2022-2023学年广东省肇庆市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省肇庆市高二上学期期末数学试题
一、单选题1．已知等差数列的公差为，且满足，则的值为（ ）
{}n a d 134a a =+d A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项计算即可.【详解】因为，
134a a =+所以
，所以.
1142a d a +=+2d =故选：A.
2．直线的一个方向向量是（ ）230mx my +-=A ．
B ．
C ．
D ．()
1,2(
)2,1-()
2,1(
)1,2-【答案】D
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可.【详解】明显，0m ≠直线即为
，
230mx my +-=3
2y x m =-+
所以直线的一个方向向量是.
230mx my +-=()1,2-故选：D.3．点关于坐标平面的对称点的坐标为（ ）
()
1,2,3M Oxz A ．
B ．
C ．
D ．
()1,2,3--()
1,2,3--()
1,2,3-()
1,2,3--【答案】C 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为
，即可求解.
()
,,a b c Oxz (),,a b c -【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为
.
()
1,2,3M Oxz ()1,2,3-故选：C.4．在等比数列中，已知，，则的值为（ ）
{}n a 11a =516a =3a A ．B ．4
C ．
D ．4-4
±2
±【答案】B
【分析】利用等比中项性质列式求解
【详解】等比数列中，.
{}n
a 2315
32
314a a a a a a q ⎧=⇒==⎨=⎩故选：B.5．已知椭圆
和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别
1C 2C 1F 2F 为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值
1e 2e P 1C 2C 12PF k PF =121
1e e k =
-k 为（ ）A ．3B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得
，，(分别为椭圆的长半轴长及
1221a PF k =
+2
221a
PF k =-12,a a 双曲线的实半轴长)，从而得，再代入中，求解即可.1211a k a k +=
-112
212
c
e a a c e a a ==
【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分
11,a b c 别为
，半焦距为，
22,a b c 则有，
22222
1122a b c a b -==+又因为点为
与在第一象限内的公共点，且满足，
P 1C 2C 12PF k PF =所以且，0k >1k ≠由椭圆的定义可得，
122221
(1)2PF PF k PF PF k PF a +=+=+=所以
，
1
221a PF k =
+由双曲线的定义可得，
122222
(1)2PF PF k PF PF k PF a -=-=-=所以
，
2
221a PF k =
-所以21
2211
a a
k k =-+所以，
1211a k a k +=-又因为，
112212
1111c
e a a k c e a k k a -====+-
解得(舍)或，0k =3k =故选：A.
6．已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满()22
2
210,0x y a b a b -=>>π0,2θθ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦足
，则该双曲线的离心率为（ ）
4
tan 23θ=-
A B C D 【答案】B
【分析】利用二倍角的正切公式求出，即可得，再根据离心率公式即可得解.tan θb
a 【详解】
，解得或，
242tan tan 231tan θθθ=-
=-tan 2θ=12-
又因为
，所以，
π0,2
θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭tan 2θ=即，
2b a =
所以该双曲线的离心率.c e a ===故选：B.
7．根据圆的性质我们知道，过圆外的一点可以作圆的两条切线，切点为与，我们把四
O A O B C 边形称为圆的“切点四边形”.现已知圆，圆外有一点，则圆的“切点
OBAC O 22:1O x y +=()1,2A O 四边形”的周长为（ ）A ．2B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【分析】先求解
，再根据垂径定理求解切线长，进而可得周长.
OA
半径为1，故
，
=O 2
AB AC ===故四边形的周长为.
OBAC 11226
OB OC AB AC +++=+++=故选：C
8．已知三棱锥满足
，记点到平面的距离为，若，则
-P ABC PA PB PC l
===P ABC h 1l h =+三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）-P ABC A ．B ．C ．D ．4π
9π
16π
25π
【答案】C
【分析】设P 在平面的投影为，说明三棱锥的外接球O 在上，由几何关系求ABC 1O -P ABC 1PO 得半径r 与h 的关系，进而求得最小值，可得外接球的表面积的最小值.【详解】设P 在平面的投影为，则，平面.
