2012三角函数的性质

• 则易选C.
• 1．求三角函数的单调区间时，应先把函 数式化成形如y＝Asin(wx＋φ)(w＞0)的 形式，再根据基本三角函数的单调区间， 求出x所在的区间．应特别注意，考虑问 题应在函数的定义域内考虑．注意区分 下列两题的单调增区间不同：
• 2．正余弦函数的线性关系式都可以转化 为f(x)＝asinx＋bcosx＝ 特别注意把sinα± cosα， • sinα±cosα的转化为y＝2sin(α＋φ) 形式时，φ为特殊角．
• • • • •
A．以4π为周期的偶函数 B．以2π为周期的奇函数 C．以2π为周期的偶函数 D．以4π为周期的奇函数 答案：A
• 故为偶函数，选项B，D错，因为y＝cos 的最小正周期为4π，故f(x)的最小正周期 为4π，选A.
• ∴原函数的单调递减区间为
• [总结评述] (1)求形如y＝Asin(wx＋φ) 或y＝Acos(wx＋φ)(其中A≠0，w>0)的 函数的单调区间，可以通过解不等式的 方法去解答，列不等式的原则是：①把 “wx＋φ(w>0)”视为一个“整体”；② A>0(A<0)时，所列不等式的方法与y＝ sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间 对应的不等式方向相同(反)．
• 求下列函数的定义域
• 总结评述：对于(1)要注意根据0<x≤4去 适当选择整数k的取值．对于(2)运用三角 函数图象也可以，但出现多种三角函数 时，还是用单位圆中的三角函数线为宜.
• 【例2】 求下列函数的最小正周期 • (1)y＝(asinx＋cosx)2(a∈R)；
• • y＝(sinx－cosx)2－1是 ( ) • A．最小正周期为2π的偶函数 • B．最小正周期为2π的奇函数 • C．最小正周期为π的偶函数 • D．最小正周期为π的奇函数 • 答案：D
• 二、忽视定义域产生的混淆
• 答案：π
• 答案：非奇非偶 • 4．y＝log2cosx的递增区间是(2kπ－
• 三、忽视x的系数符号易出错
• ●回归教材 • 1．(2009· 上海春季高考)函数y＝cos 的 最小正周期T＝________. • 答案：4π
• 2．比较下列两数的大小 • (1)sin125°________sin152°；
• (2)对于y＝Atan(wx＋φ)(A、w、φ为常 数，A≠0)，其周期T＝ ，单调区间 利用区间，对 于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性 判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增 (减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝ f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为 减函数．
• 【例1】
求下列函数的定义域：
• [分析] (1)只需2sinx－1>0，求x的取值 范围；
• [解答] (1)要使原函数有意义，必须有 2sinx－1>0，即sinx> • 作出单位圆中的三角函数线，由图①知， 原函数的
• [总结评述] (1)确定三角函数定义域的原 则是：当函数是用解析式给出时，其定 义域就是使解析式有意义的自变量的允 许值的集合，当函数由实际问题给出时， 其定义域由实际问题确定，当函数用图 象给出时，其定义域是图象在x轴上的投 影所覆盖的x的集合． • (2)确定三角函数的定义域的依据是： • (Ⅰ)正余弦函数和正余切函数的定义域． • (Ⅱ)若函数是分式函数，则分母不能为 零．
2012三角函数的性质
• ●基础知识 • 一、三角函数的图象及其性质(填表)
y＝sinx 定 义 域 图 象
[－1,1] R
y＝ y＝tanx y＝cotx cosx
R
[－1,1]
R
R
值 y∈ 域
y∈
y∈
y∈
y＝sinx
y＝ y＝tanx y＝cotx cosx
无
最 值
奇函数 偶函数
最大 值和 最小 值
• 2．y＝Asin(wx＋φ)的周期是 • y＝Acos(wx＋φ)的周期是 ；
；
• y＝Atan(wx＋φ)的周期是
• y＝Acot(wx＋φ)的周期是 w>0)．
；
(其中
• ●易错知识 • 一、概念不清产生的混淆 • 1．下面的四个命题中正确命题的序号是 ________． • (1)正切函数在整个定义域内是增函数； • (2)周期函数一定有最小正周期； • (3)函数y＝3tan 的图象关于y轴对称； • (4)若x是第一象限角，则sinx是增函数， cosx是减函数． • 答案：(3)
• ∴x≠2kπ－ 且x≠2kπ＋π(k∈Z)， • ∴定义域不关于原点对称，故f(x)是非奇 非偶函数．
• 设函数f(x)＝sin(2x－ ), x∈R，则f(x) 是 ( ) • A．最小正周期为π的奇函数 • B．最小正周期为π的偶函数
• 答案：B
• 解析：由题意得f(x)＝－cos2x，因此该 函数的最小正周期为 ＝π，且f(－x)＝ －cos2(－x)＝－cos2x＝f(x)，即该函数 是偶函数，选B.
