傅里叶ppt课件
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t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理:若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
l
l
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11
3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开
f(t) 定义于 (0, l).
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半 个周期中的部分。即令此周期函数为 g(t), 在半周期 (0, l) 中 g(t)=f角函数族还有完备性,即这 个函数族足够展开任何周期函数。
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7
狄里克雷定理
函数和级数并不完全是一个东西,例 如幂级数就有收敛域的问题。故必须 讨论它们在什么条件下完全一致
若函数 f(t) 满足条件
(1) 处处连续,或在每个周期内只有有限 个第一类间断点;
(2) 在每个周期内只有有限个极值点,
d/2 et
t 0 t 0 t 0
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34
5. 傅里叶变换的基本性质 (1) 线性性质
F (f1 f2 )F (f1 )F (f2 )
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35
(2) (微分性质)导数定理
F[f '(t)] jF()
证明: F[f (n)(t)](j)nF()
F[f '(t)] df(t)ejtdt dt
-1 c
[
Fc
(
)]
f (t) 2
0 Fc ( ) cos td
傅里叶余弦变换和傅里叶余弦逆变换
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29
奇函数
f (t ) 2
+
0 Fs ( ) sin td ,
+
Fs ( ) 0 f ( ) sin d .
+
Fs ( ) Fs [ f (t )] 0 f ( ) sin d
(
j k
j k t
f ( )e l d )e l
2l k l
1
+
(
l
f
(
j k
)e l
d
)e
j k t
l
2 l k
l
1 + ( l f ( )e jk d )e jkt
2
k
l
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k
18
l 时 , kk k 1 l 0 ,g ( t) f( t)
f (t) lim 1
aa
F[f(at)] f(at)ejtdtyat
jy
f(y)e a
1dy
a
1{ f(y)ejaydy}1F().
a
aa
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39
(4)位移定理 F [f(tt0)]ejt0F( )
F[ f (t t0)]
f
(t
t0)e
jtdt
ytt0
f (y)e dy jyjt0
ejt0[ f (y)ejydy] ejt0F().
(2) 在区间上绝对可积 (即
+
f (t) dt 收
敛), 则f(x) 可表为傅里叶积分,且
傅里叶积分值=
f(t)
[f(t0)f(t完整0编)辑]p/pt2
连续点 间断点 21
3. 奇、偶函数的傅里叶积分
偶 函
f (t) 2
+
0 Fc ( ) cos td ,
数
+
Fc ( ) 0 f ( ) cos d .
0
2 h
sin T
0
cos t d
f (t),t T
h 2
,
t T
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25
2 h
0
sin T
cost d
f (t),t T
h 2
,
t T
0
sin T
cost d
2
,
0,
,
| t | T | t | T t T
4
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26
f (t) 1
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3
三角函数族:
1,cost ,cos2t , ,coskt ,
l
l
l
sint ,sin2t , ,sinkt ,
l
l
l
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4
a. 2l 周期性
c o s k( t 2 l) c o s ( k t 2 l k) c o s ( k t 2 k ) c o s k t s i n k t
设 g(t) 为周期函数,有如下傅里叶展开
g(t)a 2 0k + 1{ a kco skltb ksinklt}.
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16
+
j kt
g(t) cke l ,
k
其中
ck
1 2l
l l
f()ejkld.
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17
令: kkl, kkk 1l,
g (t) 1
+ l
dn
d n
F ()
(
j)nF[t n
f
(t)]
F-1[F'()] 1 F'()ejtd
2
1[F()ejt]
2
21
F()[ejt]'d
1 F()[ejt]'djt 1 F()ejtdjtf(t).
2
2
F ()在 ( , )连 续 且 只 有 有 限 个 可 去 间 断 点
lim F ()0
(
f
( )e j d )e jtd
2
= 1 F()e jtd.
2
傅里叶积分公式
f (t)
像原函数
F() f (t)ejtdt F() 像函数
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27
表示为 F()F[f(t)] f(t)F1[F()]
F
原函数到像函 数的变换
F
1
像函数到原函数的 逆变换
F[ f (t)]F() f (t)ejtdt
23
将矩形脉冲 f(t)hrect(t/2T) h 0,,
展开作傅里叶积分。 f (t) h
(t T), (t T).
偶函数
0 T
f(t)20+Fc()costd 完整编辑ppt
T
t
24
+
Fc ( ) 0 f ( ) c o s d
T
h cos d
h sin T
.
0
f ( t ) 2 h + s in T c o s td
傅里叶变换(傅氏变换)
F-1[F()]f(t)
1
F()ejtd
2
傅里叶逆变换
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28
偶函数
f (t ) 2
+
0 Fc ( ) cos td ,
+
Fc ( ) 0 f ( ) co s d .
