第十章误差椭圆

第十章 误差椭圆
知识点
习题与解析
10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为β
σ=2″，S σ=3cm ，试求待
定点P 的点位中误差。

10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?
10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆT
P
P X X Y ⎡⎤
=⎢
⎥⎣
⎦
的协因数阵为：
22
ˆ
20(/())0
1X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦
单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。

10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆT
P
P X X
Y ⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦
的协因数阵为：
22
ˆ20.5(/())0.5
3X Q d m ⎡⎤="⎢
⎥⎣⎦
单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。

10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即1
1ˆT
X
X Y ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，平差后得到ˆX
的协因数阵为⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=∧
∧75.015.015.025.0X
X Q ，且单位权方差22
0ˆ 3.0cm σ
=。

(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。

10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即1
1ˆˆˆT
X
X Y ⎡⎤=⎣⎦
，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=∧
∧25.125.025.075.1X
X Q
，且单位权中误差0ˆσ
=cm 。

(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。

10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧
∧∧
∧
Y X Y X 、Q
、Q
Q 则当∧
∧Y
X Q
=0且
∧
∧Y
X
＞Q
Q 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向
为 ，F ϕ= 。

10.08 已知某点P 的坐标平差值的协因数阵为：
))/((25.20
025
.22
2
"⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∧cm Q p
单位权中误差为0ˆ1σ="，试求该点误差椭圆的3个参数，并说明该误差椭圆的形状特点。

10.09 已知某点P 的坐标平差值的协因数阵为：
))/((75.225.025.075.22
2
"⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=∧
cm Q p
单位权中误差为0ˆ1σ="，试求该点误差椭圆的三个参数，并说明该误差椭圆的形状特点。

10.10 设某平面控制网中已知点A 与待定点P 连线的坐标方位角为T PA =75°，边长S PA =648.12m ，经平差后算得P 点误差椭圆参数为E ϕ=45°，E=4cm ，F=2cm ，试求边长相对中误差
ˆP A
S
P A
S σ。

10.11 已求得某控制网中P 点误差椭圆参数E ϕ=157°30′，E=1.57dm 和F=1.02dm ，已知PA 边坐标方位角PA
α
=217°30′，S PA =5km ，A 为已知点，试求PA 边坐标方位角中误差
和边长相对中误差ˆP A
α
σ和边长相对中误差
ˆP A
S
P A
S σ
10.12 某三角网中有一个待定点P ，并设其坐标为参数ˆˆˆT
p
p X
x y ⎡⎤=⎣⎦
，经平差求得22
0ˆ1(),σ="))/((25.05.022
2
"⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∧
∧dm Q
X
X 。

(1)计算P 点误差椭圆参数E ϕ、E 、F 及点位方差2
p σ (2)计算ϕ=30°时的位差及相应的ψ值；
(3)设ϕ=3°0时的方向为PC ，且已知边长S PC =3.120km ，试求PC 边的边长相对中误差
ˆ/p c
s p c s σ
及方位角中误差。

10.13 在某三角网中，已知两未知点间的坐标差的协因数阵为：
ˆˆ
ˆˆ22
ˆˆˆˆ
2.50(/())0 1.4x x x y y
x y y Q Q c m Q Q ∆∆∆∆∆∆∆∆⎡⎤
⎡⎤="⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
已知单位权中误差0ˆ2σ="，则相对误差椭圆3个参数分别为12
E ϕ= ，12E = ，
12
F
=
10.14 已知某平面控制网中两待定点P 1与P 2间的边长km S P P 52
1
=，已算得两点间横
向位差12
ˆ0.645P P u
d m σ=。

试求P 1P 2方向的坐标方位角中误差12
ˆP P t σ。

10.15 如图10.3所示，已知待定点P 1和P 2之间的距离S 12=1031.325m ，图中OD=1.8cm ，试求方位角2
1p p α
的中误差12
ˆP P α
σ
10.16 某平面控制网经平差后求得P 1、P 2两待定点间坐标差的协因数阵为：
))/((32232
2
"⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡∧∧∧
∧∧∧
∧
∧∆
∆
∆∆∆
∆∆∆cm Q Q Q Q Y
Y
X Y Y
X
X
X
单位权中误差为"=∧
10
α
，试求两点间相对误差椭圆三个参数。

