从一个特例谈数的整除
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口 ＝０ １ ＋ａ ０
一
事实上 ， ａ＝ａａ …ａ ａ ， 设 ｎ Ｉ。 表示成 １ 的形式为 ： ０
ｌ
１ ＋… ａ １ ０一 ｌ ０＋ａ ． ０
因为 １ ３ １ 为整数 ，＝１２ ）即 ３Ｉ １ １ ， ０ ＝ ｑ＋ （ ｉ ，…ｎ ， （０ 一 ）代入 ａ 得
学，０ ０ ３ ：５ ． ２０ （ ）４ ４６ ［ ］ 熊曾润． 内接 闭线 的 欧拉 圆及 其性 质 ［ ］ 中学教 ５ 圆 Ｊ． 研 （ 学） １９ （ １ ：３３ ． 数 ，９ ９ １ ） ３ － ４
点集 关 于点 ０ 的 ｋ 号 心 为 Ｏ， ＱＭ ∥ ｏ ｊ且 ， ｒ则 ｊ Ｐ，
２０ ０ ８年第 １ 期 １
所 以 ３Ｉ ， ａ即
３ｌ ａ ＋ａ一 ＋… ＋ ｌ ａ ） （ １ ａ ＋ ０．
而（ ｎ ＋ ＋ 。 ％） ａ的各数位数字之和 ， ｌ １ １ ， 最小取 １如果任意正 整数 ＰＩ １ ） ｍ为整 除式 ｏ＋ … ａ 为 ３ （０ 一 ）ｎ ． （０ 一１ （
个位起每 ｍ位分节所组成 的数ａ ” Ｉ０ａ ａａ ， ｂ， ， ，ｂ …为偶数节 的数 （ 同） 则 下 ，
ａ＝ ３ ） ｌ３ １ ） ａ （ｑ ＋１ ＋ａ一（ ｑ一 ＋１ ＋… ＋ａ （ｑ ＋１ ＝３ ａｑ ａ －ｑ一 ＋… ＋ ｌ１ ＋（ ｌ １３ ｌ ）＋ （ ． ＋ ｎ１ ｌ 口ｇ ） ａ ＋ａ一 ＋… ＋ Ｉ ａ ） ａ ＋ ０，
・
２ ４・
中学教研 （ 学） 数
ｋ
Ｉｉ Ｉ １ １ ＱＭ ＝ ０ ．
从
一
个
特
例
谈
数
的
整
除
●夏 平 wenku.baidu.com
（ 平昌县中小学教研室
四川平昌 ６６０ ） ３４０
众所周知 ， 一个 整数 ａ能被 ３整除 的特征是 ： ａ的各 位数字之和能被 ３整 除．
一
般地 ， 于任 意正 整数 Ｐａ能被 Ｐ整除 的特征是 什么呢？本文从这个特 例 ， 出Ｐ能否整除 。 对 ， 推证 的判断方法．
证明 由题设可得 ， 日满足 点
＝ ，
点 只 满 足
＝
，
（） ３
（） ８
Ｅ１
点 Ｈ 满 建 ｉ
比较式 （ ） ７ 与式 （ ） 可得 ８，
ｋ ｉ ＝ｋ Ｑ ｉ ｌ ！ ２ ｐ， Ｑｌ ｌ ：
回 ＝∑ 一 ． （ ∑
由式 （ ） 式 （ ） ３ ， ４ 得
（ ４ ）
从而 ＱＭｆ ． Ｉｉ ＝ ｌ Ｉｆ Ｉ Ｑ ￣ ＭＩ ．
命题得证．
一ｌ
＝ 一 ＝
一ｌ
容易验证 ， 在定理 ３中， ｋ ＝ ， 令 。 １ 即可得本 文 的定 理 １ 和定 理 ２ 至此 ， ． 将文献 ［ ］ １ 中的定理 ２３４ ，， 进行 统一 推广 ， 得 到本 文的命题．
，
［］ 熊曾润． 面闭折 线 的一个优 美性 质 的推 广 ［ ］ ２ 平 Ｊ ．中 学数 学 ， ０ （２ ： － ． ２ ５ １ ）３ ３ ０ ４５
［ ］ 熊曾润． 面 闭折线 趣探 ［ ． ３ 平 Ｍ］ 北京 ： 国工人 出版 中
社 ．Ｏ ２ ２ｏ ．
［ ］ 熊曾润 ． 内接 闭折 线 的垂心及 其性 质 ［ ］ 中学数 ４ 圆 Ｊ．
因 此
： ～
亡薹 一， （ 一１ｉ 芝 ｔ ＝ ’
一
ｊ ＿ ｋ ｌ，
ｉ＝ ｌ
一
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点集 关 于点 Ｏ的 ｋ 心 为 Ｐ， 集 的垂 心 为 ， 号 ｊ点 则
（） ７
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从而 Ａ ／Ｏ ｊ Ｉ ＨＩ ．Ｏ ｊ 命题得证． ｉ ／ Ｍ ， Ａ ＝ｊ Ｍ Ｉ Ｈ 且 ｉ ｝ Ｉ ．
易知 ， 在定理 １中 ， ｋ＝ 一１ 就 可得 到文献 ［ ］ 令 ２， ， １ 中 的定理 ２和定理 ３ 可见文献 ［ ］ ， １ 中的定理 ２ 定理 ３是本文 、 定理 １的特例． 定理 ２ 设 闭折线 Ａ（ ） ｎ 内接 于 ０Ｄ， 其垂 心 为 日， 其顶
∑ ㈦一 （） ∑ ∑ ５
又 为点集 关 于点 ０的 ｋ号心 ， 则
ｏ ： ｉ ｐ 芝Ｏ ； Ａ ．
比较式 （ ） ５ 与式（ ） 可得 ６，
＝
（ ６ ）
参
考
文
献
Ｊ ｝
，
熊曾润． 诺定理的 ３ 卡 种有趣推 广 ［］ 中学教研 （ Ｊ． 数
学） ２ ０ （ ）２ －９ ，０ ８ ５ ：８２ ．
