随机信号
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其中，分布函数和概率密度函数提供了 足够的信息，来给出所有可能出现的时间的 概率，因而是对随机过程进行描述的最强的 特征，被称为“全局特征”。
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
图3-12 瑞利分布
3.9 循环平稳随机过程
在这一小节中讨论两个随机过程的和的 功率谱密度。
互功率谱密度不具有类似功率谱密度那 样的物理意义。
与互相关函数在时间域上描述两个平稳 过程之间的相关性类似，互功率谱密度在频 率域上描述了两个平稳过程之间的相关性。
在实际应用中，考虑多个平稳过程之和 的频率特性时，就要用到互功率谱密度，如 式（3.54）的情况。
3.4.2 维纳—辛钦定理
图3-3 积分区域
图3-4 对v积分
即平稳过程的自相关函数与功率谱密度 是一对傅氏变换对。
维纳-辛钦定理提供了一种求功率谱密度 的方法。
3.4.3 平稳随机过程功率谱密度的 性质
3.4.4 平稳随机过程的和
我们经常遇到两个平稳随机过程的和。 例如，信号通过加性噪声信道，信道的输出 就是信号与噪声的和。
这样的信号我们称之为随机信号。 随机信号的例子之一是热噪声。 在导体中，比如电阻，自由电子的布朗 运动产生电流信号。
图3-1 随机信号的样本函数
随机信号也是有规律的，这些规律是统 计规律。
我们用统计的方法对随机信号进行研究， 这也是讨论随机信号所用的方法与讨论确定 信号所用的方法之间的区别。
例如，对于确定信号，通常用它的傅氏 变换来分析其频域特性；对于随机信号，其 一次观测的样本是确定函数，但是对于随机 过程本身来说，其不确定性导致通常意义上 的傅氏变换不能存在，因而其频域特性不能 用信号本身的傅氏变换来分析，实际上我们 使用其功率谱密度来进行类似的分析。
平稳随机过程的统计特性与时间原点的 选定无关。
只要满足一些较宽的条件（这些条件见 各态历经定理，请参考关于“概率论与随机过 程”的入门书籍），平稳随机过程及其函数的 统计平均（集平均），可以用一个样本函数 在整个时间轴上的时间平均值来代替。
1．样函数的时间平均值
2．均值各态历经随机过程
3．自相关各态历经随机过程
3.5 高斯过程
– 3.5.1 定义 – 3.5.2 性质 – 3.5.3 一维高斯概率密度函数
高斯过程是通信系统中最常用到的一个随机过程。 导体中，自由电子随机运动，运动的方向是随 机的，运动的速度是导体绝对温度的函数，称为热 运动。 单个运动的电子可以看成是一个微小的电流， 方向大小都是随机的。 所有的电子热运动引起的微小电流的和，就是 导体的热噪声。 特定时刻的热噪声可以看成是大量的独立同分 布（互相之间独立，有相同的分布）随机变量的和， 根据中心极限定理，这个和就是一个高斯随机变量， 因而热噪声是高斯过程。
图3-9 窄带信号的功率谱密度
通信系统中，常见的一种窄带随机过程 是高斯白噪声通过带通滤波器的输出。
在分析通信系统时，作为对实际噪声情 况的一种近似，是一种常用噪声模型，如图3 -10所示，接下来我们讨论这种窄带过程。
图3-10 白噪声通过带通滤波器的输出的功率谱密度
图3-11 同相分量和正交分量的功率谱密度
例如，白过程可以服从高斯分布特性， 也可以服从瑞利分布特性。
3.6.2 高斯白噪声
3.7 随机过程和线性系统
因而我 可以得到 ：随机 程通 LTI 系 的 出仍然是随机 程。
自然，我 关心 出随机 程具有什么 的性 。
3.8 窄带平稳随机过程
我们知道，高斯变量的线性和仍然是高 斯变量，因而可以得出这个性质。
3.5.3 一维高斯概率密度函数
图3-5 正态概率密度函数，均值为零
图3-6 概率积分函数
图3-7 误差函数和互补误差函数
3.6 白噪声与高斯白噪声
– 3.6.1 白噪声 – 3.6.2 高斯白噪声
3.6.1 白噪声
图3-2 例3.5图
3.4 平稳过程的功率谱密度
– 3.4.1 功率谱密度 – 3.4.2 维纳—辛钦定理 – 3.4.3 平稳随机过程功率谱密度的性质 – 3.4.4 平稳随机过程的和
3.4.1 功率谱密度