ABC 1O 1PO h =1PO ⊥ABC
∵
1
PA PB PC l h ====+设三棱锥的外接球O 的半径为，则在上，
，
-P ABC r O 1PO r PO AO
==则有，当且仅当时等()22222111121122AO OO AO r h r h r h h æöç÷=+Þ=-++Þ=++³ç÷èø11h h h =Þ=号成立.
∴三棱锥的外接球的表面积的最小值为.
-P ABC 2
4π216π⨯=故选：C.
二、多选题9．已知向量，，
是空间直角坐标系中的坐标向量，
，，
1e 2
e 3
e Oxyz 12323a e e e =++ 123b e e e =+-
，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ）
123
4c me e ne =-+ 16c a ⋅= 4c b - Oyz A ．B ．a b
⊥
b c
∥
C ．，所成角为钝角
D ．可以用，表示
b c a b c 【答案】AC 【分析】由向量
，
，
是空间直角坐标系中的坐标向量，得到
，
，
两两垂直，且
1
e
2
e 3
e Oxyz 1
e 2
e 3
e ，再由，与平面平行，求得，再逐项判断.
1231230e e e e e e ⋅=⋅=⋅= 16c a ⋅= 4c b -
Oyz c
【详解】解：因为向量
，
，
是空间直角坐标系中的坐标向量，
1
e 2
e 3
e Oxyz 所以，，两两垂直，且，1e 2e 3
e 12
31230e e e e e e ⋅=⋅=⋅= 而，
()(
)
123123423c a me e ne e e e ⋅=-+⋅++ 223123
24324316
me e ne m n =-+=-+=
，
(
)
()()123123123
8444
44e c me e ne e e m e e b e n =-+-+-=--++-
因为与平面平行，则，即，两式联立得，4c b -
Oyz 40m -=4m =4n =所以，123444e c e e =-+ A.
，则，故正确；
()()
222
12312312323232130
a b e e e e e e e e e ⋅=++⋅+-=+-=+-= a b ⊥
B.若，则，即，则，不存在，故不平行，故错
b c ∥ c b λ= ()
123123
444e e e e e e λ-+=+-
4
4λλ=⎧⎨
=-⎩b c ,误；
C. 设，所成的角为，
b c
θ则
，
1
cos 0
3b c b c θ====-<⋅⋅
因为
，所以，所成角为钝角，故正确；
()
0,θπ∈b c
D. 假设可以用，表示，则，即，则
a b c a xb yc = +()()
123123123
23444e e e x e e e y e e e ++=+-+-+ ，无解，故不可以用，表示，故错误；
424143x y x y x y +=⎧⎪
-=⎨⎪-+=⎩a b c
故选：AC
10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且
，则下列说法中正{}n a 1a d n n S 2
2n S n n =-+确的是（ ）A ．B ．
是递减数列
10
a <{}n S C ．
为递减数列
D ．是公差为的等差数列
{}n a n S n ⎧⎫
⎨⎩⎭1-【答案】BCD
【分析】对A ，直接求值判断；对B ，由二次函数单调性判断；
对C ，由与的关系求出通项公式判断；
n a n S 对D ，，由通项公式即可判断.2n
S n n =-+【详解】对A ，，A 错；
1110a S ==>对B ，由
，为其对称轴，则在单调递减，则由
可知()22f x x x
=-+1x =()f x ()1,+∞2
2n S n n =-+是递减数列，B 对；
{}n S 对C ，时，.
2n ≥()()2
21212123n n n a S S n n n n n -éù=-=-+---+-=-+êúëû又
符合上式，故的通项公式为，单调递减，C 对；
11a ={}n a 23n a n =-+对D ，，则，故是公差为的等差数列，D 2n S n n =-+()1
21211n n S S n n n n --=-+---+=-⎡⎤⎣⎦-n S n ⎧⎫⎨⎩⎭1-对.
故选：BCD.
