1.4 生活中的优化问题举例

=3.2-2x(m).
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
y2
=1(y>0),
4r2
x2
y,满足方程r2
+
解得 y=2 r2 -x 2 (0<x<r).
当 x∈
5
0,
9
时,f'(x)>0,f(x)是增函数;
当 x∈
5
,1
9
时,f'(x)<0,f(x)是减函数.
5
5
所以当 x=9时,f(x)取极大值 f 9 =20 000 万元.
因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值,
5
9
所以当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20 000 万元.
三、面积(体积)最大问题
活动与探究 3
如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r.计划
将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底
CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S.
(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域;
(2)求面积 S 的最大值.
且当 0<x<40 时 V'(x)>0,当 40<x<60 时 V'(x)<0,故 V(x)在 x=40 时取
得最大值.
答案:B
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2.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大
值为(
)
A.10
B.15
C.25
D.50
解析:设矩形垂直于 AB 的一边长为 x,则另一边长为 2 25-x 2 ,于是
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5
(2)本年度的年利润为 f(x)=(3-0.9x)×3 240× -x 2 + 2x + 3
=3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则 f'(x)=3 240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)·(x-3),由 f'(x)=0,解
5
9
得 x= ,或 x=3(舍去),
大值点,且最大值为 f(200)=-5×2003+24 000×200-50 000
=3 150 000(元).
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.
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利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤:
第一步,分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数
学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x).
1
5
f(x)= 24 200- x 2 x-(50 000+200x)
1
=-5x3+24 000x-50 000(x≥0).
3
由 f'(x)=-5x2+24 000=0,
解得 x1=200,x2=-200(舍去).
因为 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f'(x)=0,故它就是最
1
思路分析:根据题意建立目标函数关系式,利用导数求解.
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解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5 000=15 000(万元);
本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x);
本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x);
本年度年销售量为 5 000×(1+0.4x),
因此本年度的年利润为
(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使
f'(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,
也可以知道这就是最大(小)值;
(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关
系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的取值范
围,即函数的定义域.
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增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年
度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?
(2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3 240 -x
2
5
+ 2x + 3
,则当 x
为何值时,本年度的年利润最大?最大利润是多少?
(2)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关
系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.
(3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使
f'(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,
也可以知道这就是最大(小)值.
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课堂合作探究
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答案:30
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2.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品
1
的价格 P(元/吨)之间的关系为 P=24 200-5x2,且生产 x 吨的成本为
R=50 000+200x 元.问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到
最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)
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解:每月生产 x 吨时的利润为
1.4
生活中的优化问题举例
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课前预习导学
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目标导航
学习目标
1.学会解决利润最大、用料最省、效
率最高等优化问题;
2.学会利用导数解决生活中简单实际问题,
并体会导数在解决实际问题中的作用;
3.提高将实际问题转化为数学问题的能力.
重点难点
重点:用导数解决实
际生活中的最优化问题;
难点:将实际问题转化为
∴当高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大值为 1.8 m3.
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(1)求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解
决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几
何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来
解.
(2)必要时,可选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关
数学问题.
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预习导引
1.优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些
问题通常称为优化问题.
2.利用导数解决优化问题的基本思路
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预习交流
思考:用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题?
提示:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的
意义,不符合实际意义的值应舍去.
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问题导学
一、利润最大问题
活动与探究 1
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/
辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 000 辆.本年度为适应市场需
求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的
比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应
当 x>15 时,f'(x)>0;
当 10≤x<15 时,f'(x)<0,
因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2 000.
故为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层.
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(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考
虑,不符合实际意义的理论值应舍去;
矩形面积 S(x)=2x·
5 2
2
x=
x=-
5 2
1
S=2(2x+2r)·2 r2 -x 2 =2(x+r)· r2 -x 2 ,
其定义域为{x|0<x<r}.
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(2)记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r,
则 f'(x)=8(x+r)2(r-2x).
1
令 f'(x)=0,得 x=2r,或 x=-r(舍去).
1
1
1
因为当 0<x<2r 时,f'(x)>0;当2r<x<r 时,f'(x)<0,所以 f 2 r 是 f(x)
的最大值.
因此,当
1
x=2r
时,S 也取得最大值,最大值为 f
1
r
2
=
3 3 2
r,
2
3 3
即梯形面积 S 的最大值为 2 r2.
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迁移与应用
1.有一道长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地
的最大面积是
.
解析:设矩形长为 x m,则宽为(8-x) m,矩形的面积为
S=x(8-x)(x>0).令 S'=8-2x=0,得 x=4.
p'(x)=-2+
10
3
4#39;(x)=0,解得 x1= ,x2=- (舍去).
2
100+x
10
3
10
3
当 x< 时,p'(x)<0;当 x> 时,p'(x)>0,所以当 x= 时,取得最小值.
10 3
即在离 B 点距离为 3 的点 M 处筑公路至 C 时,由 A 至 C 的货
物运费最省.
系或曲线方程,以利于解决问题.
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当堂检测
1.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2
当箱子的容积最大时,x 的值为(
A.30
B.40
1
60-x
2
(0<x<60),则
)
C.50
D.60
3
解析:V(x)=-2x3+30x2,V'(x)=-2x2+60x.令 V'(x)=0,得 x=40(x=0 舍去),
路至 C,可使运费由 A 至 C 最省?
思路分析:可从 AB 上任取一点 M,设 MB=x,将总费用表示为变
量 x 的函数,转化为函数的最值求解.
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解:设 MB=x,于是 AM 上的运费为 2(50-x),MC 上的运费为
4 102 + x 2 ,则由 A 到 C 的总运费为
p(x)=2(50-x)+4 100 + x 2 (0≤x≤50).
y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5 000×(1+0.4x)
=(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x)
=-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1),
5
由-1 800x2+1 500x+15 000>15 000,解得 0<x< .
6
5
6
所以当 0<x< 时,本年度的年利润比上年度有所增加.
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迁移与应用
某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋
至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为
x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了
使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
注:平均综合费 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平 均购地费用
∴L'(P)=-3P2-300P+11 700.
令 L'(P)=0,解得 P=30,或 P=-130(舍去).
此时 L(30)=23 000.
当 P∈(0,30)时,L'(P)>0;
当 P∈(30,+∞)时,L'(P)<0,
∴L(30)为极大值且为最大值.
∴定价为 30 元时,毛利润最大为 23 000 元.
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迁移与应用
1.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品定价
为 P 元,则销售量 Q(单位:件)与定价 P(单位:元)有如下关系:Q=8
300-170P-P2.则该商场定价为
元时,毛利润 L 最大.
解析:根据题意得:L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11 700P-166 000,
=
购地总费用
建筑总面积
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解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则
2 160×10 000
f(x)=(560+48x)+ 2 000x
10 800
(x≥10,x∈N*),
x
=560+48x+
10 800
f'(x)=48- 2 ,
令 f'(x)=0,得 x=15,或 x=-15(舍去),
第二步,求函数的导数 f'(x),解方程 f'(x)=0.
第三步,比较函数在区间端点和使 f'(x)=0 的点的函数值的大小,
最大(小)者为最大(小)值.
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二、费用最省问题
活动与探究 2
如图所示,设铁路 AB=50,B,C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往
C,已知单位距离铁路费用为 2,公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公