在 确定函数的 候，我 出了确定 函数的功率 密度的定 。
一小 把功率 密度的概念推广到平 随机 程。
如果信号能够用确定的时间函数来描述， 就是确定信号。
除此以外，还有一些信号是不确定的 （随机的），不能够用确定的时间函数来描述。
这样的信号可能取值于一个集合，而这 个集合由很多函数组成，每个函数是一个确 定的时间函数。
集合中函数的数量可能是一个有限值， 也可能是无穷大。
信号实现的时候，也就是发送或者接收 的时候，究竟取这个集合中的哪个函数，是 不确定的（随机的）。
3.1.2 统计平均
3.1.3 矩
3.1.4 常用局部特征
3.2 两个或者两个以上随机过程的联合 特征
– 3.2.1 联合特征 – 3.2.2 独立和不相关
经常需要同时考虑两个或者两个以上的 随机过程，如信号和噪声经常同时出现，这 时不仅要考虑每个随机过程的特征，还要考 虑几个随机过程之间的联合特征。
图3-8 白随机过程的功率谱密度
白过程的功率谱密度在全部频率范围内 为常数，其功率趋于无穷，这样的随机信号 在物理上是不存在的。
通常白过程作为一个数学模型来描述噪 声，或者作为线性时不变系统的输入来得到 物理上可以实现的信号，可以简化分析。
白过程的定义，只给定了功率谱密度的 特性，对其服从的概率分布并没有做出限制。
4．宽各态历经随机过程
5．严各态历经随机过程
于各 程，只要根据其一个 函数， 便可得到其数字特征。 高斯 程参 3.5 。
各 性也称遍 性，其含 是随机 程 的任一 ， 了随机 程的所有的可能状 。
意味着我 可以用随机 程的一个 的 平均来 算随机 程的 平均。
功率谱密度从某种意义上来说，是随机 过程的统计特性之一。
总之，我们用统计特性来描述随机过程。 这些统计特性在随特征 – 3.1.2 统计平均 – 3.1.3 矩 – 3.1.4 常用局部特征
随机过程，我们用其特征来描述。这些 特征包括累积分布函数、概率密度函数以及 均值、方差、相关函数等。
本 限于 各 随机 程，除非 特 声明，各 程均指 各 随机 程。
3.3.4 平稳随机过程的性质
例3.5 判断图3-2中的4个函数，哪个一 定不是某个平稳随机过程的自相关函数。
解：根据相关函数的性质，图3-2（b）、 （c）、（d）一定不是自相关函数。
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
图3-12 瑞利分布
3.9 循环平稳随机过程
在这一小节中讨论两个随机过程的和的 功率谱密度。
互功率谱密度不具有类似功率谱密度那 样的物理意义。
与互相关函数在时间域上描述两个平稳 过程之间的相关性类似，互功率谱密度在频 率域上描述了两个平稳过程之间的相关性。
在实际应用中，考虑多个平稳过程之和 的频率特性时，就要用到互功率谱密度，如 式（3.54）的情况。
3.4.2 维纳—辛钦定理
图3-3 积分区域
图3-4 对v积分
即平稳过程的自相关函数与功率谱密度 是一对傅氏变换对。
维纳-辛钦定理提供了一种求功率谱密度 的方法。
3.4.3 平稳随机过程功率谱密度的 性质
3.4.4 平稳随机过程的和
我们经常遇到两个平稳随机过程的和。 例如，信号通过加性噪声信道，信道的输出 就是信号与噪声的和。
这样的信号我们称之为随机信号。 随机信号的例子之一是热噪声。 在导体中，比如电阻，自由电子的布朗 运动产生电流信号。
图3-1 随机信号的样本函数
随机信号也是有规律的，这些规律是统 计规律。
我们用统计的方法对随机信号进行研究， 这也是讨论随机信号所用的方法与讨论确定 信号所用的方法之间的区别。
例如，对于确定信号，通常用它的傅氏 变换来分析其频域特性；对于随机信号，其 一次观测的样本是确定函数，但是对于随机 过程本身来说，其不确定性导致通常意义上 的傅氏变换不能存在，因而其频域特性不能 用信号本身的傅氏变换来分析，实际上我们 使用其功率谱密度来进行类似的分析。
平稳随机过程的统计特性与时间原点的 选定无关。
只要满足一些较宽的条件（这些条件见 各态历经定理，请参考关于“概率论与随机过 程”的入门书籍），平稳随机过程及其函数的 统计平均（集平均），可以用一个样本函数 在整个时间轴上的时间平均值来代替。
1．样函数的时间平均值
