概率论第二章知识点

第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）：
若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为
12{},{}1(01)P X x p P X x p
p ====-<<
则称X 服从
12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：
12{},{}1(01)P X x p P X x p
p ====-<<
两点分布的期望：
()E X p =
两点分布的方差：()(1)D X p p =-
（2）二项分布： 若一个随
机变量X 的概率分布由式
{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=
给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：
{}(1),0,1,...,.k k
n k n P x k C p p k n -==-=
二项分布的期望：
()E X np =
二项分布的方差：()
(1)D X np p =-
（3）泊松分布：
若一个随机变量X 的概率分布为
{},0,0,1,2,...!
k
P X k e k k λ
λλ-==>=
则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为
X~P (
λ)
泊松分布的概率分布：
{},0,0,1,2,...!
k
P X k e k k λ
λλ-==>=
泊松分布的期望：
()E X λ=
泊松分布的方差：()D X λ=
4.连续型随机变量：
如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，
有()
{}()x
F x P X x f t dt -∞
=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的
概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：
()2a b
E X +=
均匀分布的方差：
2
()()12
b a D X -=
（2）指数分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
00
()0
x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩
则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)
指数分布的概率密度：
00
()0
x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,1)(b x a a
b x f ⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它
,0,1
)(b
x a a
b x f
指数分布的期望：
1
()E X λ=
指数分布的方差：
2
1
()D X λ=
（3）正态分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
22
()21
()x f x e
x μσ--=-∞<<+∞
则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)
正态分布的概率密度：
22
()21
()x f x e
x μσ--=-∞<<+∞
正态分布的期望：
()E X μ=
正态分布的方差：2
()D X σ=
（4）标准正态分布：
2
0,1μσ==
222
2
()()x t x
x e
x e dt ϕφ---∞
=⎰
标准正态分布表的使用： （1）0
()1()x x x φφ<=--
（2）
~(0,1)
{}{}{}
{}()()
X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-
（3）
2
~(,),~(0,1),X X N Y N μ
μσσ
-=
故
(){}{
}(
)X x x F x P X x P μμ
μ
φσ
σσ
---=≤=≤
=
{}{
}()()a b b a P a X b P Y μ
μ
μμφφσ
σ
σσ
----<≤=≤≤
=-
定理1： 设X~N(
μ,2
σ
),则
~(0,1)X Y N μ
σ
-=
6.随机变量的分布函数：
设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质：
12212112120()1
{}{}{}()()()()()1,()0
F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-<⇒<+∞=-∞=
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值 ②对Y 的每一个可能取值
i y 确定相应的概率取值
③常用表格的形式把Y 的概率分布写出
（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数
()X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数()Y F y
②由()Y F y 求导可得Y 的概率密度函数
（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度()
(,)X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可
导且恒有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则
Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概
率密度为
'[()]|()|,
()0
Y f h y h y y f y αβ
⎧<<=⎨
⎩
其中
()x h y =是y=g(x)的反函数，且
min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞
练习题：
2.4 第7、13、14
总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19 讲： P58 10 例：
某新产品在未来市场上的占有率是仅在区间
(0,1)上取值的随机变量，它的密度函数为
3(1)01()0c x x f x ⎧-<<=⎨⎩
求：（1）求c (2)求()F x (3)试求占有率为0.5以上的概率
解：
（1）
3()(1)1f x dx c x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=-=⎰
⎰
4c =
(2) 当
0,()0x F x ≤=
当
3401,()()4(1)(1)1x
x
x F x f x dx x dx x -∞
-∞
<<==-=--+⎰⎰
当
1,()1x F x ≥=
40,0()(1)1,0111x F x x x x ≤⎧⎪
=--+<<⎨⎪≥⎩
（3）
41(0.5)1(0.5)1[(10.5)1]16
P X P X >=-≤=---+=
或1
30.5
1(0.5)4(1)16
P X
x dx >=-=
⎰
第三章重要知识点：
类似 P63 例2
（2）要会在X 与Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据； 类似 P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如
{,}P a X b c Y d <<<<的概率；
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X 与Y 的联合概率密度:
设（X,Y ）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),
使对任意实数（x,y ），有(,)(,)y
x
F x y f s t dsdt -∞-∞
=⎰⎰
，则称（X,Y ）为二维连续型随机变
量。

(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限； (2)
要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如{}P X Y <等联
合概率值;P64 例3
(3) 要会根据联合概率密度求出
,x y 的边缘密度;类似 P64 例4
(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质： （1）
1ij
i
j
p
=∑∑
（2）
(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布 二维均匀分布：
设G 是平面上的有界区域，其面积为A 。