11．已知抛物线.现将抛物线绕原点顺时针旋转，得到新抛物线.记的焦点为
21:4C x y =1C 90 2C 2C .过点的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则下列关于的说法中正确F F 2C M N MN 12C 的是（ ）A ．焦点
B ．
()
1,0F 6
MN =
C ．准线方程为
D ．的面积为=1x -MON △【答案】ACD 【分析】求出抛物线
的焦点坐标以及准线方程，可判断AC 选项；将直线的方程与抛物线
2C MN 的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判断B 选项；求出原点到直线的2C MN 距离，利用三角形的面积公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，抛物线的焦点为，
2
1:4C x y =()10,1F 将抛物线
绕原点顺时针旋转，则抛物线的焦点为，A 对；
1C 90 2C ()1,0F 对于B 选项，易知抛物线
的方程为，直线的方程为，
2C 24y x =MN 1y x =-设点、，联立可得，，
()11,M x y ()22,N x y 2
1
4y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=Δ364320=-=>
所以，
，B 错；
1228
MN x x =++=对于C 选项，抛物线
的准线方程为，C 对；
2C =1x -
对于D 选项，原点到直线的距离为
O MN d =
=
因此，
D 对.
11822MON S MN d =
⋅=⨯=△故选：ACD.
12．如图所示，已知三棱锥中，，所成角为30°，且.在线段上分
A BCD -AD BC 2
AD BC ⋅=AB 别取靠近点的
等分点，记为
，，…，.分别过，，…，作平行
A ()
1*n n +∈N 1M 2M n M 1M 2M n M 于，的平面，与三棱锥的截面记为
，，…，，记截面，，…，的面积分别
AD BC 1α2αn α1α2αn α为，，…，.则以下说法正确的是（ ）
1a 2a n a
A ．11
4
a =
B ．
为递增数列
{}n a C ．存在常数，使为等差数列λ1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．设为数列的前项积，则
n T (){}1n
n a +n 20221
2023
T =
【答案】AD 【分析】过
作平行于，的平面分别交，，于，，，根据线面平行的
n M AD BC AC CD BD F E G 性质可得四边形为平行四边形，进而可得
..对A ，直接代入；对B ，求
n M FEG ()
2
1n n
a n =
+1n =判断即可；对C ，构造判断，结合等差数列的定义判断即可；对D ，代入
12,a a 1n a λ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
求解即可.
()
2
1n n
a n =
+【详解】过
作平行于，的平面分别交，，于，，.
n M AD BC AC CD BD F E G 因为∥平面，且平面平面
，故∥，同理∥，∥
AD n M FEG ADC n M FE FE =AD FE AD n M G BC ，∥，故四边形为平行四边形.
n M F BC GE n M FEG 又，所成角为30°，故
所成角也为30°.
AD BC ,n M F FE 又
为最靠近的等分点，故
，.
n M A ()1*n n +∈N 1
1n M F BC
n =
+1n FE AD n =+故
，即
.
()
211sin 302111n n n
n
a M F FE BC AD n n n =⋅=
⋅⋅=+++ ()
2
1n n
a n =+对A ，
，故A 正确；
()
12
1
14
11a =
=
+对B ，
，故
不为递增数列，B 错误；
()
212
2
2194
21a a =
=
<=+{}n a 对C ，，对任意的常数都不可能使其为一次函数形式，故不可能
()2
11
12n n n a n n λλλ+-=
-=++-为等差数列，故C 错误；对D ，
，
，故D 正确；()11n n
n a n +=
+202212320221...23420232023T =⨯⨯⨯⨯=
故选：AD
三、填空题
13．设直线在，轴上的截距分别为，，且满足，则直线与坐标轴围成的图形的面l x y a b 6ab =-l 积为______.【答案】3
【分析】所围成的图形为三角形，则所求面积为.
12a b 【详解】直线在，轴上的截距分别为，，则直线与坐标轴所围成的图形为三角形，则所
l x y a b l 求面积为.11
3
22a b ab ==故答案为：3.