10.17 已知某测角网平差后两待定点坐标差的协因数阵为：
))/((380.0025.0025.0380.02
2
"⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡∧∧∧
∧∧
∧
∧
∧∆∆
∆∆∆∆∆∆dm
Q Q Q Q Y
Y X Y Y
X
X
X
已求得220ˆ2()α="
(1)试求两点间的相对误差椭圆参数12
E ϕ、12E 、12
F ；
(2)若已知S 12=7.78km ，T 12=112°30′，试求两点间边长相对中误差。

10.18 在某三角网中，已知C 、D 两点间的坐标差的协因数阵为：
))/((700.0433.0433.0200.12
2
"⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡∧∧∧
∧∧
∧
∧
∧∆∆
∆∆∆∆∆∆dm
Q Q Q Q Y
Y X Y Y
X
X
X
单位权中误差"=∧
10
α。

(1)试求C 、D 两点问的相对误差椭圆参数12
E ϕ、12E 、12F
(2)若已知C 、D 方向的坐标方位角为T CD =60°，S CD =3.32kin ，求CD 边的边长相对中误差和方位角中误差。

10.19 某桥梁控制网如图10-4所示，A 、B 为已知点(无误差)，︒=903
B α
，平差后得
3号点误差椭圆的3个参数分别为：E ϕ=30。

，E=72mm ，F=32mm ，3
ˆB S =1201.640m,设计要求B3边边长相对中误差不低于
300000
1，问平差后3
ˆB S 的精度能否满足要求
?
10.20 今有测边网如图10-5所示，A 、B 、C 及D 点是已知点，P 1及P 2是待定点，以
同精度观测了9条边长，设P 1、P 2点坐标为未知数[112
2x y x y ]，经间接平差算得参数
的协因数阵为：
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡---=5804.00221.03459
.01074
.00798.05739
.00807.00597.00009.03449.0称
对Q ,
并算得单位权中误差 0ˆ0.53a
d m =。

(1)试计算P 1点的误差椭圆3参数； (2)试计算P 2点的误差椭圆3参数；
(3)试计算P 1与P 2点间相对误差椭圆3参数。

10.21 在某三角网中，P 1、P 2两点坐标平差值的协因数阵为：
ˆ
1.6
0.2 1.00.52.4
0.60.8
2.10.32.7x Q -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦
对称
单位权中误差0ˆm σ=。

(1)试求P 1、P 2两点间相对误差椭圆3参数；
(2)已知平差后P 1P 2边的方位角为60°，试计算P 1P 2边的纵向误差和横向误差。

10.22 在某测边网中，A 、B 是已知点，C 、D 是待定点，经间接平差求得C 、D 点坐标的协因数阵为：
ˆ
0.3500.0150.005
0.250
00.020
0.200
0.0100.300x Q -⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
对称
， 单位权中误差0ˆσ=2cm
(1)试求C 、D 点相对误差椭圆3参数；
(2)已知方位角T CD =142.5°，试求C 、D 两点的边长中误差矛ˆC D
S
σ。

10.23 已知某平面网中有一待定点p ，以其坐标为未知数，经间接平差得法方程为：
⎩⎨
⎧=-+=++0
394.0762.1411.00
534.0411.0287.1y x y x δδδδ 单位权中误差0ˆσ=1.0″，x δ，y δ以dm 为单位，试求：
(1)位差的极大值方向E ϕ和极小值F ϕ； (2)位差的极大值E 和极小值F ； (3)坐标中误差x σ，y σ，及点位中误差p
σ；
(4)ϕ=60°的位差ϕσ值。

10.24 已知某三角网中P 点坐标的协因数阵为：
22
ˆ 2.10
0.25(/())0.25
1.60x Q c m -⎡⎤="⎢
⎥-⎣⎦
单位权方差估值为22
0ˆ 1.0()σ="，试求：
(1)位差的极值方向E ϕ和F ϕ； 。

(2)位差的极大值E 和极小值F ； (3)P 点的点位方差； (4)ψ=30°方向上的位差；
(5)若待定点P 到已知点A 的距离为9.55km ，坐标方位角为217.5°，则AP 边的边长相对中误差为多少?
10.25 在某测边网中，设待定点P 1、P 2的坐标为未知参数，即[]1122ˆˆˆˆˆT
x
x y
x
y
=，采用间接平差法，算得ˆX
的协因数阵为： ˆ0.2677
0.12670.5610.08060.7569
0.06840.1626
0.4914
0.21060.8624X
Q
--⎡⎤
⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
对称
并且单位权方差的估值为220ˆ 4.5cm σ=。

