圆锥曲线大题集锦精编版
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圆锥曲线大题集锦
1.在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的右焦点,已知
点A (0,-2)与椭圆左顶点关于直线y x =对称,且直线AF 的斜率为
3
. (1)求椭圆Γ的方程;
(2)过点Q (-1,0)的直线l 交椭圆Γ于M ,N 两点,交直线x =-4于点E ,
,MQ QN ME EN λμ==,证明:λμ+为定值.
2已知定圆M :16)3(2
2=++y x ,动圆N 过点)0,3(F 且与圆M 相切,记圆心N 的
轨迹为E 。
(1)求轨迹E 的方程;
(2)设点A ,B ,C 在E 上运动,A 与B 关于原点对称,且CB AC =,当ABC ∆的面积最小时,求直线AB 的方程。
3.已知1F ,2F 分别是椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点,)22
1(,P 是椭圆上一
点,且12PF ,21F F ,22PF
成等差数列. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)已知动直线l 过点2F ,且与椭圆C 交于A B 、两点,试问x 轴上是否存在定点Q ,使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)假设在x 轴上存在点0Q m (,)
,使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立.
①当直线l 的斜率不存在时,A ,(1,B ,
由于(7(1,
(1,2216m m ---=-,解得54m =或3
4
m =;
4.已知定点C (-1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A ,B 两点. (1)若线段AB 中点的横坐标是-1
2
,求直线AB 的方程;
(2)在x 轴上是否存在点M ,使MA MB 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y =k (x +1), 将y =k (x +1)代入x 2+3y 2=5,消去y 整理得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-5=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+>-+-=∆②
.136①,0)53)(13(4362
2
21224k k x x k k k
由线段AB 中点的横坐标是21-
,得2
1
221-=+x x ,解得33±
=k 都满足① 所以直线AB 的方程为013=+-y x 或013=++y x (2)假设在x 轴上存在点M (m ,0),使MA MB ⋅为常数.
(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时,由(1)知x 1+x 2=-6k 2
3k 2+1,x 1x 2=3k 2-53k 2+1. ③
所以MA MB ⋅=(x 1-m )(x 2-m )+y 1y 2=(x 1-m )(x 2-m )+k 2(x 1+1)(x 2+1) =(k 2+1)x 1x 2+(k 2-m )(x 1+x 2)+k 2+m 2. 将③代入,整理得MA MB ⋅=(6m -1)k 2-5
3k 2
+1
+m 2 =
222114(2)(31)23331
m k m m k -+--
++=m 2+2m -13-6m +143(3k 2+1). 注意到MA MB ⋅是与k 无关的常数,从而有6m +14=0,此时73m =-
,此时4
9
MA MB ⋅=. (ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A 、B 的坐标分别为(1-
)、(1-
,,
当73m =-时,也有49MA MB ⋅=.综上,在x 轴上存在定点7
(,0)3
M -使MA MB ⋅为常数.
5设椭圆C :122
22=+b
y a x (a >b >0)的一个顶点与抛物线C :x 2=43y 的焦点重合,F 1,F 2分
别是椭圆的左、右焦点,且离心率e =1
2,过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两
点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若OM →·ON →
=-2,求直线l 的方程;
(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦,MN ∥AB ,求证:|AB |2|MN |为定值.
(1)解 由题意知,椭圆的一个顶点为(0,3),即b =3,e =c a =1
2,∴a =2,
∴椭圆的标准方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)解 由题意可知,直线l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②当斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),且M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x ,得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, x 1+x 2=8k 2
3+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2
,
OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=4k 2-123+4k 2+k 2(4k 2
-123+4k 2-8k 23+4k 2
+1)=-5k 2-12
3+4k 2
=-2,
解得k =±2,故直线l 的方程为y =2(x -1)或y =-2(x -1), 即2x -y -2=0或2x +y -2=0.
(3)证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4),由(2)可得 |MN |=1+k 2
|x 1-x 2|=(1+k 2
)[(x 1+x 2)2
-4x 1x 2]= (1+k 2
)[(8k 23+4k 2)2
-4(4k 2-123+4k 2
)]=
12(k 2+1)
3+4k 2
,
由⎪⎩
⎪⎨⎧==+
kx y y x 1342
2, 消去y 并整理得x 2=123+4k 2
, |AB |=1+k 2|x 3-x 4|=43(1+k 2)3+4k 2
,∴|AB |2
|MN |=48(1+k 2)3+4k 212(k 2+1)3+4k 2
=4,为定值.。