应用概率统计综合作业一

应用概率统计综合作业一
一、填空题每小题2分,共20分 1．已知随机事件A 的概率5.0）（=
A P ,事件
B 的概率6.0）（=B P ,条件概率
8.0）｜（=A B P ,则事件B A 的概率=）（B A
P ．
2．设在三次独立试验中,随机事件A 在每次试验中出现的概率为3
1
,则A 至少出现一次的概率为 19/27 ． 3．设随机事件A,B 及其和事件B A
的概率分别是,和,则积事件B A 的概率
=）（B A P ．
4．一批产品共有10个正品和两个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1/5 ．
5．设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有一件是不合格品,则另1件也是不合格品的概率为 ． 6．设随机变量）,3（～2
σN X ,且3.0)53(=<<
X P ,则
=<)1(X P ．
7．设随机变量X 绝对值不大于1,且81)1-(=
=X P ,4
1
)1(==X P ,则=<<)11-(X P 7/16 ．
8．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧<<=，其他，
01
0，x 2)
(f x x 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
21X
出现的次数,则{}2=Y P 9/64 ． 9．设随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ,3.0)2(==X P ,5.0)3(==X P ,则随机变量X 的分布函数=)(x F fx= x=1
x=2 x=3
0 x 不为1、2、3之中的任一个 ．
10．设随机变量X 的密度函数为)
1(1
)(f
2
x x +=π,求随机变量3
1X
-=Y 的密度函数
=)y (Y f 3/π1+1 y 3. ．
二、选择题每小题2分,共20分
1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币,则恰有2枚正面向上的概率为 D A B C D
2．某人独立地投入三次篮球,每次投中的概率为,则其最可能失败没投中的次数为 A A2 B2或3 C3 D1
3．当随机事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则下列各式中正确的是B A 1)()()(-+≤B P A P C P B 1)()()(-+≥B P A P C P C )()
(AB P C P = D )()(B A P C P =
4．设1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,1)|()|(=+B A P B A P ,则B
A 事件A 和
B 互不相容 B 事件A 和B 互相对立
C 事件A 和B 互不独立
D 事件A 和B 相互独立 5．设A 与B 是两个随机事件,且1)(0<<A P ,0)(>B P ,)|()|(A B P A B P =,则必
有 C A )|()|
(B A P B A P = B )|()|(B A P B A P ≠
C )()()(B P A P AB P =
D )()()(B P A P AB P ≠
6．设随机变量X 的密度函数为)(f x ,且)(f )(f x x =-,)(F x 为X 的分布函数,则对任意实数a ,有B
A dx x f a
⎰-
=0)
(1)-a (F B dx x f a
⎰-=0
)
(2
1
)-a (F C )a (F )-a (F
= D 1)a (F 2)-a (F -= 7．设随机变量X 服从正态分布）,（2
σμN ,则随着σ的增大,概率{}
σμ<-X
P 为 C
A 单调增大
B 单调减少
C 保持不变
D 增减不定
8．设两个随机变量X 和Y 分别服从正态分布）4,（2μN 和）5,（2
μN ,记
{}41-≤=μX P P ,{}52+≥=μX P P ,则 A
A 对任意实数μ,都有21P P =
B 对任意实数μ,都有21P P <
C 只对μ的个别值,才有21P P =
D 对任意实数μ,都有21P P >
9．设随机变量X 服从正态分布）
4,0（N ,则=<)1(X P B A
dx
x e
8
1
2
21-
⎰
π
B
dx
x
e
4
1
041
-
⎰ C
2
121-
e
π
D
dx
x e
2
212
21-
∞
-⎰
π
10．设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≤<≤<=,5,
1,50,251,0x ，0)(F 2
x x x x 则=<<)53(X P C A
254 B 259 C 25
16
D 1 三、10分摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里,并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费,然后一次从口袋口摸出5个棋子,中彩情况如下：
摸棋子 5个白 4个白 3个白
其他
彩金
20元
2元
纪念品价值5角
同乐一次无任何奖品
试计算：
①获得20元彩金的概率； ②获得2元彩金的概率； ③获得纪念品的概率；
④按摸彩1000次统计,赌主可望净赚多少钱
解：1.
