正弦函数、余弦函数的性质(一)

题型 3◆正弦函数、余弦函数周期性、奇偶性的应用 典例 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正 周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝12sin x，求 f53π的值． 解：因为 f(x)的最小正周期是 π， 所以 f53π＝f53π－2π＝f－π3. 因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以 f－π3＝fπ3＝12sin π3＝ 43.
第五章
三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课时1 正弦函数、余弦函数的性质(一)
函数的周期性是函数性质的一个重要方面，而三角函数恰好是周期函数 的典型代表，由正弦函数、余弦函数的图象的对称性，联想到正弦函数、 余弦函数的奇偶性，正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性的研究为进一 步研究 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换打下基础． 本节课从正弦函数、余弦函数的图象出发，引入函数周期性的概念，并 介绍了 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)型函数周期的计算方法，根据正 弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称及诱导公式三得出正弦函 数和余弦函数的奇偶性．
C．π
D．2
解析：T＝2ππ＝2.
典例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f1x，则 f(x)的周期为
(B) A．2
B．4
C．6 解析：因为 f(x＋2)＝－f1x，
D．1
所以 f(x＋4)＝－fx＋1 2＝－－1f1x＝f(x)．
所以 f(x)的周期为 4.
求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数， A≠0，ω≠0)的函数，T＝|2ωπ|. (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
设函数 f(x)＝3sinωx＋π6，ω＞0，x∈R，且以π2为最小正周期．若 α 为第 四象限的角，且 fα4＋1π2＝95，则 sin α 的值为 －45 .
解析：因为 f(x)的最小正周期为π2，ω＞0，所以 ω＝2ππ＝4. 2
所以 f(x)＝3sin4x＋π6. 因为 fα4＋1π2＝3sinα＋π3＋π6＝3cos α＝95，所以 cos α＝35. 又 α 为第四象限的角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－45.
正数 ，那么这个最小 正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇 函数
偶 函数
题型 1◆函数的周期
典例 1 A．6
函数 f(x)＝－2sinπx＋π3的最小正周期为( D ) B．2π
π3＝－
3 2.
2．对于任意的 x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)，且 f(1)＝2，则 f(5)＝ 2 .
题型 2◆正、余弦函数的奇偶性及其应用 典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xcos(π＋x)； (2)f(x)＝lg(sin x＋ sin2x＋1)．
解：(1)f(x)的定义域为 R.因为 f(x)＝－xcos x， 所以 f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcos x＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为 R.因为 f(－x)＋f(x)＝lg[sin(－x)＋ sin2－x＋1]＋ lg(sin x＋ sin2x＋1)＝lg(sin2x＋1－sin2x)＝0，即 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x) 为奇函数．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－2cos 3x； (2)f(x)＝xsin(x＋π)．
解：(1)函数的定义域为 R，且 f(－x)＝－2cos[3(－x)]＝－2cos 3x＝f(x)， 所以 f(x)＝－2cos 3x 为偶函数． (2)函数的定义域为 R，且 f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x， 所以 f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)， 故 f(x)＝xsin(x＋π)为偶函数．
1．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个 非零 常 数 T，使得对 每一个 x∈D 都有 x＋T∈D，且 f(x＋T)＝ f(x) ，那么函 数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的 周期 ． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的
教学时，建议教师让学生从图象出发，自主分析图象特征，自主归纳周 期性、周期公式；在自主归纳奇偶性的基础上进一步归纳对称中心、对 称轴的表达式．体会观察、分析、归纳、应用的数学学习和研究过程．
一、导入新课 大家有没有听过这样的一个故事，山里有个庙，庙里有个老和尚和小和 尚，老和尚给小和尚讲故事，讲的故事是：山里有个庙，庙里有个老和 尚和小和尚，老和尚给小和尚讲故事，讲的故事是：山里有个庙，庙里 有个老和尚和小和尚，老和尚给小和尚讲故事……大家笑过以后想一想 这里蕴含了什么样的数学知识？这在数学中叫做周期性，那么三角函数 的周期是多少呢？三角函数还有没有其他的性质呢？让我们开始今天正 弦函数、余弦函数的性质的学习吧！
二、提出问题 1．观察正弦函数、余弦函数的图象，函数的取值每隔多少会重复出现？ 这个间隔唯一吗？ 2．观察正弦函数、余弦函数的图象，是否关于原点或 y 轴对称？这样的 函数叫做什么函数？ 3．观察正弦函数、余弦函数的图象，对称点、对称轴唯一吗？怎样表示 这些对称点和对称轴？
[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．(数学抽象) 2. 会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(数学运算) 3.掌握 函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(逻辑 推理)
[题点延伸]
若本典例的条件变为奇函数，则
f53π＝ －
3 4
.
解析：因为 f(x)的最小正周期是 π，所以 f53π＝f53π－2π＝f－π3.因为 f(x)
是
R
上的奇π3＝－
3 4.
利用周期性、奇偶性求函数值 利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正整数个周期，把函数 化简，再结合函数的奇偶性等性质求解．
1．已知函数 f(x)＝sinωx＋π5(ω>0)的最小正周期为 2，则 f1157的值为( D )
A．12
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析：函数 f(x)＝sinωx＋π5(ω>0)的最小正周期为 2，则2ωπ＝2，解得 ω＝
π，所以 f1175＝sin1175π＋π5＝sin
43π＝－sin