奇异熵矩阵束算法及其在次同步振荡模态参数辨识中的应用

奇异熵矩阵束算法及其在次同步振荡模态参数辨识中的应用刘晓建;李娟;焦邵华
【摘要】基于奇异谱提出的奇异熵概念用于对次同步振荡模态的定阶,采用与矩阵束算法结合的奇异熵矩阵束算法对电力系统的次同步振荡参数进行辨识.首先选取加入噪声的理想信号对Prony算法与奇异熵矩阵束算法的有效性、辨识精度、最小频率间隔辨识值及辨识所需最小数据量等辨识能力进行比较分析;然后分别利用两种算法对IEEE第1标准测试系统及某实际串补输电工程模型进行进一步分析验证.分析结果表明,奇异熵矩阵束算法具有有效性,可以方便、准确地确定模态阶数,提高频率分辨率,降低所需数据量,而且具有很强的抗噪能力和较高的辨识精度.
【期刊名称】《电力系统及其自动化学报》
【年(卷),期】2016(028)006
【总页数】6页(P31-36)
【关键词】次同步振荡;奇异熵;矩阵束算法;模态阶数;模态参数辨识
【作者】刘晓建;李娟;焦邵华
【作者单位】北京信息科技大学自动化学院,北京100192;北京信息科技大学自动化学院,北京100192;北京四方继保自动化股份有限公司,北京100084
【正文语种】中文
【中图分类】TM712
随着电网的不断扩大，串补输电和直流输电越来越的应用于电源基地远距离向电网输电及区域电网互联。

由此引起的次同步振荡SSO（subsyn⁃chronous
oscillation）问题对发电机组及区域电网的安全性构成了严重的威胁［1］，次同步振荡发生后，发电机轴系将与某个或多个机网联合系统交换能量，这会严重影响到大型汽轮发电机轴系的安全，极端情况会出现大轴裂缝甚至断裂［2］。

为了规避SSO的发生以及对SSO及时有效的控制，就必须要对SSO进行全面的分析。

因此，对SSO模态参数的有效准确辨识就变得至关重要。

自发现次同步振荡以来，国内外学者在模态辨识方面做了深入研究，提出许多方法应用于模态辨识取得了显著成果，也有某些方面的不足。

这些方法主要有快速傅里叶FFT（fast Fourier transform）方法［3-4］、Prony算法［5-6］、基于希尔伯特-黄变换HHT （Hilbert-Huang transform）方法［7-8］和矩阵束MP （ma⁃trix pencil）方法［9-12］。

FFT仅可较为准确地反映出振荡的频率，对于其他参数则无法准确辨识；Prony算法利用复指数函数对信号的强行拟合不易定阶、会产生大量的虚假模态，且对噪声非常敏感；HHT方法可能出现对模态的漏辨识现象。

对大量分析方法的研究可发现，信号模态阶数过少时会出现模态漏识别现象，信号模态阶数过多则会出现过度拟合的虚假模态信息。

因此，能否准确的确定信号的模态阶数对模态参数的准确辨识至关重要。

本文利用基于奇异谱的奇异熵［13-15］与矩阵束结合的方法，奇异熵增量谱可以在噪声干扰下得到对所辨识信号的有效特征信息进行准确抽取所需的奇异谱阶次，这样可以方便准确地确定信号模态阶数；矩阵束算法则采用内积方式提高抗噪声的能力且又属于非迭代解法，所以又可以在降低计算复杂度的基础上准确地辨识出模态的参数。

奇异熵矩阵束算法除了对模态阶数的定阶外，其他模态信息的提取步骤与矩阵束法相同［16］，总体步骤如下。

（1）利用原信号（实测数据或仿真数据）y（kTs）（k=1,2,…,N-1,N），构造Hankel矩阵Y为
式中，L为矩阵束参数，恰当的选择L可以抑制噪声干扰，通常取L=N/4～N/3。

对Y作奇异分解，Y=UDVT，得到奇异矩阵D为（N-L）×（L+1）阶对角矩阵，其主对角元素di为Y的第i个奇异值。

其中，U为（N-L）×（N-L）的正交矩阵，V为（L+1）×（L+1）阶的正交矩阵。

（2）奇异熵。

由Hankel作奇异分解得到的矩阵D，其元素di（i=1,2,…,m）是非负的，并按降序排列，即d1≥d2≥…dm≥0。

其中m=min｛｝N-L,L+1，令
Hankel矩阵经奇异值分解得到的奇异谱则为βi（i=1,2,…,m）序列。

为了考察信号信息量随奇异谱阶次的变化情况，在此定义k阶奇异熵为
式中，ΔEi为i阶奇异熵的增量，且有
信号的奇异熵值越大，说明信号越复杂，信号所含的信息也就越丰富。