若二维随机变量（X,Y ）具有概率密度函数
1(,)(,)0
A
x y G
f x y ∈⎧=⎨
⎩
则称（X,Y ）在G 上服从均匀分布。

5.独立性的判断：
定义：设随机变量（X,Y ）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为()X F x ，()Y F y ，若对任意实数x,y ，有
{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
（1）离散型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断；
②所有可能取值(,
)i j x y ，有
(,)()()i j i j P X x Y y P X x P Y y =====
..ij i j p p p =则X 与Y 相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②联合概率密度
(,)f x y ，边缘密度()X f x ，()Y f y
,x y ∀有(,)()()X Y f x y f x f y =几乎处处成立, 则X 与Y 相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合
X 与Y 相互独立⇒ ()()()
()()()
(,)00
XY E XY E X E Y D X Y D X D Y Cov X Y ρ=±=+==
因此
()()()
()()()(,)00
XY E XY E X E Y D X Y D X D Y Cov X Y ρ≠±≠+≠≠⇒ X 与Y 不独立。

6．相互独立的两个重要定理
定理1 随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立，即，对任意实数集A ，B ，有
{,}{}{}P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈
定理2 如果随机变量X 与Y 独立，则对任意函数1()g x ，2()g y 相互独立。

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题
练习题：
习题2-3 第3、4题 习题2-4 第2题
习题3.2 第5，7，8题
总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13 讲： P83 12 例：
(2)01,0(,)0cy x x y x
f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩
（1） 求c (2)求边际密度（3）
(1)P X Y +≤
（4）独立性？
设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为
(,) 4.8(2)
01
f x y y x y x =-<<<
求（X,Y ）的边缘概率密度
(),()X Y f x f y
求X 和Y 至少有一个小于1
2的概率。

2.解： （1）当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =
当
01x <<时，
20
()(,) 4.8(2) 2.4(2)x
X f x f x y dy y x dy x x +∞
-∞
=
=-=-⎰⎰
2() 2.4(2)
01
X f x x x x =-<<
当0y ≤或1y ≥时，()0Y f y =
当
01y <<时，
1
2()(,) 4.8(2) 2.4(34)Y y
f y f x y dx y x dx y y y +∞
-∞
=
=-=-+⎰⎰
2() 2.4(34)
01
Y f x y y y y =-+<<
（2）
11
1112
2
2
2
1111
43{()()}1(,)1(,)1 4.8(2)2222
80
x
P X Y P X Y f x y dxdy dx y x dy +∞+∞<⋃<=-≥≥=-
=--=
⎰⎰
⎰⎰设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1
(;,),,0x p x e
x μ
θ
θμμθθ
--
=
>>
（1）
02
2
2
2
2
22
1
1
1
()1
1
1
1
1
()()
222x t
t
x t
t
t
t
E X x e
dx t
e dt e dt E X x
e
dx t e dt t
e dt t e dt e dt μ
θ
θ
θμ
μ
θ
θ
θ
θ
θ
μ
μθμ
θ
θ
θ
μμμ
θμθμθ
θ
θ
θ
θ
--
-
-
+∞
+∞
+∞
--
-
-
-
-
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
==+=+==+=++=++⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
222()()[()]D X E X E X θ=-=
由此可推出()E X θμ=
=从而参数θ，μ的矩估计值为
,s x s θμ∧
==-
（2）
似然函数为：(1)
1
1
1
()()exp{()},n
n
i
i L x x
θμμθθ
==-
->∑
其对数似然函数为：1
()
ln (,)ln n
i
i x L n μθμθθ
=-=--
∑
由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧
= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程
12()
ln (,)0n
i i x d L n d μθμθθθ
=-=-+=∑
解得1
(1)()
n
i
i x x x n
μθ∧
∧
=-=
=-∑
第四章重要知识点：
1.随机变量X 数学期望的求法：
（1）离散型 1
()i i
i E X x p ∞
==
∑
（2）连续型 ()()E X x f x d
x +∞
-∞
=
⎰
2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法： （1）离散型 1
()()i i i E X g
x p ∞
==
∑
（2）连续型 ()()()E X g x f x d x
+∞
-∞
=
⎰
3.二维随机向量期望的求法： （1）离散型 11
[(,)](,)i
j
ij
j i E g X Y g x y p
∞∞
===
∑∑
（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d x d y
+∞+∞-∞
-∞
=⎰⎰
4.随机变量X 方差的求法：
（1）简明公式 222()[()]()()D X E X E X E X E X =-=- （2）离散型 2
1
()[(
)]i
i i D X x
E X p ∞
==
-∑
（3）连续型 2()[()]()
D X x
E X f x d x +∞
-∞
=
-⎰
5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：
（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[(
)][()]
i
j i j i j
Cov X Y x E
X y E Y p =--∑ （3）连续型 (,)[()][()](,)C o v X Y x E X y E Y f x y
d x d y +∞+∞-∞
-∞
=--⎰⎰
（4）
XY ρ=
6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+
(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y = (3)
()()()2{[()][()]}
()()2(,)
D X Y D X D Y
E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y ±=+±--=+±
若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+ (4) 2()()D CX C D X =
(5) 1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =
(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7. n 维正态分布的几个重要性质：
（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量
i X （1,2,...i n =）都是正态变量，反之，
若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。