• • (2009·山西实验中学)函数y＝2cos2x的 一个单调增区间是 ( )
• 答案：D
• 解析：y＝2cos2x＝cos2x＋1，利用y＝ cos2x的单调性可得y＝2cos2x的一个单 调增区间是 故选D.
•
(2007·全国Ⅱ，2)函数y＝|sinx|的一 个单调增区间是 ( )
• 命题意图：本题考查三角函数的图象和 性质． • 答案：C • 解析：画出函数y＝|sinx|的图象，如图，
奇函数
无
最大 值和 最小 值
奇函数
奇 偶 性
y＝sinx
对 称 性
y＝ y＝tanx y＝cotx cosx
y＝sinx
y＝cosx
2π
y＝tanx
π
y＝cotx
π
周期
2π
单调 性
• 二、函数y＝Asin(wx＋φ)(A＞0，w＞0) 的奇偶性与周期性 • 1．函数y＝Asin(wx＋φ)(wx≠φ)为奇函 kπ 数的充要条件为φ＝ ，k∈Z，为偶函 数的充要条件为φ＝ ，k∈Z.函数y＝ Acos(wx＋φ)(A，w≠0)为奇函数的充要 kπ 条件为φ＝ ，k∈Z.为偶函数的充要条 件为φ＝ ，k∈Z.函数y＝Atan(wx＋ φ)(A，w≠0)为奇函数的充要条件为φ ＝ ，k∈Z.它不可能是偶函数．
• 答案：＞
＞
＝
• 3．判断下列函数的奇偶性 • (1)f(x)＝x3＋sinxcosx；(2)y＝ • 答案：(1)奇函数 (2)非奇非偶函数
• 4．(教材改编题)函数y＝cosx的一个单 调递增区间为 ( )
• 答案：D • 解析：观察y＝cosx的图象经分析可知选 D.
• 5．(教材改编题)在下列函数中，同时满 足①在(0， • 递减；②以2π为周期；③是奇函数的函 数是 ( ) • A．y＝tanx B．y＝cosx • C．y＝－sinx D．y＝ sinxcosx • 答案：C • 解析：根据函数y＝sinx，y＝cosx，y＝ tanx及y＝
• [解析] (1)f(x)＝(－sin2x)(－cosx)＝ cosxsin2x，x∈R . • 显然f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． • (2)∵f(x)的定义域为R， • 且f(－x)＝sin(－2x－3)sin(－2x＋3)＝ sin(2x＋3)sin(2x－3)＝f(x)． • ∴f(x)为偶函数．
• 解析：因为y＝(sinx－cosx)2－1＝－ sin2x，所以有T＝ ＝π，又正弦函数 为奇函数，故选D.
• 已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R， 则f(x)是 ( ) • A．最小正周期为π的奇函数 • B．最小正周期为π的偶函数
• 【例3】
判断下列函数的奇偶性：