（3）确定模态阶数。

随着信号有效特征信息量趋于饱和，奇异熵增量会迅速收敛到有界值，此刻特征信息已基本保持完整，且此时的奇异谱的阶次即是信号模态阶数，之后奇异熵增量的微小变动是因为误差所致，可忽略不做考虑。

基于以上优点，即使对于较为大的噪声，当信号有效信息量趋于饱和时，奇异熵的增量都会收敛到某有界值，出现明显的跳变，可方便地提取出拐点对应的阶数n，即信号模态阶数。

（4）构造新矩阵D′。

确定最大模态阶数n后，由D的前n个非零奇异值形成新矩阵D′为
式中，D′为（N-L）×n阶矩阵，前n个奇异值组成一个n×n的对角阵，后N-L-
n行为由0元素组成的一个（N-L-n）×n矩阵。

D′矩阵有效地降低了噪声的影响。

（5）模态参数的求解。

对Hankel矩阵Y进行奇异分解得到的矩阵V中拿出n个主导右奇异向量构成
（L+1）×n阶矩阵V′，对V进行相关处理获得两个新矩阵V1、V2。

其中V1是
从V′中删除最后一行得到的L×n阶矩阵，V2是从V′中删除第一行得到的L×n阶矩阵。

从而可以构造两个（N-L）×L阶矩阵Y1和Y2′为
Y1和Y2已经是降噪处理的响应，并认为Y1和Y2是由系统真实响应x（t）得到，即
由Y1和Y2构造矩阵束Y2-λY1，并将 x（k）=整理得
式中：I为n×n阶单位矩阵；其他矩阵形式为
由式（10）可知，当λ与所有极点zi都不相等时，Y2-λY1的秩为n；当λ与某一极点zi相等时，矩阵Z2-λI的第i行全为零，从而使Y2-λY1的秩降为n-1。

因此，信号的极点zi（i=1,2,…,n）恰好是矩阵束Y2-λY1的广义特征值，从而可以将求
解信号极点的问题转化为求解矩阵束Y2-λY1广义特征值的问题，即求解如下矩阵G的特征值
式中，Y1+是Y1的伪逆矩阵。

留数Ri的求解可由式（16）通过最小二乘法得
进而可得到各分量的幅值、相位、频率和衰减因子，计算公式为
式中，Ts为采样周期。

2.1 最小辨识频率间隔
构造理想信号
其中：
为了验证奇异熵矩阵束算法对参数辨识的有效性，分别为理想信号式（22）～式（24）加入20 dB、25 dB、30 dB的高斯白噪声，并设采样间隔为0.01 s、采样时间为0～2 s。

即：
将式（25）的采样间隔设置为0.01，分为频率间隔为1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz）、0.5 Hz（8 Hz、8.5 Hz、9 Hz）、0.3 Hz（8 Hz、8.3 Hz、8.6 Hz）、0.2 Hz（8 Hz、8.2 Hz、8.4 Hz）4种情况，利用奇异熵矩阵束算法对4种理想信号
x进行辨识；然后再将式（25）分为频率间隔为1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz）、0.9 Hz（7 Hz、7.9 Hz、8.8 Hz）、0.8 Hz（7 Hz、7.8 Hz、8.6 Hz）、0.7 Hz （7 Hz、7.7 Hz、8.4H z）另外4种情况，利用Prony算法对4种理想信号x进行辨识，结果如表1所示。

由表1可知，两种算法均可有效地辨识频率参数。

当频率间隔逐渐减小时，辨识
结果的相对误差呈增大趋势，且Prony算法的辨识结果的相对误差要大于奇异熵
矩阵束算法。

两种辨识算法对频率参数的辨识精度均逐渐降低，当频率间隔变为0.2 Hz时，奇异熵矩阵束算法出现了漏辨识现象；当频率间隔变为0.7 Hz，Prony算法就出现了漏辨识现象。

奇异熵矩阵束的辨识能力和辨识精度都明显高
于Prony方法。

2.2 最小辨识所需数据量
（1）将式（25）的频率间隔设置为1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz），采样时间分别设置为2 s、1 s、0.6 s、0.5 s，利用奇异熵矩阵束算法分别对理想信号4种采样
时间的数据进行频率辨识；再将理想信号的采样时间分别设置为2 s、1.2 s、1 s、0.9 s，利用Prony算法分别对这4种情况下的数据进行频率辨识，结果如表2所示。