（2）n 维随机向量（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布的充分必要条件是12,,...,n X X X 的任意线性组合均服从一维正态分布1122...n n l X l X l X +++均服从一维正态分布（其中
12,,...n l l l 不全为零）。

（3）若（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，设12,,...,k Y Y Y 是(1,2,...)j X j n =的线性函数，则（12,,...,k Y Y Y ）服从k 维正态分布。

（4）设（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，则“12,,...,n X X X 相互独立”等价于“12,,...,n X X X 两两不相关” 练习题：
1. 设（X,Y ）的联合密度函数为24(1),01,0(,)0x y x y x
f x y -<<<<⎧=⎨⎩
求(,)Cov X Y 及XY ρ 解：1130003()(,)24(1)12(1)5
x
E X xf x y dxdy x xydydx x x dx +∞
+∞
-∞-∞=
=-=-=⎰⎰⎰
⎰⎰ 11222
40002()(,)24(1)12(1)5
x E X x f x y dxdy x x ydydx x x dx +∞+∞-∞-∞==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰
222231
()()()()5525
D X
E X E X =-=-=
同理
12002()(,)24(1)5x
E Y xf x y dxdy x y dydx +∞
+∞
-∞-∞==-=
⎰
⎰⎰
⎰
123001
()(,)24(1)5
x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞-∞==-=⎰⎰⎰⎰
又因
1
00
4
()[24(1)]15
x
E XY xy x y dydx =-=
⎰
⎰
从而
462(,)()()()152575
Cov X Y E XY E X E Y =-=
-=
2752
1253
XY ρ=
==
2. 习题4.3第10题
8.中心极限定理
（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量
12,,...,...n X X X 相互独立，并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x ，
有2
2
lim }()n
t i
x
n X
np
P x dt x -→∞
-≤==Φ∑⎰
（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量
12,,...,...n X X X 相互独立，服从同一分布，且
2
(),()(1,2,...),i i E X D X i μσ===
则2
2
lim }n
t i
x
n X
n P x dt μ
-→∞
-≤=∑⎰
练习题：
习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题
第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布 （1）2
χ分布
设12,,...n X X X 是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...n X X X χ=+++服从自由度为n 的2χ分布。

（2）t 分布
设X~N(0,1), 2~()Y n χ，且X 与Y
相互独立，则称t =n 的t 分布。

（3）F 分布
设22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则称//X m
F Y n
=服从自由度为（m,n ）的F 分布。

2.三大抽样分布
（1）设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，则有
2~(,/)X N n μσ
~(0,1)U N =
（2）定理2设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样本的样本均值与样本方差，则有
2
2
22
2
2
1
1
1
()~(1)n
i i n S X X n χχσσ=-=
=
--∑ X 与2S 相互独立
(3) 定理3 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样本的样本均值与样本方差，则有
2
222
1
1
()~()n
i i X n χμχσ==
-∑
~(1)T t n =
-
练习题：
1. 设122,...n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的样本，求统计量
Y =
的分布。