成立的最小正整数 ， 下同） 那 么判断 Ｐ能否整除 ａ有同样的方法 吗？通过探究发现 ： ，
定理 １ 如果正整数 ＰＩ １ １ ， （０ 一 ）那么整数 ａ 能被 Ｐ 整除 的特征是 ： ａ的个位起 ， ｍ位分节所组成的数之和能被 从 每
Ｐ整 除 ．
证明 因为ＰＩ １ 一 ）所以 １ ｐ １ １不难验证， ＝ ｈ ＋ ， １ ＝ ｈ ＋ ，。 ２ ， （０ １ ， ０ ＝ ｈ ＋ ． １ ０ ｐ２ １…， ０ ｐ ， １ｈ ， …ｈ 为整数． 从而从 ａ 的
从而 ＨＨ Ｐ 且Ｉ ｊ ＃Ｏ ￣ 川 ＝ Ｉ １ 后Ｄ ． 命题得证．
易知在定理 ２中 ， ｍ ＝ ， ２， 令 ２ ｋ＝ 可得 文献 ［ ］ 的定 １中 理 ４ 因此它是本文定理 ２的一种 推广． ， 笔者又提 出以上各命题 的统一推广 ： 定理 ３ 设闭折线 Ａ（ ） ｎ 内接 于 （Ｏ， Ｄ 其顶 点全 集 关 于点 ０的 ｋ 号 心为 ， 真子集 关 于点 ０的 号心为 其
２０ ０ ８年第 １ １期 Ｍｉ 是 满
＝
中学教研 （ 学） 数
让 明 易 得 点 Ｍ 炳 足
・２ ３・
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— — — —
（ ２ ）
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＝
百 １
，
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＋ —— —— —
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２０ ０ ８年第 １ 期 １
所 以 ３Ｉ ， ａ即
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个位起每 ｍ位分节所组成 的数ａ ” Ｉ０ａ ａａ ， ｂ， ， ，ｂ …为偶数节 的数 （ 同） 则 下 ，
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・
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中学教研 （ 学） 数
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Ｉｉ Ｉ １ １ ＱＭ ＝ ０ ．
从
一
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●夏 平 wenku.baidu.com
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四川平昌 ６６０ ） ３４０
众所周知 ， 一个 整数 ａ能被 ３整除 的特征是 ： ａ的各 位数字之和能被 ３整 除．
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由式 （ ） 式 （ ） ３ ， ４ 得
（ ４ ）
从而 ＱＭｆ ． Ｉｉ ＝ ｌ Ｉｆ Ｉ Ｑ ￣ ＭＩ ．
命题得证．
一ｌ
＝ 一 ＝
一ｌ
容易验证 ， 在定理 ３中， ｋ ＝ ， 令 。 １ 即可得本 文 的定 理 １ 和定 理 ２ 至此 ， ． 将文献 ［ ］ １ 中的定理 ２３４ ，， 进行 统一 推广 ， 得 到本 文的命题．
，
［］ 熊曾润． 面闭折 线 的一个优 美性 质 的推 广 ［ ］ ２ 平 Ｊ ．中 学数 学 ， ０ （２ ： － ． ２ ５ １ ）３ ３ ０ ４５
［ ］ 熊曾润． 面 闭折线 趣探 ［ ． ３ 平 Ｍ］ 北京 ： 国工人 出版 中
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熊曾润． 诺定理的 ３ 卡 种有趣推 广 ［］ 中学教研 （ Ｊ． 数
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Ｐ整 除 ．
证明 因为ＰＩ １ 一 ）所以 １ ｐ １ １不难验证， ＝ ｈ ＋ ， １ ＝ ｈ ＋ ，。 ２ ， （０ １ ， ０ ＝ ｈ ＋ ． １ ０ ｐ２ １…， ０ ｐ ， １ｈ ， …ｈ 为整数． 从而从 ａ 的
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