由表2可知，当频率参数间隔相同（均为1 Hz）时奇异熵矩阵束算法辨识所需的
最小数据量要小于Prony算法。

（2）将式（25）的频率间隔设置为2 Hz（6 Hz、8 Hz、10 Hz），采样时间分
别设置为2 s、1 s、0.4 s、0.3 s，利用奇异熵矩阵束算法和Prony算法分别对理想信号4种采样时间的数据进行频率辨识，结果如表3所示。

由表3可知，当参数间隔增大为2 Hz时虽然所需最小采样数据量相同，但是在相同数据量下，奇异熵矩阵束算法的辨识精度明显高于Prony算法，即要想得到相
同辨识精度Prony算法所需的数据量要明显大于奇异熵矩阵束算法所需的数据量。

由表2和表3对比可知，当两种算法所要辨识的频率间隔变大时，所需最少数据量将会减少，而且辨别精度也会提高。

3.1 标准测试系统
采用IEEE第1标准准模型为研究算例模型（图1），轴系自然扭振频率为15.71 Hz、20.21 Hz、25.55 Hz、32.28 Hz、47.75 Hz。

在模型中B处于1.5 s设置三相接地短路，扰动持续时间为0.075 s。

取发电机转速信号作为采样信号，为验证奇异熵矩阵束算法的有效性，对仿真得到的发电机转速信号叠加20 dB的高斯白噪声，局部转速信号如图2所示。

由奇异熵法可以得阶数为p=12，且将阶数偏大（p=14）或偏小（p=8）的矩阵束算法辨识结果分别和Prony算法对以上仿真信号进行参数辨识，在次同步振荡范围内辨识结果如表4所示。

由表4可知，在模态定阶存在偏差时矩阵束算法可能出现错误辨识，当阶数偏小时出现了模态漏辨识，当阶数偏大时出现了虚假模态。

Prony法与奇异熵矩阵束算法对次同步振荡频率范围内的主导模态参数的辨识结果近似，均可以有效辨识仿真信号。

但Prony辨识结果中不但含有次同步频率范围内的主导模态，而且还产生了45.1589Hz、40.9724Hz、36.269 1 Hz等其他的虚假模态，并且改变信噪比时，辨识结果会出现很大的浮动，当信噪比较低时甚至有些模态无法辨识出来；而奇异熵矩阵束算法可以很方便地得出信号模态阶数，并且噪声对其辨识结果的影响很小。

3.2 实际工程算例
实际工程模型采用上都电厂送出系统，模型结构图3所示。

该电厂为4台参数相同的汽轮机组，集中参数轴系模型包括高中压缸、低压缸A、低压缸B和发电机4个质块；其输电线路包括上都-承德线（简称上承线，2回路243 km）和承德-姜家营线（简称承姜线，2回路130 km）。

系统通过上承和承姜接入华北电网，固
定串补安装在上承双回线的承德站一侧，算例中华北电网在姜家营站处简化为一个含内阻的等值电源，承德地区的电网等值为一个等值发电机和一个集中负荷，经两台变压器接入承德站的母线。

电厂的4台机组参数相同，轴系与电气系统之间存在的3个次同步扭振模态分别为15.30 Hz、26.12 Hz和30.25 Hz［17］。

以上算例模型在典型串补度为30%串补下，在上承双回线的一回线路承德侧设置三相短路接地故障（故障发生时间为仿真后3 s、故障持续时间为0.1 s），然后取发电机转速信号作为采样信号进行参数辨识，辨识结果见表5。

通过表5可知，奇异熵矩阵束算法可有效辨识出上都实际工程算例的3个次同步扭振模态。

利用奇异熵矩阵束算法辨识的参数拟合所得的转速曲线如图4所示，由图4可知，拟合所得转速曲线与原始转速曲线的误差较小，因此利用奇异熵矩阵束算法可有效的分析电力系统中的SSO问题。

利用奇异熵矩阵束算法可以方便、准确地确定信号的模态阶数，可以剔除虚假模态信息，提高了抗噪声能力和计算准确率，并且可以提高频率分辨率和降低辨识所需数据量，准确地辨识出输电系统的振荡模态参数，为SSO的进一步抑制措施提供了重要的参数支撑。

刘晓建（1988—），男，硕士研究生，研究方向为电力系统次同步振荡分析及抑制研究。

Email：****************
李娟（1972—），女，硕士，副教授，研究方向为传感检测技术及其在电力系统中的应用研究。

Email：****************
焦邵华（1972—），男，博士，教授级高工，研究方向为次同步振荡及机组扭振保护及抑制。

Email：******************
【相关文献】
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