解：因为2
1321...~(0,)n X X X N n σ-+++，故
~(0,1)
N
~(0,1),1,2, (2)
i
X
N i n
σ
=
由样本的独立性及2
χ分布的定义，有
2222
2
24
()()...()~()
n
X
X X
n
χ
σσσ
+++
再由样本的独立性以及t分布的定义，有
~()
Y t n
==
2．总习题五14题
2.求样本函数相关的概率问题
练习题：
习题5-3 2 总习题五16、17
第六章重要知识点：
1.矩估计的求法：
设总体X的分布函数1
(;,...,)
k
F xθθ中含有k个未知参数的函数1,...,k
θθ，则（1）求总体X的k阶矩1,...k
μμ
它们一般都是
是这k个未知参数的函数，记为
1
(,...),1,2,...
i i k
g i k
μθθ
==
（2）从（1）中解得1,...
(),1,2,...
j j k
h j k
θμμ
==
（3）再用(1,2,...)
i
i k
μ=的估计量
i
A分别代替上式中的
i
μ
，即可得
(1,2,...)
j
j k
θ=的估计量：
^
1,...
(),1,2,...
j j k
h A A j k
θ==
注：求1
,...,
k
v v
，类似于上述步骤，最后用1
,...,
k
B B
代替1
,...,
k
v v
，求出矩估计
^
(1,2,...)
j
j k
θ=
2.最大似然估计的求法：
求最大似然估计的一般方法：
（1） 写出似然函数12()(,,...;)n L L x x x θθ= （2）
令()
0dL d θθ
=或
ln ()0d L d θθ=，求出驻点 （3） 判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最
大似然估计值。

比如P154 例4—6。

3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性
定义1 设^
1(,...)n X X θ是未知参数θ的估计量，若^
()E θθ=,则称^
θ为的无偏估
计量。

（2）有效性 定义2 设^
^
1
11(,...)n X X θθ=和^
^
221(,...)n X X θθ=都是参数θ
的无偏估计量，若^^12()()D D θθ<,则称^1θ较^
2θ有效。

4 置信区间
（1）双侧置信区间: 设
θ
为总体分布的未知参数，
12,,...n X X X 是取自总体
X 的一个样本，对给定的数
1α-，01α<<，若存在统计量12(,,...)n X X X θθ--
=， 12(,,...)n X X X θθ-
-
=，使得_
{}1P θθθα-
<<=-，则称随机区间
_
(,)θθ-
为
θ的1α-双侧置信区间，称1α-为置信度，又分别称_θ与θ-
为θ的双侧置
信下限与双侧置信上限。

（2）单侧置信区间： 设
θ
为总体分布的未知参数，
12,,...n X X X 是取自总体
X 的一个样本，对给定的数
1α-，01α<<，若存在统计量12(,,...)n X X X θθ--
=，
满足 {}1P θθα-
<=-
则称(
,)θ-
+∞为θ
的置信度为
1α-的单侧置信区间，称θ-为θ
的单侧置信下限；
若存在统计量12(,,...)n X X X θ
θ-
-
=，满足{}1P θθα-
<=-
则称
(,)θ-
-∞为θ
的置信度为
1α-的单侧置信区间，称θ
-
为
θ
的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法： 一般步骤： ①
选取未知参数
θ
的某个较优估计量
θ
∧
② 围绕
θ
∧
构造一个依赖于样本与参数
θ
的函数12(,,...,)n U
U X X X θ=
③
对给定的置信水平
1α-，确定1λ与2λ，使12{}1P U λλα≤≤=-
通常可选取满足1{}2
P U α
λ≤=与2{}2
P U α
λ≥=
的
1λ与2λ，在常用分布情况下，
这可由分位数表查得。

④对不等式1
2U λλ≤≤作恒等变形后化为
{}1P θθθα-
-
<<=-
则
(,)θθ-
-
就是θ
的置信度
1α-为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式：
(1)0-1分布参数的置信区间：
222
2211
(
((22(),2(),()
b b a a
a n u
b nX u
c n X αα---+=+=--=
(2)设总体
2~(,)X N μσ，其中2σ已知，μ
而为未知参数，
12,,...n X X X 是取
自总体X 的一个样本。

均值μ
的1
α
-置信区间为：
（2
X
n
α
σ
μ
-，X
n
α
σ
μ
+）
(3)设总体
2
~(,)
X Nμσ，其中μ，2σ未知，
12
,,...
n
X X X是取自总体X的一
个样本。

均值μ
的1
α
-置信区间为：
（2
(1)
S
X t n
n
α
--，
2
(1)
S
X t n
n
α
+-）
(4)设总体
2
~(,)
X Nμσ，其中μ，2σ未知，
12
,,...
n
X X X是取自总体X的一
个样本。

方差
2
σ的1α
-置信区间为：
22
22
212
(1)(1)
(,)
(1)(1)
n S n S
n n
αα
χχ
-
--
--
σ的1α
-置信区间为：
练习题：
习题6-2 第1，2，5，6题
习题6-3 第3，4，5，6题
习题6-4 第4题
总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题。