(1)计算P 1点误差椭圆3参数； (2)计算P 2点误差椭圆3参数；
(3)计算P 1、P 2两点间相对误差椭圆3参数；
(4)已知平差后P 1P 2边的方位角为12ˆ90σ=︒，边长12
ˆS =2.4km ，试求P 1、P 2两点间的边长相对中误差和坐标方位角中误差。

10.26 由A 、B 、C 三点确定P 点坐标ˆˆˆT
P
P X
X X ⎡⎤=⎣⎦
(如图10-6所示)，同精度观测了6个角度，观测精度为β
σ，平差后得到ˆX
的协因数阵为）（cm Q
X
X 2
2
)/(0.20
05
.1"⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∧
∧2，且单位权中误差
ˆσ=10cm 。

已知BP 边边长约为300m ，AP 边边长约为220m ，方位
角AB
α
=90°，平差后角度L 1=30°00′00″，试求测角中误差β
σ。

答案
10.01【解析】该题可依据公式2
22)(
β
σ
ρ
σ
σ
S
S
P
+=来计算。

mm mm
mm S
p
u
s
p
u
57.3,7607.12,06.22
222==+===σ
σ
σ
σ
σ
ρ
σ
β
；
10.02【解析】ψ是以E 轴为起算的任意方向；ψσ是以E 轴为起算的任意方向上的位差；
ψϕ=+E ϕ；
10.03【解析】由题意，得
2
ˆ=X
Q
，1ˆ=Y Q ，
则由公式Q 0
ˆˆσσ=可得，Y X
P Q Q
ˆˆ0
ˆˆ+=σσ=866.035.0=⨯
dm ；
10.04【解析】该题有两种方法，现只讲述其中的一种。

由公式ϕϕϕϕϕ2sin sin
cos
2
2
xy yy xx Q Q Q Q ++=，代入相关数据，直接可得
=
ϕϕQ 2.683；
所以，由公式ϕϕϕσσQ 0
ˆˆ=，可得ˆ0.8
1d m ϕσ= 0.82dm 。

10.05【解析】该题考查的内容比较全啊！同时本题可以采用MatLab 来计算，以减小计算量。

（1）由题意，25.01
=X Q ，75.02
=X Q ，
则2
3ˆˆ,2
3ˆˆ2
1
2
02
0=
==
=X
Y X X Q Q σσσσ，
所以cm
P 3ˆ=
σ；
（2）由公式6.022tan 0-=-=
yy
xx xy Q Q Q ϕ，得''10'0214920︒=ϕ或''10'02239︒，则
''05'31740︒=ϕ或''05'31164︒。

由于0<xy Q ，所以对于02sin ϕxy Q 来说，当02sin ϕxy Q 0<时，取极大值，此时
'
'05'31740︒=ϕ，
即
''05'3174︒=E ϕ或
'
'05'31254︒。

此时
=-+=
)2s
i
n s
i n c o s (2
2
20
E
xy E yy E xx Q Q Q E ϕϕϕσ
1.54cm ，同理F =0.79cm 。

（3）由2
22
2
2
02905.1))902sin(90sin
90cos (cm
Q Q Q xy yy xx =⨯-+=︒=σσϕ，从而
=︒=90ϕσ 1.5cm 。

10.06【解析】该题同上一题基本上是一个类型的，在此只给出答案；
dm F dm ，E
E 51.1,92.15.3375.157)1(==︒︒=或ϕ；dm 58.1)2( 。

10.07【解析】
X 轴方向，0°，y 轴方向，90°
10.08【解析】由题意，根据公式2
2
2
)'/'(25.22sin sin cos cm Q Q Q Q xy yy xx =-+=ϕϕϕϕ，
ϕ的取值范围为︒︒360~0，ϕQ 的取值与ϕ无关，从而︒︒=360~0E ϕ；进而可得误差椭圆为圆形
,5.1cm F E ==。

10.09【解析】由题意，根据公式yy
xx xy Q Q Q -=22tan 0ϕ，当代入数据时可得02tan ϕ没有意义，
此时02ϕ应当取︒90或︒270，即角度极值0ϕ=︒45或︒135。

由于025.0<-=xy Q ，所以对于02sin ϕxy Q 来说，当02sin ϕxy Q 0<时，取极大值，此时︒=1350ϕ，即︒=135E ϕ或︒315，从而可得cm F cm E 58.1,73.1==，而且y x σσˆˆ=。