14．已知向量，，
均为单位向量，且它们两两的夹角均为，其中
，
1e 2e 3
e 60︒1232a e e e =+- ，则的值为______.123b e e e =-+ a b ⋅
【答案】0
【分析】直接根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】由已知得
，121332160211cos e e e e e e ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=
.
()()
2221231231231232
223a b e e e e e e e e e e e e e ∴⋅=+-⋅-+=--+⋅+⋅ 13
121022=--++=故答案为：.015．已知抛物线
的焦点为，准线为.过焦点的一条直线交抛物线于点，
()
21:20C y px p =>F l A （在第一象限）.分别过点，作准线的垂线，交准线于，.若
，，
B A A B l C
D DF =4CD =则的值为______.p 【分析】设过的直线方程为，联立抛物线的方程，可得，进而根据抛物线的
F 2p
x ty =+
FC FD ⊥定义与几何关系求解即可.
【详解】设过的直线方程为
，，联立可得F 2p
x ty =+()()1122,,,A x y B x y 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩，故.
2220y pty p --=2
12y y p =-易得，故，即.
12,,,22P P C y D y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21212,,022P P FC FD y y p y y ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
FC FD ⊥
故
，则
，解得
2
FC =
11
22CDF S CD p FC FD =
⋅=⋅ p =四、双空题
16．已知数列满足，对任意的均有，，，{}n a 10a =n *∈N {}10,1n n a a +-∈{}20,1n n a a +-∈221n n a a ->则
______，
的通项公式为______.
2a =
{}n a 【答案】 .
11
,2
,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩为奇数为偶数【分析】根据题意可得出，可求得的值，推导出数列
中的奇数项成以为首项，以
211a a -=2a {}n a 0为公差的等差数列，以及，求出数列中奇数项的表达式，可得出该数列偶数项12120n n a a +-={}n a 的表达式，综合可得出数列
的通项公式.
{}n a 【详解】由题意可知，，则，可得；
21a a >211a a -=2111a a =+=因为
，则，故，
221n n a a ->2210n n a a -->2211n n a a --=又因为
，且
，
{}
2120,1n n a a +-∈{}21210,1n n a a +--∈若，则，不合乎题意，2121n n a a +-=()(){}212121222120,1n n n n n n a a a a a a +-+--=-+-=∉所以，
，则，合乎题意，
2120n n a a +-=()()21212122211n n n n n n a a a a a a +-+--=-+-=所以，数列
中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，
{}n a 01当为奇数时，设，则
，
n ()21n k k *
=-∈N
1
2n k +=
则
.
()21111
111122n k n n a a a k k -+-==+-⨯=-=
-=当为偶数时，设，则.
n ()2n k k *
=∈N 22112n k k n
a a a k -==+==
综上所述，.
1
,2
,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩为奇数为偶数故答案为：；.
11
,2
,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩为奇数为偶数五、解答题
17．设圆
，直线.记直线与圆交于、两点.设为22
1:6690O x y x y +--+=:20+-=l x y l 1O A B 2O
关于直线的对称点.
1O l (1)求弦的长；AB (2)求点的坐标.2O 【答案】(1)2(2)
()
21,1O --【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦的长；1O l AB （2）设点
，根据两点关于直线对称可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，
()
2,O a b a b 可得出点的坐标.
2O 【详解】（1）解：圆的标准方程为
，圆心为，半径为，1O ()()2
2
339x y -+-=()13,3O 3r =圆心到直线的距离为
，所以，
.
1O
l d 2
AB ==（2）解：由题意可知，
，易知直线的斜率为，则，
12O O l ⊥l 1-121O O k =设点，则，解得，即点.()2,O a b 12
33
2022313O O a b b k a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩11a b =-⎧⎨=-⎩()21,1O --18．设数列是首项为2的等比数列，且，，成等差数列.
{}n a 1a 21a +3a (1)求的通项公式；
{}n a (2)设
，记为数列的前项和，求.
1n n b na =+n S {}n b n n S 【答案】(1)2
n
n a =(2)
()1122
n n S n n +=-⋅++【分析】（1）由等差中项性质列式求得基本量，即可写出通项公式；（2）由分组求和及错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列
的公比为由题意可得，
{}n a ,q 12a =由，，成等差数列得或（舍）.
