优质金卷：江苏省海安中学2017-2018学年高一(创新班)下学期期中考试数学试题(解析版)

1．[1，2]【解析】分析：根据一元二次不等式，求解集合，再利用补集的运算即可求解．
详解：由集合或，
所以，即．
点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．1【解析】分析：利用复数的运算法则，以及模的计算公式，即可求解．
详解：由，则，所以．
点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数模的计算，其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．【解析】分析：根据三角函数的诱导公式，即可求解对应的函数值．
详解：由，
则．
点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题，其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值．
详解：由，
则．
点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．
点睛：本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
7．156【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果．
详解：可分为两类：
（1）当末位为时，可以组成个；
（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个，
共可以组成种，
由分类计数原理可得，共可以组成个没有重复数字的四位偶数．
点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位．
8．【解析】分析：由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式．
详解：由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为“”．
点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
9．【解析】分析：函数有零点是函数图象的交点，利用函数和的图象，即可求出参数的取值范围．
详解：由题意，函数有一个零点，
即函数和
的图象只有一个交点， 如图所示，直线与半圆相切的直线方程为
，
又过
点的直线为
， 所以满足条件的的取值范围是
或
，即
．
点睛：本题主要考查了函数零点的应用问题，其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力．
考点：等差数列和等比数列的性质.
11．1[,1]
8-【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(0,1),(1,1)A B C --,因此
当0z >时
z y x =
过点C 时，z 取最大值1，当0z <时z y x =与直线210x y -+=相切时z 取最小值1
8-
，
当0x =时0z =，综上目标函数z xy =的取值范围为1
[,1]
8-
考点：线性规划
12．【解析】分析：用
和表示出得出，在根据和的关
系计算
，从而得到
的长．
详解：因为,
所以，所以
所以，
因为，
所以,
所以，
所以，所以
， 所以
，所以
，即
．
点睛： 本题考查了平面向量的基本定理，及平面向量的数量积的运算问题，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x
f x
g x e
=
， ()()0f x f x '+<构造
()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x
=
， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等
14．【解析】分析：由已知条件可得是方程的正根，求出，打入变形化简
利用基本不等式，即可求解． 详解：由
，所以
，
所以是方程的正根，所以
，
所以
，当且仅当等号成立，
所以的最小值为．
点睛：本题主要考查了基本不等式求最值，其中解答中根据题设条件，把实数转化为是方程
的正根求得，代入
使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以
及分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题． 15．（1）详见解析（2）详见解析
试题解析：
（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD ，
所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分
所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，
所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分 所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，
所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分
又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C D
AD D =，
所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分 考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16．（1）
（2）△ABC 为等边三角形
【解析】分析：（1）由
，得
，利用三角恒等变换的公式，求解
，进而求解角的大小；
（2）由余弦定理，得
和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
，即可判定当
时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,所以. 所以，即
，
即 .
因为 , 所以.
故
，
.
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
17．（1）2214x y +=（2）点P 横坐标
08
(,2]
5x ∈，EF 的最大值2． 【解析】
试题分析：（1）先根据椭圆性质确定两个独立条件：1b =
，
c e a =
=24a =（2）根据题
意用点P 横坐标表示,M N 两点坐标：设
000(,)(02)P x y x <≤，则可求得
00
4(1)
(4,
1)y M x -+，
00
4(1)(4,
1)y N x +-，因而可得以MN 为直径的圆222
00044
(4)()(1)y x y x x -+-=-，进而得到与x 轴弦长，
此时需要利用220014x y +=
进行化简得EF =，因此可得点P 横坐标08(,2]5x ∈，EF 的最大值2．
直线PB 与直线4x =的交点为
00
4(1)
(4,
1)y N x +-，
线段MN 的中点
04(4,
)y x ，
所以圆的方程为
22200044
(4)()(1)y x y x x -+-
=-，令0y =，
则22
20200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以
202
0114y x -=-， 所以
20
8
(4)50x x -+
-=，
因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，
所以
0850x -
>，解得
08(,2]5x ∈． 设交点坐标
12(,0),(,0)
x x
，则
12||x x -=（08
25x <≤），
所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2． 考点：直线与圆位置关系，两直线交点
18．（1）（2）见解析（3）为使养殖区面积最大，应选择方案一．
详解：解：（1）设OP ＝r ，则l ＝r·2θ，即r ＝， 所以 S1＝lr ＝，θ∈(0，)．
(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以 l2≥2ab－2abcos2θ． 所以ab≤
，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．
所以S △OCD ＝absin2θ≤＝
，即S2＝
．
(3)
－
＝ (tan θ－θ)，θ∈(0，)，．
令f(θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(
)'－1＝
．
当θ∈(0，)时，f '(θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)， 总有f(θ)＞f(0)＝0．所以
－
＞0，得S1＞S2．
答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分)
点睛：本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，及导数在函数中的综合应用，其中正确理解题意，利用扇形的弧长公式和面积公式建立函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
19．（1）①00x =或01x =.②()f x 的最大值为0.（2）见解析.
【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点()01，
代入即求出0x 的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾，从而问题可得证.
将点()1,0代入上式并整理得()2
001x x -= ()()000132x x x --，
解得00x =或01x =.
②若a b >，则令()2
'320f x ax bx =-=，解得0x =或213b
x a
=
<. （ⅰ）若0b ≤，则当[]0,1x ∈时， ()'0f x ≥， 所以()f x 为区间[]0,1上的增函数， 从而()f x 的最大值为()10f =. （ii ）若0b >，列表：
所以()f x 的最大值为()10f =. 综上， ()f x 的最大值为0.
（2）假设存在实数,,a b c ，使得()11f x x =与()22f x x =同时成立. 不妨设12x x <，则()()12f x f x <.
因为1x x =， 2x x =为()f x 的两个极值点， 所以()2
'32f x ax bx c =-+ ()()123a x x x x =--.
因为0a >，所以当[]12,x x x ∈时， ()'0f x ≤，
故()f x 为区间[]12,x x 上的减函数，
从而()()12f x f x >，这与()()12f x f x <矛盾，
故假设不成立.
既不存在实数a ， b ， c ，使得()11f x x =， ()22f x x =同时成立.
点睛：此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在函数的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<；4.根据3的结果确定函数的单调区间.
20．（1）（2）（3）1和3.
试题解析：（1）由 得，两式作差得，即
.
，，所以 ，，则 ，所以数列是首
项为公比为的等比数列，所以 ；
（2）由题意，即， 所以，其中，， 所以，
，
，所以，，；
（3）由 得，
，
，
，
所以，即，
所以，
，当时，，即，
所以当时，递减，所以对任意正整数都有；
综上可得，满足等式的正整数的值为和.。