2．均值各态历经随机过程
3．自相关各态历经随机过程
3.5 高斯过程
– 3.5.1 定义 – 3.5.2 性质 – 3.5.3 一维高斯概率密度函数
高斯过程是通信系统中最常用到的一个随机过程。 导体中，自由电子随机运动，运动的方向是随 机的，运动的速度是导体绝对温度的函数，称为热 运动。 单个运动的电子可以看成是一个微小的电流， 方向大小都是随机的。 所有的电子热运动引起的微小电流的和，就是 导体的热噪声。 特定时刻的热噪声可以看成是大量的独立同分 布（互相之间独立，有相同的分布）随机变量的和， 根据中心极限定理，这个和就是一个高斯随机变量， 因而热噪声是高斯过程。
图3-9 窄带信号的功率谱密度
通信系统中，常见的一种窄带随机过程 是高斯白噪声通过带通滤波器的输出。
在分析通信系统时，作为对实际噪声情 况的一种近似，是一种常用噪声模型，如图3 -10所示，接下来我们讨论这种窄带过程。
图3-10 白噪声通过带通滤波器的输出的功率谱密度
图3-11 同相分量和正交分量的功率谱密度
例如，白过程可以服从高斯分布特性， 也可以服从瑞利分布特性。
3.6.2 高斯白噪声
3.7 随机过程和线性系统
因而我 可以得到 ：随机 程通 LTI 系 的 出仍然是随机 程。
自然，我 关心 出随机 程具有什么 的性 。
3.8 窄带平稳随机过程
我们知道，高斯变量的线性和仍然是高 斯变量，因而可以得出这个性质。
3.5.3 一维高斯概率密度函数
图3-5 正态概率密度函数，均值为零
图3-6 概率积分函数
图3-7 误差函数和互补误差函数
3.6 白噪声与高斯白噪声
– 3.6.1 白噪声 – 3.6.2 高斯白噪声
3.6.1 白噪声
图3-2 例3.5图
3.4 平稳过程的功率谱密度
– 3.4.1 功率谱密度 – 3.4.2 维纳—辛钦定理 – 3.4.3 平稳随机过程功率谱密度的性质 – 3.4.4 平稳随机过程的和
3.4.1 功率谱密度
在 确定函数的 候，我 出了确定 函数的功率 密度的定 。
一小 把功率 密度的概念推广到平 随机 程。
如果信号能够用确定的时间函数来描述， 就是确定信号。
除此以外，还有一些信号是不确定的 （随机的），不能够用确定的时间函数来描述。
这样的信号可能取值于一个集合，而这 个集合由很多函数组成，每个函数是一个确 定的时间函数。
集合中函数的数量可能是一个有限值， 也可能是无穷大。
信号实现的时候，也就是发送或者接收 的时候，究竟取这个集合中的哪个函数，是 不确定的（随机的）。
3.1.2 统计平均
3.1.3 矩
3.1.4 常用局部特征
3.2 两个或者两个以上随机过程的联合 特征
– 3.2.1 联合特征 – 3.2.2 独立和不相关
经常需要同时考虑两个或者两个以上的 随机过程，如信号和噪声经常同时出现，这 时不仅要考虑每个随机过程的特征，还要考 虑几个随机过程之间的联合特征。
图3-8 白随机过程的功率谱密度
白过程的功率谱密度在全部频率范围内 为常数，其功率趋于无穷，这样的随机信号 在物理上是不存在的。
通常白过程作为一个数学模型来描述噪 声，或者作为线性时不变系统的输入来得到 物理上可以实现的信号，可以简化分析。
白过程的定义，只给定了功率谱密度的 特性，对其服从的概率分布并没有做出限制。
4．宽各态历经随机过程
5．严各态历经随机过程
于各 程，只要根据其一个 函数， 便可得到其数字特征。 高斯 程参 3.5 。
各 性也称遍 性，其含 是随机 程 的任一 ， 了随机 程的所有的可能状 。
意味着我 可以用随机 程的一个 的 平均来 算随机 程的 平均。
功率谱密度从某种意义上来说，是随机 过程的统计特性之一。
总之，我们用统计特性来描述随机过程。 这些统计特性在随特征 – 3.1.2 统计平均 – 3.1.3 矩 – 3.1.4 常用局部特征
随机过程，我们用其特征来描述。这些 特征包括累积分布函数、概率密度函数以及 均值、方差、相关函数等。
本 限于 各 随机 程，除非 特 声明，各 程均指 各 随机 程。
3.3.4 平稳随机过程的性质
例3.5 判断图3-2中的4个函数，哪个一 定不是某个平稳随机过程的自相关函数。
解：根据相关函数的性质，图3-2（b）、 （c）、（d）一定不是自相关函数。