2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册：第7章 7.2.3 第2课时 三角函数的诱导公式(

π2＋α
＝
1 3
，求
sinπ2＋αcosπ2－α cosπ＋α
＋
sinπ－sinαπc＋osα32π＋α的值．
[解] 原式＝co－s cαossinαα＋si－n αsisninαα＝－sin α－sin α ＝－2sin α． 又cosπ2＋α＝31，所以－sin α＝13． 所以原式＝－2sin α＝23．
[解] (1)f(α)＝－sincoαscαos－αcsoins αα＝cos α． (2)因为f(A)＝cos A＝53， 又A为△ABC的内角， 所以由平方关系，得sin A＝ 1－cos2A＝45， 所以tan A＝csoins AA＝43， 所以tan A－sin A＝34－54＝185．
() () ()
[提示] (1)如tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立． (2)sin(90°＋α)＝cos α． (3)cos52π＋α＝cos2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sin α．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(1)若sin α＝13，则cosπ2－α＝ (2)若cos α＝54，则sinπ2－α＝
[解] (1)f(α)＝－sin－αc·coossααs·in－αcos α＝－cos α． (2)∵cosα－32π＝－sin α，∴sin α＝－51， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－ 1－－152＝－256， ∴f(α)＝2 5 6．
(3)f－313π＝－cos－331π ＝－cos－6×2π＋53π ＝－cos53π＝－cos π3＝－21．
； ．
(1)31 (2)45 [(1)cosπ2－α＝sin α＝31． (2)sinπ2－α＝cos α＝45．]
合作 探究 释疑 难
给值求值
【例1】 (1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值是
．
(2)已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值是
．
(3)已知sin(π＋A)＝－12，则cos32π－A的值是
第7章 三角函数
7.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标 1．能借助单位圆中的三角函数定
核心素养
义推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容，提升学
2．掌握六组诱导公式，能灵活运 生的数学运算核心素养．
用诱导公式解决三角函数式的求
值、化简、证明等问题．(重点)
[提示] 关于直线y＝x对称．
2．诱导公式六 π2＋α型诱导公式(公式六)： sinπ2＋α＝ cos α ； cosπ2＋α＝ －sin α ．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角． (2)sin(90°＋α)＝－cos α． (3)cos52π＋α＝－sin α．
用诱导公式化简求值的方法
1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的
原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，
以保证三角函数名最少.
2对于kπ±α和
π 2
±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变
名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
[跟进训练]
2．已知cos
情景 导学 探新 知
利用诱导公式一～四，将任意范围内的角的三角函数值转化到 [0,2π)后，又如何将角π2，2π间的角转化到0，π2呢？
1．诱导公式五 终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)： sinπ2－α＝ cos α ； cosπ2－α＝ sin α ．
思考1：角π6与角π3的三角函数值有什么关系？ [提示] sin π6＝cos π3＝12，cos π6＝sin π3＝ 23． 思考2：角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？
1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据 诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有
π 3
－
α， π6
＋α；
π 3
＋α，
π6 －α； π4
＋α，
π4 －α等．常见的互补关系有 π3
＋θ，
23π－θ；π4＋θ，34π－θ等．
[跟进训练] 1．已知cosα＋π6＝35，求sinα＋23π的值． [解] ∵α＋23π＝α＋π6＋π2， ∴sinα＋23π＝sinα＋π6＋π2 ＝cosα＋π6 ＝35．
利用诱导公式化简求值
【例2】 已知f(α)＝sinα－co3sπ－cπo－s2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π． (1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cosα－32π＝15，求f(α)的值； (3)若α＝－331π，求f(α)的值． [思路点拨] 利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角 函数关系求(2)．
诱导公式在三角形中的应用
【例3】
在△ABC中，sin
A＋B－C 2
＝sin
A－B＋C 2
，试判断
△ABC的形状．
[思路点拨]
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B． 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B， ∴sinπ2－C＝sinπ2－B， ∴cos C＝cos B． 又B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形．
．
[思路点拨] 从已知角和待求角间的关系入手，活用－31 (3)－12 [(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2， ∴π6＋α＝π2－π3－α， ∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12．
(2)∵sinα－π4＝13，∴sinπ4－α＝－13． 又∵π4－α＋π4＋α＝π2， ∴cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝－31． (3)sin(π＋A)＝－sin A＝－21， cos32π－A＝cosπ＋π2－A ＝－cosπ2－A＝－sin A＝－21．]
1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝ π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．
2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A ＋B)＝－tan C；sin B＋2 C＝cosA2；cosA＋2 C＝sinB2．
[跟进训练] 3．已知f(α)＝sinπc－osαπc＋osα－siαn－sinαπ2 ＋α． (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝35，求tan A－sin A的值．