八年级数学下册18平行四边形本章小结学案新版新人教版7

本章小结
学习目标
1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点)
2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点)
3.总结本章的重要思想方法.
学习过程
一、合作探究
阅读第十八章全章内容,回答下列问题:
1.填写下表:总结
边
平行,相等
角
1.两
组对边分
别;
2.两组对
边分别;
3.一组对边
且;
4.两组对角分别;
5.两条对角线互相.
1.有角是
直角的四边形;
2.有角是直角
的;
3.相等
的.
的四边
形
2
相
行四边
形
3
边
行四边
形
4
线
一组对角的
四边形
只是
面积S=S=S=S=
2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它
们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件.
3.三角形的中位线及其性质是什么?
4.直角三角形斜边上的中线有何性质?
5.矩形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个三
角形;菱形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四三角
形;正方形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个全等三角
形.
6.矩形有条对称轴,菱形有条对称轴,正方形有条对称轴.
二、自主练习
【例1】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;
②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件,使四边形AECF是平行四
边形,并证明你的结论.
【例2】如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.
【例3】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的长.
【例4】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)
【例5】如图,△ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断△DEF的形状,并说明理由.
三、跟踪练习
1.已知▱ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD=()
A.21 cm
B.6 cm
C.10.5 cm
D.3 cm
2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长()
A.12 cm
B.6 cm
C.16 cm
D.8 cm
3.在△ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE=
cm.
4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是cm.
5.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积是.
6.已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长.
四、变式演练
1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.
(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是,并证明;
(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由.
2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B'.
(1)请用尺规在图中作出△AEB'(保留作图痕迹);
(2)试求B',C两点之间的距离.
五、达标检测
(一)选择题
1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()
A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF 的长是()
A. B.2
C. D.2
3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知点A(2,0),B-,0,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点
不可能在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,则长方形花坛ABCD的周长是()
A.36 m
B.48 m
C.96 m
D.60 m
(二)填空题
6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于.
7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为.
8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为.
9.如图,▱ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为10,△FCB的周长为22,则FC的长为.
10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕,如果对折n次,可以得到条折痕.
(三)解答题
11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD.
12.已知:在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD 上的一点,连接DF,EG,AG,∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;
(2)求证:∠CEG=∠AGE.
参考答案
一、合作探究
边对边平行,四边相等
角
续表
1.四边相等的四边形;
2.对角线互相垂直的平行四边形;
3.有一组邻边相等的平行四边形;
4.每条对角线互相垂直且平分一组
对角的四边形.
角
2
3
矩形
4
矩形
2.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相
等;(5)有一个角是直角.
3.略
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.略
6.224.
二、自主练习
【例1】选①(答案不唯一)
证明:如图,连接AC交BD于O.
∴AO=CO,OB=OD.
又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF.
又∵AO=CO,
∴四边形AECF为平行四边形.
【例2】解:四边形EFGH为平行四边形.
如图,连接AC,在△ACD中,H,G分别为AD,CD的中点,
∴HG∥AC,HG=AC.
同理:EF∥AC,EF=AC.
∴HG∥EF,HG=EF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
【例3】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AO=AC=4 cm,OB=BD=3 cm.
AC⊥BD,
∴在Rt△AOB中,AB==5(cm).
又∵S△ABD=DH·AB=AO·BD.
∴DH=·6(cm).
【例4】解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE.又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF.
∴S△AOE=S△BOF.
∴S四边形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=S正方形ABCD.
【例5】解:△DEF为等腰三角形.
在Rt△BEC中,∵F为BC的中点,∴EF=BC,
同理:FD=BC,∴FD=EF.
∴△DEF为等腰三角形.
三、跟踪练习
1.D
2.A
3.2
4.34
5.10
6.解:由菱形的性质得:AB=BC,
又∵∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4.
∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16.
四、变式演练
1.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).
证明:如题图,∵BE∥CF,∴∠1=∠2.
∵点H是边BC的中点,∴BH=CH.
又∵∠3=∠4,
∴△BEH≌△CFH.
(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下:
如图,连接BF,CE,∵△BEH≌△CFH,
∴BH=CH,EH=FH.
∴四边形BFCE是平行四边形.
又∵BH=EH,∴BC=EF,
∴四边形BFCE是矩形.
2.解:(1)如图所示.
(2)如图,连接BB',B'C,设BB'与AE交于点F.
因为点B,B'关于直线AE对称,
所以BE=B'E,
所以∠EBB'=∠EB'B.
因为BE=EC,所以B'E=EC,
所以∠ECB'=∠EB'C.
因为∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'= 80°,
所以∠BB'C=90°.
因为BC=6 cm,E是BC的中点,
所以BE=3 cm.
在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF= cm,所以BB'= cm.在Rt△BB'C中,根据勾股定理,得
B'C=6- 8.
故B',C'两点之间的距离为 8cm.
五、达标检测
1.C
2.D
3.C
4.C
5.C
6. 0°
7.5
8.20
9.610.152n-1
11.证明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b,
∴∠CDE=∠CBE=90°,
∴△CBE,△CDE为直角三角形,
∵点M是EC的中点,
∴DM=BM=EC,
∴DM=BM;
(2)∵DM=BM,
∴△MDB为等腰三角形,
又∵N为BD的中点,
∴MN为BD边上的中线,
∴MN⊥BD(三线合一).
12.解:(1)∵点F为CE的中点,
∴CE=CD=2CF=4.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=4.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=-.
(2)证明:如图,延长AG,BC交于点H.
∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C,
∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF.
∵点F为CE的中点,即CF=EF=CE,
又CE=CD,∴CG=GD=CD.
∵AD∥BC,
∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH.
∴△ADG≌△HCG.
∴AG=HG.
∵∠AEH=90°,
∴EG=AH=GH.
∴∠GEH=∠H=∠AGE.。