微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
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2
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
定解条件：确定通解中任意常数的条件.
例：
2
2
3 2
3 2
3
定解条件
(
=3)
=1
=
+
y= x + .
= 3,
2
2
2
= −0.4 , = −0.2 2 + 1 + 2
=0 =0,
|
=20
=0
例：
= 3,
2
2
= −0.4 ，2y ′′ + y ′ − 4y = . 二阶微分方程
2 + 2 + = 0. 一阶微分方程
微分方程的阶，解
微分方程的解：满足微分方程F x, y, y ′ ， ⋯ y (n) = 0的函数.即将
函数 = 及其导数（或微分）代入微分方程，使得它变为恒
微分方程
微分方程的基本概念
知识点讲解
1.微分方程的定义
2.微分方程的阶,解
3.总结
引 例
例1. 一曲线通过点(1,3)，且该曲线上任一点(, )处的切线 的
斜率为3,求该曲线方程.
解 设所求曲线方程为 = ,
则有
dy
dx
= 3x.
它等价于 = 3, 两端对x积分, = 3,
说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住，以
及制动后列车行驶了多少路程.
微分方程
= −0.4.
含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程.
例：
2y ′′ + y ′ − 4y = ,
2 + 2 + = 0.
常微分方程：只有一个自变量的微分方程.
偏微分方程：有两个或两以上个自变量的微分方程.
常微分方程：
线性微分方程
非线性微分方程
微分方程的定义
线性微分方程：是指关于未知函数及其各阶导数都是一次的（或者未知函
数及其各阶导数之间是一次函数关系），否则称其为非线性微分方程.
线性微分方程的一般形式：
+ −1
−1
+ ⋯ + 1 ′ + () = .
得 =
3 2
2
+ ,
其中C是任意的常数.
根据题目要求, 它还应该满足附加条件=1 = 3.
代入求得 =
3
，因此所求曲线方程为
2
=
3 2
2
+
3
.
2
引 例
例2. 列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时获得加速度
= −0.4/ 2 ,求制动后列车的运动规律.
引 例
解 设列车在制动后秒行驶了米, 即求 s = s(t).
由加速度和位移的关系,
有
2
2
= −0.4,
两次积分,可得 = −0.2 2 + 1 + 2 ,其中1 ，2 为任意常数
根据题目要求, 还应该满足附加条件:=0 = 0,
|
=0
= 20.
代入求得 c1 = 20, c2 = 0.
因此
制动后列车的运动规律为 = −0.2 2 + 20.
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
定解条件：确定通解中任意常数的条件.
例：
2
2
3 2
3 2
3
定解条件
(
=3)
=1
=
+
y= x + .
= 3,
2
2
2
= −0.4 , = −0.2 2 + 1 + 2
=0 =0,
|
=20
=0
例：
= 3,
2
2
= −0.4 ，2y ′′ + y ′ − 4y = . 二阶微分方程
2 + 2 + = 0. 一阶微分方程
微分方程的阶，解
微分方程的解：满足微分方程F x, y, y ′ ， ⋯ y (n) = 0的函数.即将
函数 = 及其导数（或微分）代入微分方程，使得它变为恒
微分方程
微分方程的基本概念
知识点讲解
1.微分方程的定义
2.微分方程的阶,解
3.总结
引 例
例1. 一曲线通过点(1,3)，且该曲线上任一点(, )处的切线 的
斜率为3,求该曲线方程.
解 设所求曲线方程为 = ,
则有
dy
dx
= 3x.
它等价于 = 3, 两端对x积分, = 3,
说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住，以
及制动后列车行驶了多少路程.
微分方程
= −0.4.
含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程.
例：
2y ′′ + y ′ − 4y = ,
2 + 2 + = 0.
常微分方程：只有一个自变量的微分方程.
偏微分方程：有两个或两以上个自变量的微分方程.
常微分方程：
线性微分方程
非线性微分方程
微分方程的定义
线性微分方程：是指关于未知函数及其各阶导数都是一次的（或者未知函
数及其各阶导数之间是一次函数关系），否则称其为非线性微分方程.
线性微分方程的一般形式：
+ −1
−1
+ ⋯ + 1 ′ + () = .
得 =
3 2
2
+ ,
其中C是任意的常数.
根据题目要求, 它还应该满足附加条件=1 = 3.
代入求得 =
3
，因此所求曲线方程为
2
=
3 2
2
+
3
.
2
引 例
例2. 列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时获得加速度
= −0.4/ 2 ,求制动后列车的运动规律.
引 例
解 设列车在制动后秒行驶了米, 即求 s = s(t).
由加速度和位移的关系,
有
2
2
= −0.4,
两次积分,可得 = −0.2 2 + 1 + 2 ,其中1 ，2 为任意常数
根据题目要求, 还应该满足附加条件:=0 = 0,
|
=0
= 20.
代入求得 c1 = 20, c2 = 0.
因此
制动后列车的运动规律为 = −0.2 2 + 20.