1a 21a +3a ()()221321221222a a a q q q +=+Þ+=+Þ=0q =
∴.
1222n n
n a -=⨯=（2）
，121n
n n b na n =+=⋅+①，212222n n n n S =⨯+⨯++⋅+②，
2312122222n n n n S +=⨯+⨯++⋅+①②得.
-(
)()2
1
1
12121212122
2
122
12
n n
n n n n n n n n n S n +++--=⨯+⨯++⨯-⋅-=
-⋅-=-⋅---∴
()1122
n n S n n +=-⋅++19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已
1PO 1
OO 知圆锥高为3，圆柱高为5
，底面直径为8.
(1)求圆锥的母线长；
1PO (2)设为半圆弧的中点，求到平面的距离.F CD P ABF 【答案】(1)5
【分析】（1）根据母线长与圆锥的高和底面半径形成直角三角形求解即可；
（2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据
F PAB -FO 求解即可.
P ABF F ABP V V --=【详解】（1）由题意，圆锥的母线长.
1
PO 5
PB ===
（2）连接，因为为半圆弧的中点，故，.又圆柱中平面
,,FC FD FO 'F CD FC FD =FO DC ⊥AD ⊥，平面，故.
FDC FO ⊂FDC AD FO ⊥又，，平面，故平面.
FO DC ⊥AD DC D = ,AD DC ⊂ADC FO ⊥ADC
故的高为，且F PAB -FO FO ==='设到平面的距离为，则，
P ABF h 11
33F ABP ABP P ABF ABF V S OF V S h
--=⋅==⋅
即，故1122AB O P OF AB O F h ⋅⋅='⋅⋅'O P OF h O F ⋅===''
故到平面P ABF
20．如图，已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，且平面，.
P ABCD -PA ⊥ABCD 60ABC ∠=︒
(1)设为中点，证明：平面平面；
E CD PCD ⊥PAE (2)设，上是否存在一点，使得与平面所成的角和平面与平面的2PA =PB M AM PBC AMB PBC 夹角相等？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由.M 【答案】(1)证明见解析
(2)存在，M 为PB 中点，理由见解析
【分析】（1）由线线垂直证平面，再依次证、平面、平面
PA ⊥ABCD PA CD ⊥CD ⊥PAE
平面；
PCD ⊥PAE （2）建立空间直角坐标系如图所示，设，由向量法分别求面面角与线面角，建A xyz -PM PB λ=
立方程求解即可.
【详解】（1）证明：连接AC ，ABCD 为菱形，，则为正△，为中点，则
60ABC ∠=︒ACD E CD ，
AE CD ⊥∵平面，平面，∴.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥∵平面，∴平面，,AE PA A AE PA =Ì 、PAE CD ⊥PAE ∵平面，∴平面平面；CD ⊂PCD PCD ⊥PAE （2）存在，理由如下：
正中，，则，，ACD AE CD ⊥30DAE ∠=︒90BAE ∠=︒建立空间直角坐标系如图所示，A xyz -则
，
，
，，
()
002P ,,()
2,0,0
B (
)
E ()C ，
，
()
2,0,2PB =-
(
)BC =-
设平面PBC 的法向量为，则有，令
，(),,n
x y z =
2200n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪
⎩
x
=n = 平面AMB 的其中一个法向量为，则平面与平面的夹角余弦值为
()0,1,0m =
AMB PBC cos m 设，，则，
()2,0,2PM λPB λλ==- []()0,1λ∈()0,0,
2AP =
()2,0,22AM AP PM λλ=
+=- 则与平面AM
PBC
由与平面所成的角和平面与平面的夹角相等得
AM PBC AMB PBC .
22
21144102λλλ-=Þ-+=Þ=故存在M 为PB 中点，满足题意.
21．设各项均为正数的数列
的前项和为，且，______.
{}n a n n S 11a =在①，②
.
