平面向量专题6 解三角形专题—多三角形问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)专题练习

【技巧总结】
（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC 与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；
（2）三角形外找关系，三角形内用定理。

【巩固练习】
1、如图，在△ABC 中，D 是边AC
上的点，且,2AB AD AB ==
，2BC BD =，
则sin C 的值为（
）
A．
33
B．
36
C．
63
D．
66
2、已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则
BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．
由2
2
sin cos 1ABC ABC ∠+∠=
因为BD BC =，所以D BCD ∠=∠，所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠，
3、如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，22
sin 3
BAC ∠=
，AB =
，3AD =，则BD 的长为_______________．
4、在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则B D =____，cos ABD ∠=________.
135CBD C ∠=- ，
5、若锐角的面积为，，，则BC 边上的中线AD 的长是______．
【答案】【解析】解：锐角的面积为
，，
，
则：
，
解得：，
所以：，
所以：，
解得：．
在
中，利用余弦定理：，
在
中，
利用余弦定理：
得：
，
解得：
故答案为：
6、在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=
，求：（1）
tan tan tan tan A A
B C
+
的值；（2）BC 边上的中线AD 的长.
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即：221610b c =+-，∴2226b c +=.
得3x =，即：3AD =.
7、在①34asinC ccosA =;②22
B C
bsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =.
(1)求sinA ;
(2)如图，M 为边AC 上一点，,2
MC MB ABM π
=∠=，求ABC 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】
解:若选择条件①，则答案为:
(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =，因为sin 0C
≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，
(2)同选择①
8．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6
ADC π
∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .
如图，在平面四边形ABCD 中，34
ABC π
∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .
【答案】见解析【解析】选择①：
由余弦定理可得
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
选择②
9、已知函数()()2cos sin 10f x
x x x ωωωω=-
+>图象的相邻两条对称轴之间的
距离为
2
π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；
（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且AC =
，1CD =-，求三角形ABC
的面积.
【解析】
10、在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =．
(1)求cos ADB ∠；
(2)若DC =，求BC ．
在BCD △中，由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠
所以5BC
=．
11、∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．
(Ⅰ)求
sin sin B
C
；(Ⅱ)若AD =1，DC =2
2
，求BD 和AC 的长．
由余弦定理得2
2
2
2cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。