该误差椭圆是关于二、四象限的对角线对称的误差椭圆。

10.10【解析】由题意，︒=-=ψ30E PA T ϕ，采用公式ψ+ψ=ψ
2
2
2
2
2sin
cos
F
E
σ计
算，代入已知数据，从而可得
cm cm F
E
PA
S
60555.313sin
cos
ˆ2
2
2
2
==
ψ+ψ==ψ
σ
σ，
从而可得边长相对中误差
17976
16481260555.3ˆ=
=
cm
cm S PA
S
PA
σ；
10.11【解析】由两种方法：
（一）由题意，︒=-=ψ60E PA ϕα，采用公式ψ+ψ=ψ
2
2
2
2
2sin
cos
F
E
σ计算，代入
已知数据，从而可得
cm cm PA
S
181747.1396525.160sin
02
.160cos
57
.1ˆ2
2
2
2
==︒+︒==ψ
σ
σ，
从而可得边长相对中误差
42310
150000
181747.1ˆ=
=
PA
S
S PA
σ；
又根据任意两垂直方向的方差之和相等，即由2
22902F E +=+︒+ψψσσ，代入数据可得
452162
.190=︒
+ψσ
，即PA 垂直方向的中误差，从而可得PA 边坐标方位角中误差
''99.5'
'''ˆ90==︒
+ψPA
S PA
σ
ρσα
；
（二）该题也是需要作图，依据图形，求得结果。

由图中，可以量出PC=1.452dm ，''99.5'
'''ˆ==PA
S PC PA
ρσα
；量出PB=1.182dm ，所以边
长相对中误差
42301
150000
182.1ˆ=
=PA
S
S PA
σ；
10.12【解析】该题可参照前两题，在此不再详细讲述，只给出结果。

22
30(1)45225,,,4ˆ(2) 1.56,3451ˆ(3)
,8.25200000
P C
P C
E P
S P C
E m
F m d m
d m S ϕα
ϕσ
σψσ
σ=︒=︒︒=
=
===︒=
="
或 ；
10.13【解析】
误差椭圆为圆形
或,37.2,16.318001212
12
cm F cm ，E
E
==︒︒=ϕ
10.14【解析】
12
ˆ 2.66P P T
σ="
10.15【解析】
12ˆ 3.6ασ="
10.16【解析】
,00.1,24.23151351212
12
cm F cm ，E
E
==︒︒=或ϕ
10.17【解析】
12
12
121212
(1)792925929, 1.01,0.87,
ˆ1(2)
79959
E S
E d m
F c m S ϕσ=︒'︒'===
或
10.18【解析】
12
1212(1)30210, 1.2,0.67,
ˆ1(2)
, 5.1930400
C D
C D
E S
C D
E d m
F d m S α
ϕσσ=︒︒===
="
或
10.19【解析】
3
3
ˆ41,ˆ1201640
300410
B S
B S σ=
=
可以满足
10.20【解析】
dm
F dm ，E
dm F dm ，E
dm
F dm ，E
E
E E 37.0,53.0412474167)3(31.0,40.0402644084)2(31.0,40.0122701290)1(1212
22
11
12
2
1
=='︒'︒==='︒'︒==='︒'︒=或或或ϕϕϕ
10.21【解析】
12
(1)106.8286.8, 2.71, 1.74,
ˆ(2) 2.25, 2.31P P E
S u
E m m
F m m m m m m
ϕσσ
=︒︒====或
10.22【解析】
(1)340621406, 1.48, 1.40,ˆ(2) 1.41C D
C D
E
C D C D S
E c m
F c m c m
ϕσ=︒"︒"===或
10.23【解析】
'︒='︒='︒'︒=0160012400233002150)1(F F E ，ϕϕϕ或或； dm F dm E 71.0,98.0)2(==；
dm dm dm p
y
x
21.1,78.0,92.0)3(===σ
σ
σ
；dm
71.0)4(=ϕ
σ
；
10.24【解析】
30(1)157.5337.5,67.5247.5(2) 1.48, 1.22ˆ(3) 1.92ˆ(4) 1.42ˆ1(5)740000
P A
E F F p S P A E c m F c m
c m
c m
S ϕϕϕϕσσσ=︒=︒︒=︒=︒
=====或或 10.25【解析】
1
1
121212
111112(1)761825618, 1.9, 1.0(2)654124541, 2.1, 1.3(3)613124131, 2.6, 1.8ˆ1
ˆ(4), 1.65100000P P E E E
S T E c m F c m E c m F c m E m m F m m S ϕϕϕσσ=︒'︒'===︒'︒'===︒'︒'====''或或或 10.26【解析】
''===9.115.1,0.22222β
σcm F
cm E。