||t t +；0102|P P ||P P |⋅＝12||||t t ⋅
2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝||t 1－t 2； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒_t 1＋t 2＝0；
(3)设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 2
2(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．
利用极坐标各变量量的几何意义表示下面各量 1．,A B 为θα=上两点，则AB ＝||A B ρρ-
2．,A B 为2ρ=上两点，O 为极点，若OAB 为正三角形，则B 坐标可用A 坐标表示为(2,)3
A B π
θ+
1解：（1）由题，直线的参数方程为2cos ()1sin x t t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩为参数…2’
22
221116442x y x y ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos ()2sin x y ααα
=⎧⇒⎨
=⎩为参数…5’
（2）因为,A B 为椭圆和直线的交点，联立
22
1164x y +=和2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
得222(cos 4sin )4(cos 2sin )t 80t αααα+++-=
有22224(cos 2sin )8
,cos 4sin cos 4sin A B A B
t t t t αααααα++=-
⋅=-++…7’
因为M 为,A B
中点，0cos 2sin 0sin A B t t ααα+=⇒+=⇒=…9’ 所以||||MA MB ⋅=||5A B t t ⋅=…10’
2．（1）3x =；（2
3（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.
可得C 的参数方程为
1cos ,
sin ,x t y t =+⎧⎨
=⎩
（t 为参数，0t x ≤≤）
（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，
tan 3t t π
==.
故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33π
π+
，即3(,22。