2
.
3.
4.
净赚大哟为
1000-692=308元．
四、10分已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-,0,
0,0,)(22x x e Ax x f x 试求：
1常数A ；2);20(，)2(<<=X P X
P 3X 的分布函数;
解答：
1由于∫+∞∞fx d x=1,即
∫0∞ke x d x+∫2014d x=k+12=1
∴k=12
2由于Fx=PXx=∫x∞fx d x,因此
当x<0时,Fx=∫x∞12e x d x=12e x；
当0x<2时,Fx=∫0∞12e x d x+∫x014d x=12+14x；
当2x时,Fx=∫0∞12e x d x+∫2014d x=1
∴Fx=12e x12+14x1,x<0,0x<2,x2
3由于连续型随即变量在任意点处的概率都为0,因此P{X=1}=0
而P{1<X<2}=F2F1=14.
五、10分设10件产品中有5件一级品,3件二级品,2件次品,无放回地抽取,每次取一件,求在取得二级品之前取得一级品的概率;
解：
先取得一级品的概率为
5÷10=1/2
那么当取出一级品再取得二级品的概率就为
3÷10-1=1/3
所以在取二级品之前取得一级品的概率为
1/2×1/3=1/6
六、10分某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X百分制近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的%,试求考生的外语成绩X在60分至84分之间的概率;
.
）
，
（
1
841
Φ
=
Φ
Φ
=
1
（=
）
2
.
977
）
.
（
，
5
）
933
.
解答：
因为F96=∮96-72/x===∮2
所以x=12
成绩在60至84分之间的概
率:F84-F60=∮84-72/12-∮60-72/12=∮1-∮-1=2∮1-1=2×=七、10分设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份;随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出2分;试求：
1先抽出的一份是女生表的概率p；
2若后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q;
解答：
设事件：Hi={抽到的报名表示i区考生的}i=1,2,3；
事件：Hj={第j次抽到的报名表是男生报名表}j=1,2,3.
事件：A={第一次抽到的报名表示女生的}
事件：B={第二次抽到的报名表示男生的}
显然有,抽到三个区的概率是相等的,即：
PH1=PH2=PH3=13
PA|H1=310；
PA|H2=715
PA|H3=525=15
1根据全概率公式有：
PA=PA|H1PH1+PA|H2PH2+PA|H3PH3=13×310+13×715+13×15=2 990
2根据全概率公式,第二次抽到男生的概率为：
PB=pB|H1×PH1+pB|H2×PH2+pB|H3×PH3
显然：pB|H1=710；
pB|H2=815；
pB|H3=2025=45
故：
PB=pB|H1×PH1+pB|H2×PH2+pB|H3×PH3=710×13+815×13+45×13=6190
第一次抽到女生,第二次抽到男生的概率为：
PAB=PAB|H1×PH1+pAB|H2×PH2+pAB|H3×PH3
而
PAB|H1=310×79=730；
PAB|H2=715×814=415；
PAB|H3=525×2024=16
故：
PAB=PAB|H1×PH1+pAB|H2×PH2+pAB|H3×PH3=730×13+415×1 3+16×13=29
根据条件概率公式有：
pA|B=PABpB=29÷6190=2061
即：p=2061
故第一份抽到的是女生的概率为2990,在第二份抽到是男生的前提下,第一次抽到是女生的概率p为2061.
的泊松分八、10分假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t
布,1求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布；2求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障工作8小时的概率q;
解答：
1由泊松过程的定义,时间间隔分布为参数是λ的指数分布.即PT02PN16=0|N8=0=PN16=0/PN8=0=exp-16λ/exp-8λ=exp-8λ。