Fc ( ) Fc [ f (t )] 0 f ( ) co s d
F
F
-1 s
[
Fs
(
)]
f (t) 2
+
0 Fs ( ) sin td
傅里叶正弦变换和傅里叶正弦逆变换
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30
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的傅氏
0, t 1
变换及其积分表达式。
F() f (t)ejtdt 1 ejtdt ejt 1
1
j
1
1 ej ej 2sin
a n (z z 0 )n a 0 a 1 (z z 0 ) a n (z z 0 )n
n 0
1
1z zn zn
1z
n0
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2
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(t) 满足
f(t2l)f(t)
要通过三角函数表示 f(t),则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各 种三角函数来表现 f(t)。这就是傅里叶 级数。
l
l
(k 0 ),
l
cos
l
k t l
cos
n t l
dt
0,
l
,
kn ,
kn
l
s in
l
k t l
sin
n t l
dt
0,
l
,
kn ,
kn
l
k t
n t
cos
sin
dt 0.
l
l
l
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6
因此
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
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42
卷积定义:
f1(t)f2(t)f1()f2(t)d
易 见 , f1 ( t) f2 ( t) f2 ( t) f1 ( t)
F - 1 [F 1 ()F 2 ()] f1 (t) f2 (t)
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12
例 f(t)t,
(0,1)
f (t), g(t)
f (t), g(t)
偶延拓
t
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奇延拓
t
13
4. 复数形式的的傅里叶级数
j k t
,e l ,
jt
, e l ,1,
jt
e l,
j k t
,e l ,
j k t
j k t
cos sin
k t
l
k t
l
e
e
[f(t)ejt]
f(t)[ejt]'dt
f(t)[ejt]'dt(j) f(t)ejtdxjF().
f(t)在 ( , )连 续 且 只 有 有 限 个 可 去 间 断 点
lim f(t)0
t
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#
36
(2) 象函数 的导数公式
证明:
d F () F[ jtf (t)] d
则三角级数 (1.1) 收敛,且 完整编辑ppt
8
f(t),
(在连续点t)
(1.1)12{f(t0)f(t0)}.(在间断点t)
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9
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
s i n k t 是奇函数, l
c o s k t 是偶函数。 l
故 奇函数 f(t) 有
f
(t)
+ k1
bk
sin
傅里叶余弦积分
奇
函
f (t) 2
+
0 Fs ( ) sin td ,
数
+
Fs ( ) 0 f ( ) sin d .
傅 里 叶 正 弦 积 分 完整编辑ppt
22
例 定义矩形函数为
rect(t)
1,
0,
f (t) 1
1
0
1
t
2
2
( t 1 ), 2
( t 1 ). 2
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l
ll
l
l
l
b. 按三角函数族展开
f(t)a 2 0k 1{ a kco sklt b ksinklt} . (1.1)
此为傅里叶级数展开.
不同的函数形式由不同的组的 a k 和 b k
表示。
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5
三角函数族具有正交性
l 1cos k t dt 0
l
l
l 1 sin k t d t 0 ,
j
f(t)21
F()ejtd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
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31
0
sin cos t
d
2 4
0
因 此 可 知 当 t 0时,有
sin x d x
0x
2
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| t | 1 | t | 1 | t | 1
32
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
+
(
l
j k
j kt
f ( )e l d)e l
2l l
l k
lim 1 + ( l f ( )e jk d )e jkt
2 l
l k
k
1 + [ + f ( )e j d ]e jtd
2
傅里叶积分公式 完整编辑ppt
(2.1) 19
故
f(t) 1+ A ()c o std 1+ B ()s intd,(2.2)
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37
(3) 积分定理
t时 , t f(t)dt0
t
F[
f(t)dt] 1 F()
j
记 t f (t)dt (t) 则
'(t) f(t)
由微分性质 F ['(t)]jF [(t)]
即 F[(t)] 1 F['(t)] # j
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38
(3) 相似性 定理
证明
F[f(at)]1F(),a0
傅里叶变换
一. 傅里叶(Fourier)级数 利用三角函数的周期性来展开周期函数
• 周期函数的傅里叶展开;
• 奇函数和偶函数的傅里叶展开;
• 有限区间中的函数的的傅里叶展开;
• 复数形式的的傅里叶展开。
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1
复变函数项级数
fn(z)f1 (z)f2 (z) fn(z) ,
n 1
幂级数
l j k t
l
e 2
e
l j k t
l
2 i 完整编辑ppt