2
111241n n a a n +-=-1n a +=(1)求
的通项公式；
{}n a (2)设且，记的前项和为，求的值.(),10
1,102x x f x x f x ≤⎧⎪
=+⎨⎛⎫
> ⎪⎪⎝⎭⎩()n n b f a ={}n b n n T 19T 【答案】(1)21n a n =-(2)137
【分析】（1）选①，由条件裂项得，由累加法求的通项公式，即可求
11111
2121n n a a n n
+-=-
+-1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭的通项公式；
{}n a 选②，由条件得
，可求等差数列
11n n n a S
S ++=-=1
=的通项公式，即可得的通项公式，最后由求得通项公式.
{}n
s 1n
n n a
S S -=-（2）由复合函数化简
，即可由分段函数写出各项求值.
()
n n b f a =【详解】（1）选①，由得，
2
1112
41n n a a n +-=-111112121n n a a n n +-=-+-∴.112
21111111111
n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 111111
1121232325321n n n n n =-+-++-+=-----∴；
21n a n =-
选②，
，
)
1110
n n n a S S ++=-=⇒
=
，
0,1
≠
=1
=∴
，公差为1的等差数列，.
1
==()2
111n n n S n =+-´=Þ=∴
.
()2
21121
n n n a S S n n n -=-=--=-（2）
，()()()1121,211021,221211,211011,22n n n n n n b f a f n n f n f n n ⎧--≤⎧-≤⎪⎪⎪==-==-+⎨⎨
⎛⎫-> ⎪⎪⎪>⎝⎭⎩⎪⎩∴.
()()1913151719135796789106789102524032137
2222T ⎛⎫
=++++++++++++++++++=+⨯+= ⎪⎝⎭22．已知椭圆，左顶点为，右顶点为.2
2:1
4x C y +=A B (1)求椭圆的长轴长与短轴长的差值；(2)已知定直线
，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，分别与直线交于点
10
:3l x =
S x AS BS l 与.当的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，满足的面积为？若存在，确定
D E DE T TBS △4
5点的个数；若不存在，请说明理由.T 【答案】
(1)2；
(2)存在，点的个数为2.
T 【分析】（1）根据椭圆的定义，分别求出长轴与短轴长，再求差值即可；
（2
）设出直线AS 的方程，表达出点M ，N 的坐标，利用基本不等式求出线段MN 的长度的最小值；再求出的长度，得到到直线的距离，利用点到直线距离得到T 所在的直线方程，结合
8
3BS T BS 根的判别式得到点的个数.
T 【详解】（1）由题意，椭圆的长轴为，短轴长为，24a ==22b ==故长轴长与短轴长的差值为；
422-=（2）直线的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为，从而
AS ()
2y k x =+，
1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭由，联立得：，
()22
214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()222214161640k x k x k +++-=
设，则
，()11,S x y 212164214k x k --=+解得：，从而，即，
2122814k x k -=+12414k y k =+222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又
，且
，
()
2,0B 2
1211122111111422444AS BS
x y y y k k x x x x -
⋅=⋅===-+---故直线BS 的斜率为，则直线BS 的方程为，
1
4k -
()
124y x k =-+由，解得：，()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1310
3y k x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，10
1,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故
，又，
161
33k MN k =
+0k >所以
，当且仅当即
时等号成立，1618333k MN k =+≥=16133k k =14k =故线段MN
的长度的最小值为，
8
3又，此时
，14k =64,55S ⎛⎫ ⎪
⎝⎭故
，
SB ==
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，C T TSB △45T BS 2S SB
=其中直线：，即，
SB 40
5
62
2
5y x -
=
--20x y +-=设平行于的直线为，解得：或，
AB 0x y t ++=0=t 4t =-当时，过原点，与椭圆方程有两个交点；
0=t 0x y +=2
21
4x y +=当时，，联立椭圆方程得：，4t =-40x y +-=2214x
y +=2
58120y y -+=由
得：与椭圆方程无交点；
()2
Δ845120
=--⨯⨯<40x y +-=
T
综上：点的个数为2．。